概率论与数理统计（第2章）

假设检验第2章随机变量及其分布设有产品100件，其中有5件次品，95件正品，现从中任意抽取20件问“抽得的次品数”是多少?很明显，“次品数”可能是1,也可能是2,3,4,5或者是0(即抽得的20件中无次品).如果我们用变量“x”来表示抽到的“次品数",则"X=i”表示"抽到i件次品"(i=0,1,2,3,4,5)如果用W,表示这一随机现象的基本事件，其中表示抽到的次品数，那么各个基本事件W就和X的取值对应起来了，通常记为上述随机现象所出现的其他可能的结果，如“抽到的产品数不超过4这一事件A也可用变量x来表示，即A={X≤4}或A={X=0}U{X=1}U{X=2}U{X=3}我们可以用一个变量取不同的值(或范围)表示随机现象的各种结定义1设随机试验的样本空间为2={w},若对于Ω的每一个元素即对于试验的每一个可能的结果，实变量X都有一个确定的值与之对应，则称x为随机变量.它常用大写英文字母x,Y或希腊字母与，等表示.例2掷一枚质量分布均匀的骰子，观察其点数.设“出现的点数”为X,则例3某射手每次射击打中目标的概率为0.7,现连续向一个目标射击，直到击中目标为止.设"射击次数"为X,则X是一个随机变量，其可能取的值为例4某公共汽车站每隔5min有一辆汽车通过.一乘客不知道汽车通过该站的时间，他可能在任一时刻到达车站候车.设该乘客的候车时间为X,则X是一个随机变量，其可能取的值在0<X<5范围内.引入随机变量后，随机事件就可以通过随机变量来表示.如例2中“出现3点”这个随机事件可用{X=3}来表示；又如例3中“直到第10次才击中”这个随机事件可用{X=10}来表示.例1离散型随机变量的分布律如表所示，求X的分布函数.012解X可能取的值为0,1,2.当0,x<1时，事件{X,,x}即为{X=0},因此当1,x<2时，事件{X,,x}即为{X=0}与{X=1}之和，因此F(x)=P{X,,x}=P{X=0}+P{X=1}=0.5+0.3=0F(x)=P{X,,x}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=0.5+0.3+0.2=1.综上所述，所求X的分布函数为第2章多维随机变量及其分布2.3.2分布函数的性质F(x₁),,F(x₂).x(=),记作F(-o)=0.注意入区间[μ-3σ,μ+3σ]内的概率为0.9774,即它的值落入区间[μ-3σ,μ+3σ]几谓的“3σ”原则.第2章多维随机变量及其分布2.4连续型随机变量的概率密度3.指数分布若连续型随机变量X的概率密度为例6设某种电子管的使用寿命x(单位：h)服从参数为n=0.0002的指数分布，求该产品的使用寿命超过3000h的概率.解所求概率为这里f(x)是n=0.0002的指数分布的概率密度，其计算公式为于是指数分布在实际中也有重要的应用，它一般可以作为各种“寿命”分布的近似，也可以作为某个特定事件发生所需等待时间的分布.如电子元件的寿命、轮胎的寿命、电话的通话时间等，都可以认为服从指数分布.第2章多维随机变量及其分布设连续型随机变量X的概率密度为f(x),则X的分布函数为即X的分布函数F(x)是概率密度f(x)在区间(-o,x)上的广义积分.由于f(x)=F'(x),故f(x)是F(x)的导函数，F(x)是f(x)的原函数.因此，若已知连续型随机变量的分布故所求随机变量X的分布函数为它的图形为一连续曲线，如图所示.例7求服从区间(a,b)上均匀分布的随机变量X的分布解因X服从均匀分布，故X的概率密度为例8设随机变量x的分布函数为F(x)=A+Barctanx,试求常数A,B及P{X>1).解得,即从而第2章多维随机变量及其分布第2章多维随机变量及其分布一般地，设X的概率分布如表2-7所示.若Y的取值y,=g(x)全不相等，则Y的概率分布如表2-8所示.若g(x)中有相等的，则应把那些相等的值分别合并起来，对应的概率p,也相加，就得到Y的概率分布.XX₂XLXLPP₂PLP.PLYLLP₁PP₂PLL例1设随机变量x的分布律如表2-9所示.求：(1)y=2X+1的分布律；(2)γ=(X-2)²的分布律.X0123452919X01234513579410149(1)Y=2X+1的分布律如表2-11所示.135791612919(2)Y=(X-2)²的分布律如表2-12所示.01491319第2章多维随机变量及其分布连续型随机变量函数是通过给出其概率密度的方式来描述概率分布，设连续型随机变量X解因为,反函数为x=σy+μ,又由于例3对圆片直径进行测量，其值在(5,6)上均匀分布，求圆片面积的概率密度.解设x为直径，则圆片面积为直径的概率密度为得圆片面积的