高中数学第7章随机变量及其分布7.3.2离散型随机变量的方差训练提升新人教版选修3

7.3.2离散型随机变量的方差课后·训练提升基础巩固1.设一随机试验的结果只有A和A,且P(A)=m,定义随机变量X=1,A发生,0,A不发生,则DA.m B.2m(1-m)C.m(m-1) D.m(1-m)答案:D解析:随机变量X的分布列为X01P1-mm因此E(X)=0×(1-m)+1×m=m,故D(X)=(0-m)2×(1-m)+(1-m)2×m=m(1-m).2.已知随机变量X满足P(X=1)=0.3,P(X=2)=0.7,则E(X)和D(X)的值分别为()A.0.6和0.7 B.1.7和0.09C.0.3和0.7 D.1.7和0.21答案:D解析:由题意得E(X)=1×0.3+2×0.7=1.7,D(X)=(1-1.7)2×0.3+(2-1.7)2×0.7=0.21.3.如果X是离散型随机变量,E(X)=6,D(X)=0.5,X1=2X-5,那么E(X1)和D(X1)分别是()A.E(X1)=12,D(X1)=1B.E(X1)=7,D(X1)=1C.E(X1)=12,D(X1)=2D.E(X1)=7,D(X1)=2答案:D解析:由题意得E(X1)=2E(X)-5=12-5=7,D(X1)=4D(X)=4×0.5=2.4.(多选题)下列说法中错误的是()A.离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值B.离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平C.离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平D.离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值答案:ABD解析:E(X)反映了X取值的平均水平,D(X)反映了X取值的离散程度.5.已知随机变量X的分布列如下:XmnP1a若E(X)=2,则D(X)的最小值等于()A.12 B.2 C.1 D.答案:D解析:由题意得a=1-13所以E(X)=13m+23n=2,即m+2n=又D(X)=13×(m-2)2+23×(n-2)2=2(n-2)2,所以当n=2时,D(X)取最小值为6.设随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,则E(X)=,D(X)=.

答案:28解析:随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,则E(Y)=2E(X)+b=4+b,即E(X)=2.∵D(Y)=4D(X)=32,∴D(X)=8.7.随机变量X的分布列如下,其中a,b,c成等差数列.若E(X)=53,则D(X)的值为.X123Pabc答案:5解析:因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.又因为a+b+c=1,所以b=13又因为E(X)=a+2b+3c=53,所以a=12,b=13,c=16X123P111所以D(X)=1-532×12+2-532×8.已知随机变量X的分布列为X01xP11p若E(X)=23(1)求D(X)的值;(2)若Y=3X-2,求D(Y)的值.解由12+13+p=1,又E(X)=0×12+1×13+16x=2(1)D(X)=0-232×12+1-232×(2)因为Y=3X-2,所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5.9.在一轮投篮练习中,每名选手最多可投篮4次,现规定一旦命中即停止该轮练习,否则一直试投到4次为止.已知一选手的投篮命中率为0.7,求一轮练习中该选手的实际投篮次数X的分布列,并求X的期望与方差.(结果精确到0.01)解X的可能取值为1,2,3,4.X=1表示第一次即投中,则P(X=1)=0.7;X=2表示第一次未投中,第二次投中,则P(X=2)=(1-0.7)×0.7=0.21;X=3表示第一、二次未投中,第三次投中,则P(X=3)=(1-0.7)2×0.7=0.063;X=4表示前三次未投中,则P(X=4)=(1-0.7)3=0.027.因此X的分布列为X1234P0.70.210.0630.027E(X)=1×0.7+2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.417≈1.42.D(X)=(1-1.417)2×0.7+(2-1.417)2×0.21+(3-1.417)2×0.063+(4-1.417)2×0.027≈0.53.能力提升1.设10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105,随机变量X1取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均为0.2,随机变量X2取值x1+x22,x2+x32,x3+x42,x4+x52,A.D(X1)>D(X2) B.D(X1)=D(X2)C.D(X1)<D(X2) D.D(X1)与D(X2)的大小关系与x1,x2,x3,x4的取值有关答案:A解析:由题意可知E(X1)=E(X2),又因为10≤x1<x1+x22<x2<x2+x32<x3<x3+x所以X1的波动性较大,从而有D(X1)>D(X2).2.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=23,P(X=x2)=13,且x1<x2,若E(X)=43,D(X)=29,则x1+x2A.53 B.73 C.3 D答案:C解析:∵E(X)=23x1+13x2=∴x2=4-2x1,D(X)=x1-432×23+∵x1<x2,∴x1=1,x2=2,∴3.已知A1,A2为两所高校举行的考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为12,该同学一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校的考试,设该同学通过高校的个数为随机变量X,则D(X)=(A.316 B.5C.2564 D.答案:A解析:因为X的取值为0,1,P(X=0)=1-12×1-12=14,P(X=1)所以E(X)=0×14+1×34=34,D(X)=0-342故选A.4.设a,b∈0,12,随机变量X的分布列如表所示,则X02a1Pa1bA.E(X)增大,D(X)增大B.E(X)增大,D(X)减小C.E(X)为定值,D(X)先增大后减小D.E(X)为定值,D(X)先减小后增大答案:D解析:由题意可得a+b+12=1,所以b=12E(X)=0×a+2a×12+1×b=a+12-a=D(X)=0-122×a+2a-122×12+1-12因为a∈0,12,所以当a∈0,14时,D(X)单调递减,当a∈14,12时,D5.根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表所示.降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延误天数Y02610若历史气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300mm,700mm,900mm的概率分别为0.3,0.7,0.9,则工期延误天数Y的方差为.

答案:9.8解析:由已知可得,P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.所以随机变量Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1故E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.故工期延误天数Y的方差为9.8.6.最近,李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财,提出了三种方案.方案一:李师傅的儿子认为:根据股市收益大的特点,应该将10万元全部用来买股票.据分析预测:投资股市一年后可以获利40%,也可能亏损20%(假设只有这两种可能),且获利的概率为12方案二:李师傅认为:现在股市风险大,基金风险较小,应将10万元全部用来买基金.据分析预测:投资基金一年后可能获利20%,可能损失10%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为35方案三:李师傅的妻子认为:投资股市、基金均有风险,应该将10万元全部存入银行一年,现在存款年利率为3%.针对以上三种投资方案,请你为李师傅家选择一种合理的理财方案,并说明理由.解若按方案一执行,设收益为X万元,则其分布列为X4-2P11X的数学期望E(X)=4×12+(-2)×12=若按方案二执行,设收益为Y万元,则其分布列为Y20-1P311Y的数学期望E(Y)=2×35+0×15+(-1)×15若按方案三执行,收益y=10×3%=0.3,因此E(X)=E(Y)>y.又D(X)=(4-1)2×12+(-2-1)2×12=9,D(Y)=(2-1)2×35+(0-1)2×15+(-1-1)由以上可知D(X)>D(Y).这说明虽然方案一、二收益均相等,但方案二更稳妥.所以建议李师傅家选择方案二投资较为合理.7.投资A,B两个项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析,X1和X2的分布列分别为投资A项目的利润率分布列X15%10%P0.80.2投资B项目的利润率分布列X22%8%12%P0.20.50.3(1)若在A,B两个项目上各投资100万元,Y1(单位:万元)和Y2(单位:万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2);(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目,(100-x)万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出当x为何值时,f(x)取得最小值.解(1)由题意知,Y1和Y2的分布列分别为Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E