广东省梅州市东海中学2022年高三数学文测试题含解析

广东省梅州市东海中学2022年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知f（x）的定义域是（0，+∞），f'（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜f'（x），则不等式f(x2+x)＞f（2）的解集是（）A．（﹣∞，2）∪（1，+∞） B．（﹣2，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣1，2）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造新函数g（x）=，通过求导得到g（x）的单调性，所解的不等式转化为求g（x2+x）＞g（2），结合函数的单调性得到不等式，求解得答案．【解答】解：设g（x）=，（x＞0），∵f（x）＜f'（x），∴g′（x）=＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，由f（2），得，即g（x2+x）＞g（2），∴x2+x＞2，解得：x＜﹣2或x＞1．∴不等式f（2）的解集是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．故选：A．2.若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A3.已知向量＝(cosa,sina),＝(cosb,sinb)，若|－|＝，则和的夹角为(

)A.60°

B.90°

C.120°

D.150°参考答案：B4.已知数列对任意的、，满足，且，那么等于（

）．

A.3

B.5

C.7

D.9参考答案：B5.数列{an}满足a1=1，a2=2，an+1?an=nλ（λ为常数，n∈N*），则a4等于(

)A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】数列递推式．【专题】计算题．【分析】根据题中已知条件先求出λ的值，然后根据an+1?an=2n求出a3的值，即可求得a4的值．【解答】解：由题意可知；a1=1，a2=2，an+1?an=nλ，则：a2?a1=2×1=λ，∴an+1?an=2n，故a3?a2=2×2=4，解得a3=2，a4?a3=2×3=6，解得a4=3，故选C．【点评】本题主要考查了由递推公式推导数列的通项公式，是高考的热点，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，属于基础题．6.若实数，满足不等式组

且的最大值为9，则实数

（

）A．

B．

C．1

D．

2参考答案：C7.若，则（

）A．

B．

[来源:学.科.网Z.X.X.K]C.

D．参考答案：D8.已知命题：如果，那么；命题：如果，那么；命题：如果，那么.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是

(

)①命题是命题的否命题，且命题是命题的逆命题.②命题是命题的逆命题，且命题是命题的否命题.③命题是命题的否命题，且命题是命题的逆否命题.A．①③；

B．②；

C．②③

D．①②③参考答案：A9.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为63，36，则输出的a=（

）A．3

B．6

C．9

D．18参考答案：C10.函数的图象大致是(

)A．

B．

C.

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图,已知:△内接于圆，点在的延长线上，是圆的切线，若,,则的长为

.参考答案：4∵AD是圆O的切线，∠B=30°∴∠DAC=30°，∴∠OAC=60°，∴△AOC是一个等边三角形，∴OA=OC=2，在直角三角形AOD中，OD=2AO=4，故答案为：4．12.在直角坐标系xOy中，已知A（-1，0），B（0，1），则满足且在圆上的点P的个数为

▲

．参考答案：2略13.等腰△ABC中，底边BC=2，|﹣t|的最小值为||，则△ABC的面积为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】由题意可得BC边上的高为||，利用直角三角形中的边角关系求得∠C=30°=∠B，可得∠A=120°，AB=AC，利用余弦定理求得AB=AC的值，可得△ABC的面积?AB?AC?sin120°的值．【解答】解：等腰△ABC中，底边BC=2，|﹣t|的最小值为||，则△ABC的面积故BC边上的高为||，故有sin∠C==，∴∠C=30°=∠B，∴∠A=120°，AB=AC，∴=AB2+AC2﹣2AB?AC?cos120°，∴AB=AC=2，∴△ABC的面积为?AB?AC?sin120°=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，直角三角形中的边角关系，余弦定理，属于中档题．14.观察下列等式：根据上述规律，第个等式为

.参考答案：【知识点】合情推理与演绎推理M1由题意得，可得第n项为，所以第个等式为.【思路点拨】观察各个等式，找其中的规律，便可得到结果.15.实数x，y满足约束条件，则的最大值为__________.参考答案：10【分析】画出可行域，根据目标函数截距可求.【详解】解：作出可行域如下：由得，平移直线，当经过点时，截距最小，最大解得的最大值为10故答案为：10【点睛】考查可行域的画法及目标函数最大值的求法，基础题.16.如下图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成.已知正六棱柱的底面边长、高都为4cm，圆柱的底面积为.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为

．（不计损耗）参考答案：17.已知数列{an}的各项均为正整数，Sn为其前n项和，对于n＝1，2，3，…，有（Ⅰ）当a3＝5时，a1的最小值为

；（Ⅱ）当a1＝1时，S1＋S2＋…＋S10＝

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）2015年下半年，“豆芽花”发卡突然在全国流行起来，各地随处可见头上遍插“小草”的人群，其形象如右图所示：对这种头上长“草”的呆萌造型，大家褒贬不一．为了了解人们是否喜欢这种造型，随机从人群中选取人进行调查，每位被调查者都需要按照百分制对这种造型进行打分．按规定，如果被调查者的打分超过分，那么被调查者属于喜欢这种造型的人；否则，属于不喜欢这种造型的人．将收集的分数分成，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]五组，并作出如下频率分布直方图：

（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算被调查者中不喜欢这种造型的人数，并估计打分的平均值；（Ⅱ）为了了解被调查者喜欢这种造型是否与喜欢动画片有关，根据位被调查者的情况制作的关联表如下表，请在表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型和自身喜欢动画片有关?

喜欢头上长“草”的造型不喜欢头上长“草”的造型合计喜欢动画片

不喜欢动画片

合计

0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：临界值表参考公式：，．参考答案：（Ⅰ）由频率分布直方图可得，不喜欢这种造型的被调查者共有

人，................3分

打分的平均值为：

；

................6分（Ⅱ）如表：

喜欢头上长“草”的造型不喜欢头上长“草”的造型合计喜欢动画片30939不喜欢动画片5611合计351550 ，

…..........9分所以有以上的把握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型和自身喜欢动画片有关．

....……12分19.（1）求证：时，为正整数；（2）设，求证：参考答案：20.(本题满分12分)已知函数(1)求函数的单调区间及最值；(2)为何值时，方程有三个不同的实根.参考答案：解：(1)求导，得，

…1分令=0，得，作出下列表格：

+—+增极大值减极小值增所以，在上单增，在单减，在上单增；

………5分又，故，最大值为

最小值为；

……7分(2)由题可知，

的取值范围是。

………12分略21.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知，，，点E是棱C1C的中点.（1）求证：C1B⊥平面ABC；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）证明见解析（2）（3）存在,或.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，即可证得平面.（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解；（3）假设存在点，设，根据，得到的坐标，结合平面的法向量为列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，因为，，，∴，又∴，∴，∵侧面，∴.又∵，，平面∴直线平面.（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，设平面的一个法向量为，∵，∴，令，则，∴设平面的一个法向量为，，，∵，∴，令，则，∴，，，，∴.设二面角为，则.∴设二面角的余弦值为.（3）假设存在点，设，∵，，∴，∴∴设平面的一个法向量为，∴，得.即，∴或，∴或.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.22.已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+5|，且f（x）≥m恒成立．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣8．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【分析】对第（1）问，由m≤f（x）恒成立知，m≤f（x）min，只需求得f（x）的最小值即可．对第（2）问，先将m的值代