24第六章第三节

第三节与切线有关的证明与计算姓名：________班级：________用时：______分钟1．(2019·苏州)如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD，若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为()A．54°B．36°C．32°D．27°2．(2019·哈尔滨)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C为⊙O上一点，连接AC，BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为()A．60°B．75° C．70°D．65°3．(2020·原创)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，AB＝6，∠P＝30°，则AC的长度是()A．3eq\r(3) B．3eq\r(2) C．3 D.eq\f(3,2)4．(2019·益阳)如图，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定成立的是()A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APDC．AB⊥PD D．AB平分PD5．(2019·舟山)如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC的延长线于点P，则PA的长为()A．2 B.eq\r(3) C.eq\r(2) D.eq\f(1,2)6．(2019·眉山)如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4eq\r(2)，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ长的最小值为________．7．(2020·原创)如图，在正方形ABCD中，BC＝8，AD与⊙O相切于点P，E，F是正方形与圆的另两个交点．(1)BF＝________OP，圆心O到直线AB的距离为________；(2)求⊙O的半径长和sin∠BPC的值．8．(2019·玉林)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点E作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD.(1)求证：EF是△CDB的中位线；(2)求EF的长．1．(2019·石家庄长安区一模)如图，网格中的每个小正方形的边长是1，点M，N，O均为格点，点N在⊙O上，若过点M作⊙O的一条切线MK，切点为K，则MK＝()A．3eq\r(2) B．2eq\r(5) C．5 D.eq\r(34)2．(2019·荆州)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过B点的切线交AC的延长线于点D，E为弦AC的中点，AD＝10，BD＝6，若点P为直径AB上的一个动点，连接EP，当△AEP是直角三角形时，AP的长为________.3．(2019·贵阳)如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．(1)求证：OP∥BC；(2)过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D，如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．4．(2020·原创)如图，已知AB是⊙O的直径，D点是直线m上的一点，连接BD交⊙O于点C.(1)如图①，若C点是BD的中点，连接AD，求证：AB＝AD；(2)如图②，若BA的延长线交直线m于点E，DE＝8，直径AB＝6，AE＝1.5，S△BDE＝20，请判断⊙O与直线DE之间有什么关系，并说明理由．图①图②

参考答案基础训练1．D2.D3.A4.D5.B6.2eq\r(3)7．解：(1)2；4；(2)连接OP，延长PO交BC于点G，则有OP⊥AD，PG∥AB.过点O作OH⊥AB，垂足为H，连接EC，则有BH＝EH.∴四边形OHBG是矩形，∴BH＝OG，OH＝BG＝eq\f(1,2)BC＝4.设⊙O的半径为r，∵四边形ABCD为正方形，BC＝8，∴OG＝BH＝EH＝8－r，∴在Rt△OEH中，r2＝42＋(8－r)2，解得r＝5.∴OG＝8－r＝3.∵∠BPC＝∠BEC，∴sin∠BPC＝sin∠BEC＝eq\f(BC,EC)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).8．(1)证明：连接OE，AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∵OA＝OB，∴EO是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∵EF切⊙O于E，∴OE⊥EF，∴EF⊥AC，∵BD⊥AC，∴EF∥BD，∵点E是BC的中点，∴EF是△CBD的中位线．(2)解：∵BC＝6，∴CE＝3，∵AC＝5，AE⊥CE，∴由勾股定理得AE＝4，∵EF⊥AC，∴sinC＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(EF,CE)，即eq\f(4,5)＝eq\f(EF,3)，解得EF＝eq\f(12,5).拔高训练1．B【解析】由网格可知，MO＝eq\r(32＋42)＝5，ON＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，∵MK切⊙O于K，∴OK＝ON＝eq\r(5)，OK⊥MK，∴MK＝eq\r(MO2－OK2)＝2eq\r(5).2．4或2.56【解析】∵AB是⊙O的直径，BD是⊙O的切线，∴AB⊥BD，∴AB＝eq\r(AD2－BD2)＝8.∵△AEP是直角三角形，当∠AEP＝90°时，∵E是AC的中点，∴EP经过圆心O，此时点P与点O重合，∴AP＝AO＝4；当∠APE＝90°时，连接OE，如解图，则OE⊥AC，∵cosA＝eq\f(AE,AO)＝eq\f(AP,AE)＝eq\f(AB,AD)＝eq\f(8,10)，∴AP＝2.56.3．(1)证明：∵A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上，∴＝，∴∠AOP＝∠COP，∴∠AOP＝eq\f(1,2)∠AOC，又∵∠ABC＝eq\f(1,2)∠AOC，∴∠AOP＝∠ABC，∴PO∥BC.(2)解：如解图，连接PC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵∠D＝90°，∴CO∥AD，∴∠COB＝∠A，∵点A与点C关于OP对称，∴∠PCO＝∠PAO＝∠COB，∴PC∥AB，∴四边形APCO是平行四边形，∵OA＝OC，∴四边形APCO是菱形，∴PC＝OC＝PO＝AP＝AO，∴△APO和△POC都是等边三角形，∴∠A＝∠DPC＝60°，在Rt△DPC中，DP＝1，∴PC＝2，∴⊙O的直径为4.4．(1)证明：如解图①，连接AC，解图①∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BD，∵C是BD的中点，∴AC垂直平分BD，∴AB＝AD.(2)解：DE与⊙O相切．理由：如解图②，过点O作OF⊥DE于F，过点B作BG⊥DE于