集合知识点总结

PAGEPAGE1第一章集合集合知识点总结：一、集合1、集合的概念集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看出一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），通常用大写英文字母表示。集合的元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员），通常用小写写英文字母表示。2、元素与集合的属于关系：若是集合的元素，就说属于，记作：，读作“属于”若不是集合的元素，就说不属于，记作：，读作“不属于”。3、空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作。4、集合元素的基本性质：确定性、互异性、无序性。5、集合的分类：有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合。6、常用数集的表示牢记，熟记自然数集（非负整数集）；正整数集或；整数集；有理数集；实数集；正实数集，均是无限集。二、集合的表示法1、列举法：适用于有限集，且元素个数不多，或者是无限集，元素个数较多，但呈现一定规律，列出几个元素作为代表，其余用“”代替。2、描述法：元素的特征性质：如果在集合中，属于集合的任意一个元素都具有性质，而不属于的元素都不具有性质，则叫做集合的一个特征性质。是集合的一个特征性质，集合可以表示为，它表示的集合为在集合中具有性质的所有元素构成的。注意：若元素的范围为时，可以省略。★经典例题：例一、现已知一个集合为，则实数满足的条件为。【】解：由于元素的互易性，因此得到关系，从而解得。例二、用适当的符号填空：；；；；。例三、给定集合，定义。若，，则集合的所有元素之和为。【15】解：题意为从集合中任意选取一个元素，与集合中的任意一个元素作差，所得元素为集合的元素，这里要注意元素的互异性。故即，元素之和为15。例四、设集合若已知，且，求实数。解：由于，故有，解得或。但题目要求，因此，即。因此。例五、实数集满足条件：，若，则。（1）若，求；（2）集合能否为单元素集合？若能，求出；若不能，说明理由；（3）求证：。解：（1）由题意知，若，则。因此，则有。由，则。由，则。因此（2）若让集合为单元素集合，必须满足。整理得到，验证，因此没有满足上述方程，即集合不能为单元素集合。（3）由于题意有若，则。因此当时，可有。例六、以下集合各代表什么：①——偶数②——奇数这些均是数集，与代表元素的不同没有关系。③——奇数④——点集（有序数对集合）几何意义：满足直线图像上所有的点；代数意义：满足二元一次方程的解。例七、若集合中，仅有一个元素，则【】【】解：题意可只两个条件，其一是仅有一个元素，即方程只有一个解。其二为单元素即为。因此得到两个关系式：将代入方程有和，从中求出。例八、已知集合，其中为常数，且。（1）若是空集，求的范围；（2）若中只有一个元素，求的范围；（3）若中至多只有一个元素，求的范围。解：（1）因为是空集，则必须要求方程无实根，即，因此。（2）若中只有一个元素，此时需要讨论是否为0。当时，方程为，解得，符合题意；当时，方程为，要求，即。综上所述，或。（3）若中至多只有一个元素，即有一个元素，或没有。只要综合（1）（2）的答案即可。故的取值范围是或。三、子集和真子集1、子集：集合中的任何一个元素都是集合的元素，则集合叫做集合的子集。记作：或读作“包含于”或“包含”若集合中存在着不是集合的元素，则集合不是集合的子集。记作：或注意：（1）自身性：，任何集合是它本身的子集。（2）规定：，空集是任何子集的真子集。（3）与区别：是从属关系，表示元素与集合之间的关系，是包含关系，表示集合与集合之间的关系。2、真子集：若集合是集合的子集（简化：若，数学语言的简洁），并且集合中至少含有一个元素不属于集合，则集合是集合的真子集。记作：或读作“真包含于”或“真包含”注意：（1）空集是任何非空集合的真子集。（2）3、韦恩图：包含关系的传递性，则；维恩图表示，则集合之间的关系，用维恩图表示4、个数规律：（表示集合的元素个数）元素子集真子集非空子集非空真子集5、集合相等：，则★经典例题：例一、判断下列集合是否为同一个集合①不是，一个是点集，一个是数集②不是，元素范围不同③不是，一个是点集，一个是数集④是，元素相同，均是实数，与代表元素无关例二、用适当的符号填空：；；；；；例三、若集合，且，则【或】解：依题，则，或，解出；由于元素具有互异性，故舍去1。例四、已知集合，若，则实数的取值集合为【】解：步骤：①在数轴上画出已知集合；②由确定，应往左画（若为，则往右画），进而开始实验；③得到初步试验结果；④验证端点。试验得到：，当时，由于集合也不含有4，故满足。综上所述，。例五、满足的集合为【】解：因为，因此中必须含有1这个元素。又知道故得到。（不满足真子集的要求）四、集合的运算1、交集：一般地，对于两个给定集合，由属于又属于的所有元素构成的集合，叫做的交集。核心词汇：共有。记作：读作“交”，交集为在画数轴时，要注意层次感和端点的虚实！2、交集的性质：；如果，则。3、并集：一般地，对于两个给定集合，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做的并集。核心词汇：全部。记作：读作“并”只要是线下面的部分都要！4、并集的性质：；如果，则5、补集：如果给定的集合是全集的一个子集，由中不属于的所有元素构成的集合，叫做在中的补集。核心词汇：剩余。记作“”读作：“在中的补集”6、补集的性质：★经典例题：例一、已知集合，则等于【】解：，故。例二、设集合，，则【】解：首先观察，两个集合均为数集，代表元素的不同不影响集合本身。其次范围均为整数，故，因此取交集后，得到的结果应为。例三、，，若，则实数的取值范围是【】解：步骤：①在数轴上画出已知集合；②由确定，应往左画（若为，则往右画），进而开始实验；③得到初步试验结果；④验证端点。试验得到的结果为，验证端点，当时，由于集合不含有3，满足交集为。综上所述，的取值范围是。例四、求满足，且的集合。【或】解：由于，则可以推得中必有，没有。又有，则或例五、集合,,若,则的值为【4】解：∵,,∴∴例六、设集合，则【】解：表示平面上满足直线的无数点，其中。又表示平面上满足直线上的全