数列的概念与简单表示

一、选择题1．已知数列{an}对任意的p、q∈N＋满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于()A．－165 B．－33C．－30 D．－21[答案]C[解析]∵对任意p、q∈N＋都有ap＋q＝ap＋aq.∴a10＝a8＋a2＝a4＋a4＋a2＝5a22．已知函数f(n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2当n为奇数时,－n2当n为偶数时))，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于()A．0 B．100C．－100 D．10200[答案]B[解析]当n为奇数时，an＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)当n为偶数时，an＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，则an＝(－1)n(2n＋1)，a1＋a2＋…＋a100＝－3＋5－7＋9…－199＋201＝2×50＝100.3．(2022·沈阳一模)将数列{3n－1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是()A．34950 B．35000C．35010 D．35050[答案]A[解析]由“第n组有n个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列，前99组数的个数共有eq\f(1＋9999,2)＝4950个，故第100组中的第1个数是34950，选A.4．对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]an＋1>|an|，∴－an＋1<an<an＋1，即an＋1－an>0，且an＋an＋1>0，则{an}为递增数列，反之若{an}为递增数列，an＋1>|an|不一定成立．5．(2022·济南统考)已知数列{an}的通项公式an＝3n2－(9＋a)n＋6＋2a(其中a为常数)，若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，则实数aA．[24,36] B．[27,33]C．{a|27≤a≤33，a∈N＋} D．{a|24≤a≤36，a∈N＋}[答案]A[解析]由于数列的定义域为正整数，故由二次函数知识，只需≤eq\f(9＋a,6)≤⇒24≤a≤36即可．6．(2022·上饶一模)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，那么a2022的值是()A．2022×2022 B．2022×2022C．20222 D．2022×2022[答案]D[解析]解法1：a1＝0，a2＝2，a3＝6，a4＝12，考虑到所给结论都是相邻或相同两整数乘积的形式，可变形为：a1＝0×1a2＝1×2a3＝2×3a4＝3×4猜想a2022＝2022×2022，故选D.解法2：an－an－1＝2(n－1)，an－1－an－2＝2(n－2)，…a3－a2＝2×2，a2－a1＝2×1.所有等式左右两边分别相加(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]．∴an－a1＝2eq\f(n－1n－1＋1,2)＝n(n－1)．∴an＝n(n－1)．故a2022＝2022×2022.二、填空题7．(2022·辽宁重点中学模拟)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝eq\f(an－\r(3),\r(3)an＋1)(n∈N＋)，则a56＝________.[答案]－eq\r(3)[解析]由已知条件可推得a2＝－eq\r(3)，a3＝eq\r(3)，a4＝0，故可知数列{an}的周期为3，所以a56＝a2＝－eq\r(3).8．(文)已知an＝eq\f(n－\r(98),n－\r(99))(n∈N＋)，则在数列{an}的前30项中，最大项和最小项分别是第________项．[答案]109[解析]an＝eq\f(n－\r(98),n－\r(99))＝eq\f(n－\r(99)＋\r(99)－\r(98),n－\r(99))＝1＋eq\f(\r(99)－\r(98),n－\r(99))当1≤n≤9时，eq\f(\r(99)－\r(98),n－\r(99))<0，an递减．当n≥10时，eq\f(\r(99)－\r(98),n－\r(99))>0，an递减．∴最大项为a10，最小项为a9.(理)(2022·浙江文，17)若数列{n(n＋4)(eq\f(2,3))n}中的最大项是第k项，则k＝________.[答案]4[解析]本题考查了求数列中最大项问题，可利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an＋1,an≥an－1))来求解；由题意可列不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ak≥ak＋1,ak≥ak－1))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kk＋4\f(2,3)k≥k＋1k＋5\f(2,3)k＋1,kk＋4\f(2,3)k≥k－1k＋3\f(2,3)k－1))化简可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2≥10,k2－2k－9≤0))解之得eq\r(10)≤k≤1＋eq\r(10)又∵k∈Z，∴k＝4.三、解答题9．已知数列{an}满足：a1＝1,4n－1an＝an－1(n∈N，n≥2)(1)求数列{an}的通项公式；(2)这个数列从第几项开始以后各项均小于eq\f(1,1000)？