数值方法实验报告

PAGEPAGE1数学与计算科学学院实验报告实验项目名称迭代法解线性方程组所属课程名称数值方法A实验类型验证型实验日期2014年11月28日姓名学号班级成绩一、实验概述：【实验目的】熟练运用运用所学计算机语言编写程序，实现解线性方程组的迭代法，包括Gauss-Seidel迭代方法和松弛迭代法，分析迭代格式的收敛性，以及初值对迭代格式收敛的影响。用熟悉的计算机语言编程上机完成：用Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组，当满足时，结束迭代。2.用松弛迭代法（取=1.25）求解下列方程组，当满足时结束迭代，说明迭代的收敛性，并讨论初值的变化对收敛的影响。【实验原理】1.Gauss—Seidel迭代法原理：Gauss-seidel迭代法是对Jacobi迭代法的改进，在Jacobi迭代的分量形式中，为了在每一次迭代计算不同的分量时，可以利用前面已经计算出来的分量，就将Jacobi迭代的分量形式修改为这样，每一个计算出来的分量马上就可以用于计算下一个分量，这种方法比Jacobi迭代法收敛得快。2.松弛迭代法原理为了提高精度，可以考虑运用松弛技术，将高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代得到的值进一步加工成某种松弛值，迭代公式如下

逐次超松弛迭代法是显然Gauss-Seidel方法的一种加速方法，当时，SOR方法就是Gauss-Seidel迭代方法。【实验环境】Visualc++6.0二、实验内容：【实验方案】1.Gauss—Seidel迭代法步1读入数据，初始向量n，增广矩阵，k=1；步2步3判断步4，，转入步2；步5，输出结果。2.SOR方法解方程组Ax=b的算法,其中A为对称正定矩阵，数组x作为一组工作单元，开始存放初始向量，然后存放近似值解，最后存放结果，用控制迭代终止，k表示迭代次数，可以不用。步1；步2；步3；步4步5对于有（1）（2）如果，则，（3）；步6输出；步7如果，则转步3；步8输出结果x，k。【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）调试报错如下：在头文件下加上如下程序doubleCompare(doublea[N],doubleb[N]){ doublec=0; inti; for(i=0;i<=N-1;i++) c+=fabs(a[i]-b[i]); returnc;}在主函数中加如下语句：Gauss_seidel(A,x,b,1e-4);【实验结果】1.Gauss-Seidel迭代法求解方程组的实验结果如下：2.松弛法求方程组实验结果如下：初值的变化对收敛没有影响，SQR方法收敛的充要条件是稀疏矩阵对称正定，且。【实验小结】（收获体会）在这次数值分析试验中，我明白了高斯-赛德尔迭代法和松弛迭代法的异同，更深的理解了用迭代法解线性方程组的方法，并且懂得了编写一段代码，我们不仅要考虑它的可行性，更应该考虑它的算法复杂度，运行效率。由此，我们可以看出做一件事要精益求精，多加斟酌

，并且在数值分析理论课方面更应该多下功夫，扎实基础才是最重要的。三、指导教师评语及成绩：评语评语等级优良中及格不及格1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强2.实验方案设计合理3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）4实验结论正确.成绩：指导教师签名：批阅日期：附录：源程序程序1：#include<stdio.h>#include<math.h>#include<iostream.h>#defineN3doubleCompare(doublea[N],doubleb[N]){ doublec=0; inti; for(i=0;i<=N-1;i++) c+=fabs(a[i]-b[i]); returnc;}voidGauss_seidel(doubleA[N][N],doublex[N],doubleb[N],doubleprecesion){ inti,j,k; doublex2[N],x3[N],sum; for(i=0;i<=N-1;i++) { x2[i]=x[i]; x3[i]=x[i]; } k=1;//k为迭代次数 while(1) { for(i=0;i<=N-1;i++) { sum=0; for(j=0;j<=N-1;j++) { if(j!=i) sum+=A[i][j]*x2[j]; } x[i]=(b[i]-sum)/A[i][i]; x2[i]=x[i]; } //输出每一次迭代的结果 printf("第%d次迭代:\n",k); printf("x3="); for(i=0;i<=N-1;i++) printf("%lf",x3[i]); printf("\n"); printf("x="); for(i=0;i<=N-1;i++) printf("%lf",x[i]); printf("\n"); //判断是否达到迭代精度 if(Compare(x3,x)<=precesion) { printf("达到迭代精度的方程组的解为:\n"); printf("x="); for(i=0;i<=N-1;i++) printf("%lf",x[i]); printf("\n"); break; } else { for(i=0;i<=N-1;i++) x3[i]=x[i]; k++; continue; } }}voidmain(){ doubleA[N][N]={{5,2,1},{-1,4,2},{2,-3,10}},x[N]={0},b[N]={-12,20,3}; Gauss_seidel(A,x,b,1e-4);程序2：#defineN3//线性方程组的阶数#include<iostream.h>#include<math.h>voidmain(){ doublea[N][N]={2,2,-2,2,5,-4,-2,-4,5},//系数矩阵 b[N]={1,2,0};//右端常数向量 doublex0[N]={0,0,0},x[N];//迭代初始向量和迭代向量 doublee=1e-5;//精度要求 intM=500;//最大迭代次数 inti,j,c_M=0; doublesum,current_e; do { current_e=0; for(i=0;i<N;i++) { sum=0; for(j=0;j<N;j++) { if(j!=i) { sum=sum+a[i][j]*x0[j]; } } x[i]=(b[i]-sum)/a[i][i]; }//更新迭代向量 c_M++;//迭代次数加1 for(i=0;i<N;i++) { if(fabs(x[i]-x0[i])>current_e) current_e=fabs(x[i]-x0[i]); } //计算当前误差 for(i=0;i<N;i++) x0[i]=x[i];//更新初始向量 }while(current_e<=e&&c_M<M);//判断是否仍未达到精度要求且未达到最大迭代次数 for(i=0;i<N;i++) cout<<x[i]<<endl;//输出结果 cout<<c_M<<endl;//输出迭代次数} 附录2：实验报告填写说明1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致.2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求.3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识.4．实验环境：实验用的软、硬件环境.5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容.概括整个实验过程.对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作.对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、