2017学年高中数学人教A版选修2-3本章整合教案：第一章计数原理Word版含解析

本章整合知识网络专题探究专题一两个计数原理分类计数原理和分步计数原理是本部分内容的基础．在应用题的考查中，经常要用它对问题进行分类或分步分析求解，如何灵活利用这两个原理对问题进行分析往往是解应用题的关键．两个原理的共同之处是研究做一件事，完成它共有的方法种数问题，而它们的主要差异是“分类”与“分步”．分类计数原理的特点是：类与类相互独立，每类方法均可独立完成这件事(可类比物理中的“并联”电路来理解)；分步计数原理的特点是：步与步相互依存，且只有当所有步骤均完成了(每个步骤缺一不可)，这件事才算完成(可类比物理中的“串联”电路来理解)．运用时要掌握其计数本质，合理恰当地运用两个原理．排列组合是解决计数问题的一种重要方法．但要注意，计数问题的基本原理是分步计数原理和分类计数原理，是最普遍使用的，不要把计数问题等同于排列组合问题．【例1】某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为()A．14B．16C．20D．48思路点拨：根据题意分成两类，一类是甲企业有1人发言，另两个发言人出自其余4家企业，另一类是3人全来自其余4家企业，采用分类加法和分步乘法计数原理可得解．解析：分两类，第一类：甲企业有1人发言，有2种情况，另两个发言人出自其余4家企业，有6种情况，由分步乘法计数原理，得N1＝2×6＝12；第二类：3人全来自其余4家企业，有4种情况．综上可知，共有N＝N1＋N2＝12＋4＝16种情况．答案：B专题二排列与组合应用题求解策略将具体问题抽象为排列问题或组合问题，是解排列、组合应用题的关键一步．(1)正确分类或分步，恰当选择两个计数原理．(2)有限制条件的排列组合问题应优先考虑“受限元素”或“受限位置”．而排列组合讨论的问题共同点是“元素不相同”，不同点是排列与顺序有关，组合与顺序无关．【例2】在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有______个．解析：解法一：1,2,3,4,5组成无重复五位数，大于23145且小于43521的有(1)形如后两位只能填5,4，∴有1个数合要求．(2)形如第三位选4或5都满足要求，后两位任选都可．∴符合要求的数有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)＝4个．(3)形如第二位选4或5，后三位任选，符合要求的数有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(3,3)＝12个．(4)形如第二位开始，均可任选，符合要求的数有Aeq\o\al(4,4)＝24个．(5)形如第二位选1或2，后三位任选，符合要求的数有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(3,3)＝12个．同理形如符合要求的数有2Aeq\o\al(2,2)＝4个，形如符合要求的数有1个．∴符合要求的数有(1＋4＋12)×2＋24＝58个．解法二：可用类似方法算出小于43521的5位数个数与小于等于23145的五位数个数．两数之差即为小于43521且大于23145的五位数个数．答案：58专题三二项式定理的应用对于二项式定理的考查常出现两类问题，一类是直接运用通项公式来求特定项．另一类，需要运用转化思想化归为二项式定理来处理问题．从近几年高考命题趋势来看，对于本部分知识的考查以基础知识和基本技能为主，难度不大，但不排除与其他知识的交汇，具体归纳如下：(1)考查通项公式问题．(2)考查系数问题：①涉及项的系数、二项式系数以及系数的和．②一般采用通项公式或赋值法解决．(3)可转化为二项式定理解决问题．【例3】(1＋2eq\r(x))3(1－eq\r(3,x))5的展开式中x的系数是()A．－4B．－2C．2D．4思路点拨：利用(a＋b)n展开式中第r＋1项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr(r＝0,1,2，…，n)将两项展开，确定x的系数．解析：(1＋2eq\r(x))3(1－eq\r(3,x))5＝(1＋＋12x＋)(1－＋－10x＋－)，x的系数是－10＋12＝2.答案：C【例4】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,2)＋\f(1,\r(3,3))))n展开式中的第7项与倒数第7项的比是1∶6，则展开式中的第7项为________．思路点拨：本题是应用二项式定理通项公式的典型问题，解答本题的关键是利用方程思想列出方程，求出n.解析：第7项：T7＝Ceq\o\al(6,n)(eq\r(3,2))n－6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,3))))6，倒数第7项：Tn－5＝Ceq\o\al(n－6,n)(eq\r(3,2))6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,3))))n－6，由eq\f(C\o\al(6,n)\r(3,2)n－6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,3))))6,C\o\al(n－6,n)\r(3,2)6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,3))))n－6)＝eq\f(1,6)，∴n＝9，故T7＝Ceq\o\al(6,