[解析](1)an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a3,a2)·eq\f(a2,a1)·a1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n－1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n－2·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))1＋2＋…＋(n－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up16(\f(n－1n,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n(n－1)∴an＝(eq\f(1,2))n(n－1)(2)当n≤3时，(n－1)n≤6，an＝(eq\f(1,2))(n－1)n≥eq\f(1,64)当n≥4时，(n－1)n≥10，an＝(eq\f(1,2))(n－1)n≤eq\f(1,1024)所以，从第4项开始各项均小于eq\f(1,1000).一、选择题1．(2022·江西理，5)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝()A．1 B．9C．10 D．55[答案]A[解析]本题主要考查数列的求和公式和赋值法．令m＝n＝1，则S1＋S1＝S2，即a1＋a1＝a1＋a2，所以a2＝a1＝1；令n＝1，m＝2，所以S1＋S2＝S3.即a1＋a1＋a2＝a1＋a2＋a3，则a3＝a1＝a2＝1，…，故a10＝1，故选A.2．(文)若数列{an}是正项递增等比数列，Tn表示其前n项的积，且T8＝T4，则当Tn取最小值时，n的值等于()A．5 B．6C．7 D．8[答案]B[解析]由T8＝T4，a5a6a7a8＝1，又a5a8＝a6a7＝1，且数列{an}是正项递增数列，所以a5＜a6＜1＜a7(理)数列{an}中，若an＋1＝eq\f(an,3an＋1)，a1＝1，则a2022等于()\f(1,6031) \f(1,6034)\f(1,6037) \f(1,6040)[答案]C[解析]∵an＋1＝eq\f(an,3an＋1)，∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋3.∴{eq\f(1,an)}是以an＝1为首项，3为公差的等差数列，故eq\f(1,an)＝1＋(n－1)×3＝3n－2，an＝eq\f(1,3n－2)，∴a2022＝eq\f(1,3×2022－2)＝eq\f(1,6037).二、填空题3．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝2，公积为5，Tn为数列{an}前n项的积，则T2022＝________.[答案]2·51002[解析]T2022＝a1(a2a3)·(a4a5)…(a2022·a2022)＝2·54．设{an}是正项数列，其前n项和Sn满足：4Sn＝(an－1)(an＋3)，则数列{an}的通项公式an＝________.[答案]2n＋1[解析]∵4Sn＝aeq\o\al(2,n)＋2an－3，∴当n≥2时，4Sn－1＝aeq\o\al(2,n－1)＋2an－1－3.两式相减得4an＝aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＋2an－2an－1，即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.又∵an>0.∴an－an－1＝2.当n＝1时，由4a1＝aeq\o\al(2,1)＋2a1－3，得a1＝3，故an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.三、解答题5．(2022·湖北理，19(1))已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1＝a(a≠0)，an＋1＝rSn(n∈N＋，r∈R，r≠－1)．求数列{an}的通项公式．[解析]由已知an＋1＝rSn，可得an＋2＝rSn＋1，两式相减可得an＋2－an＋1＝r(Sn＋1－Sn)＝ran＋1，即an＋2＝(r＋1)an＋1，又a2＝ra1＝ra.所以当r＝0时，数列{an}为：a,0，…，0，…；当r≠0，r≠－1时，由已知a≠0，所以an≠0(n∈N＋)，于是由an＋2＝(r＋1)an＋1，可得eq\f(an＋2,an＋1)＝r＋1(n∈N＋)，∴a2，a3，…，an，…成等比数列，∴当n≥2时，an＝r(r＋1)n－2a综上，①r≠0且r≠－1时数列{an}的通项公式为②r＝0时，an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝1,0n≥2)).6．已知数列{an}的前n项和为n2＋pn，数列{bn}的前n项和为3n2－2n.(1)若a10＝b10，求p的值；(2)取数列{bn}的第1项，第3项，第5项，…，构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的通项公式．[解析](1)由已知，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋pn)－[(n－1)2＋p(n－1)]＝2n－1＋p(n≥2)，bn＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5(n≥2)．∴a10＝19＋p，b10＝55.由a10＝b10，得19＋p＝55.∴p＝36.(2)b1＝S1＝1，满足bn＝6n－5.∴数列{bn}的通项公式为bn＝6n－5.取{bn}中的奇数项，所组成的数列的通项公式为b2k－1＝6(2k－1)－5＝12k－11.∴cn＝12n－11.7．(2022·全国卷Ⅰ理)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝c－eq\f(1,an).设c＝eq\f(5,2)，bn＝eq\f(1,an－2)，求数列{bn}的通项公式．[解析]本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力，在解题过程中也渗透了化归与转化思想的考查．an＋1－2＝eq\f(5,2)－eq\f(1,an)－2＝eq\f(an－2,2an)，取倒数有eq\f(1,an＋1