河南省商丘市河南第三高级中学高三数学文期末试卷含解析

河南省商丘市河南第三高级中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，若，BC=3，，则AC=（

）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4参考答案：A试题分析：由余弦定理得,选A.2.某高中体育小组共有男生24人，其50m跑成绩记作ai（i=1，2，…，24），若成绩小于6.8s为达标，则如图所示的程序框图的功能是（）A．求24名男生的达标率 B．求24名男生的不达标率C．求24名男生的达标人数 D．求24名男生的不达标人数参考答案：B【考点】程序框图．【分析】由题意，从成绩中搜索出大于6.8s的成绩，计算24名中不达标率．【解答】解：由题意可知，k记录的是时间超过6.8s的人数，而i记录是的参与测试的人数，因此表示不达标率；故选B．3.设函数的导函数的最大值为3，则的图象的一条对称轴的方程是（

）A．

B．

C．D．参考答案：D4.若定义在R上的二次函数在区间［0，2］上是增函数，且，则实数的取值范围是

A.

B.

C.

D.或参考答案：A5.已知等于（

） A．

B． C． D．参考答案：C略6.如图，在三角形ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=θ，点D为BC的三等分点．则的取值范围为(

)A． B． C． D．参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】直接利用向量的运算法则和数量积运算把化为2cos，然后由﹣1＜cosθ＜1求得答案．【解答】解：∵====，∴=（）?（）=﹣==2cos．∵﹣1＜cosθ＜1，∴﹣＜2cosθ+＜．∴∈（﹣）．故选：D．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，熟练掌握向量的运算法则和数量积运算是解题的关键，是中档题．7.（多选题）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线C上存在一点到焦点F的距离等于3．则下列说法正确的是（

）A.抛物线的方程是 B.抛物线的准线是C.的最小值是 D.线段AB的最小值是6参考答案：BC【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p，进而得到抛物线方程和准线方程；求得，设，，直线l的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得线段AB的最小值，可得圆Q的半径，由中点坐标公式可得Q的坐标，运用直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求的最小值.【详解】抛物线的焦点为，得抛物线的准线方程为，点到焦点的距离等于3，可得，解得，则抛物线的方程为，准线为，故A错误，B正确；由题知直线的斜率存在，，设，，直线的方程为，由，消去得，所以，，所以，所以AB的中点Q的坐标为，，故线段AB的最小值是4，即D错误；所以圆Q的半径为，在等腰中，，当且仅当时取等号，所以的最小值为，即C正确，故选：BC.【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，课程中心方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式、中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题.8.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5=10，S10=50，则S20等于（）A．90 B．250 C．210 D．850参考答案：D【考点】8G：等比数列的性质．【分析】利用等比数列的求和公式，求出q5=4，，即可求得结论．【解答】解：由题意数列的公比q≠1，设首项为a1，则∵S5=10，S10=50，∴=10，=50∴两式相除可得1+q5=5，∴q5=4∴∴S20===850故选D．9.下列函数中在区间上单调递增的是A. B. C. D.参考答案：B10.已知函数f（x）=sinπx和函数g（x）=cosπx在区间[0，2]上的图象交于A，B两点，则△OAB面积是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】由sinπx=cosπx=sin（），x∈[0，2]，可解得πx=+2kπ，k∈Z，可解得坐标：A（，），B（，﹣），求得直线AB所在的方程为：y﹣=﹣（x﹣），联立方程y=0，可解得OC=，即可求得△OAB面积．【解答】解：如图所示：∵sinπx=cosπx=sin（），x∈[0，2]，∴可解得：πx=π﹣（）+2kπ，k∈Z（无解），或πx=+2kπ，k∈Z∴可解得：x=+k，k∈Z，且x∈[0，2]，∴x=，或，∴解得坐标：A（，），B（，﹣）．∴解得直线AB所在的方程为：y﹣=﹣（x﹣），联立方程y=0，可解得：x=，及OC=．∴S△OAB=S△OAC+S△COB==．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于函数定义域为而言，下列说法中正确的是

．（填序号）①函数的图像和函数的图像关于对称。②若恒有，则函数的图像关于对称。③函数的图像可以由向左移一个单位得到。④函数和函数图像关于原点对称。参考答案：②④12.已知函数(a∈R)．若f[f(－1)]＝1，则a＝____________.参考答案：【知识点】函数的值．B1

【答案解析】

解析：∵函数（a∈R）．f[f（﹣1）]=1，∴f（﹣1）=2，f[f（﹣1）]=f（2）=a?2?2=1，解得a=．故答案为：．【思路点拨】利用分段函数的性质求解．13.下列命题正确的序号为

.①函数的定义域为;②定义在上的偶函数最小值为;③若命题对，都有，则命题，有;④若，，则的最小值为.参考答案：14.若直线是抛物线的一条切线，则

．参考答案：-415.已知双曲线1（a＞0，b＞0），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M，N两点，O为坐标原点．若OM⊥ON，则双曲线的离心率为_____．参考答案：【分析】根据题意可得，再利用双曲线的几何性质表示出的关系式，进而求得和的关系式，则可求得双曲线的离心率，得到答案．【详解】由题意，设右焦点为，因，所以为等腰直角三角形，所以,可得，又由，整理得，解得，又因为，所以．故答案为：．【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．16.在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在线段AC上，AD=AC（为常数，且），为定长，则△ABC的面积最大值为

．参考答案：17.下面给出的四个命题中：①以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为；②若，则直线与直线相互垂直；③命题“，使得”的否定是“，都有”；④将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象。其中是真命题的有___________（将你认为正确的序号都填上）。参考答案：①②③略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数.(1)讨论函数的单调性,并证明当时,；(2)证明：当时，函数有最小值,设最小值为,求函数的值域.参考答案：解：(1),,故在上递增.

当时，由上知,即,即,得证.(2),.记,.由(1)知,函数区间内递增,又,,所以存在唯一实数,使得.于是,当时,,,函数在区间内递减；当时,,,函数在区间内递增.所以在内有最小值.由题设即．.根据(1)知,在内递增,,所以.令,则，函数在区间内递增,所以.

即函数的值域为.

19.在极坐标系中，圆C：和直线相交于A、B两点，求线段AB的长.参考答案：20.过点P在双曲线﹣=1的右支上，其左、右焦点分别为F1，F2，PF1的垂直平分线过F2，且原点到直线PF1的距离恰好等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．【解答】解：依题意过点P在双曲线﹣=1的右支上，其左、右焦点分别为F1，F2，PF1的垂直平分线过F2，且原点到直线PF1的距离恰好等于双曲线的实半轴长，可得|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理可知|PF1|=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=，∴e===．故选：B．21.（本小题满分14分）已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，.经过点的直线与椭圆交于，两点.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线的倾斜角为时，求线段的长；（Ⅲ）记与的面积分别为和，求的最大值.参考答案：解：（I）因为为椭圆的焦点,所以又

所以所以椭圆方程为

………………3分（Ⅱ）因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率为1,所以直线方程为,和椭圆方程联立得到,消掉,得到

………………5分所以

所以

………………7分（Ⅲ）当直线无斜率时,直线方程为,此时,

面积相等，

………………8分

当直线斜率存在（显然）时,设直线方程为,设和椭圆方程联立得到,消掉得显然，方