2023-2023学年江苏省南通市启东中学高二期末数学试卷解析

2024-2024学年江苏省南通市启东中学高二期末数学试卷解析2024-2024学年江苏省南通市启东中学高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1．（5分）（2024?江苏模拟）命题p：?x∈R，x2+1＞0的否定是．

2．（5分）（2024?南通三模）设复数z满意（3+4i）z+5=0（i是虚数单位），则复数z的模为．

3．（5分）（2024秋?启东市校级期末）“直线l∥平面α”是“直线l?平面α”成立的

条件（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个）．

4．（5分）（2024秋?启东市校级期末）抛物线y=ax2的焦点坐标为．5．（5分）（2024秋?仪征市期末）函数y=+2lnx的单调减区间为．

6．（5分）（2024?镇江一模）已知双曲线﹣=1的离心率为，则实数m的值

为．

7．（5分）（2024?陕西）观看下列不等式：

，

，

…

照此规律，第五个不等式为．

8．（5分）（2024秋?启东市校级期末）若“任意x∈R，不等式|x﹣1|﹣|x+1|＞a”为假命题，则实数a的取值范围为．

9．（5分）（2024秋?金台区期末）以直线3x﹣4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为．

10．（5分）（2024秋?启东市校级期末）在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=a，BC=b，则△ABC的外接圆半径r=；类比到空间，若三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两

相互垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径R=．11．（5分）（2024秋?启东市校级期末）若直线l与曲线C满意下列两个条件：（ⅰ）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ⅱ）曲线C在点P四周位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的是．

①直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2；

②直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3；

③直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx；

④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx；

⑤直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx．

12．（5分）（2024?绍兴县校级模拟）若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上全部的点均在其次象限内，则a的取值范围为．

13．（5分）（2024秋?启东市校级期末）已知命题：“若数列{an}为等差数列，且am=a，an=b（m＜n，m，n∈N*），则am+n=”．现已知数列{bn}（bn＞0，n∈N*）为等比数列，

且bm=a，bn=b（m＜n，m，n∈N*），若类比上述结论，则可得到bm+n=．14．（5分）（2024秋?启东市校级期末）假设实数m，n满意m2+n2=1，且f（x）=ax+msinx+ncosx的图象上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值构成的集合为．

二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）（2024?淳安县校级模拟）已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若

“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．

16．（14分）（2024秋?启东市校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥AD且2BC=AD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．

（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；

（2）若平面PAB∩平面PCD=l，求证：直线l不平行于平面ABCD．（用反证法证明）

17．（14分）（2024秋?启东市校级期末）圆O1的方程为x2+（y+1）2=4，圆O2的圆心O2（2，1）．

（1）若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；

（2）若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|=2．求圆O2的方程．

18．（16分）（2024?天心区校级模拟）已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点p（1，0）处（即p为切点）的切线与直线3x+y=0平行．

（1）求常数a、b的值；

（2）求函数f（x）在区间（t＞0）上的最小值和最大值．

19．（16分）（2024?眉山二模）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，

短轴长为2，O为坐标原点：

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？假如是，请赐予证明；假如不是，请说明理由．

20．（16分）（2024?广东模拟）已知函数f（x）=lnx+﹣kx（k为常数）

（1）试争论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在极值，求f（x）的零点个数．

四、（附加题）试卷

21．（2024秋?启东市校级期末）（1）求函数f（x）=cos2（ax+b）的导函数；

（2）证明：若函数f（x）可导且为周期函数，则f′（x）也为周期函数．

22．（2024秋?启东市校级期末）设M、N为抛物线C：y=x2上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线l1、l2，与x轴分别交于A、B两点，且l1与l2相交于点P，若AB=1，求点P的轨迹方程．

23．（2024秋?启东市校级期末）如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，．

（1）求点A到平面MBC的距离；

（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．

24．（2024秋?启东市校级期末）当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：?n∈N*，ex﹣1＞

．（n!=1?2?3?…?（n﹣1）n）

2024-2024学年江苏省南通市启东中学高二（上）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1．（5分）（2024?江苏模拟）命题p：?x∈R，x2+1＞0的否定是?x∈R，x2+1≤0．

考点：命题的否定．

专题：规律型．

分析：本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，由规章写出否定命题即可

解答：解：∵命题“?x∈R，x2+1＞0”

∴命题“?x∈R，x2+1＞0”的否定是“?x∈R，x2+1≤0”

故答案为：?x∈R，x2+1≤0．

点评：本题考查命题的否定，解题的关键是把握并理解全称命题否定的书写方法，其规章是全称命题的否定是特称命题，书写时留意量词的变化．

2．（5分）（2024?南通三模）设复数z满意（3+4i）z+5=0（i是虚数单位），则复数z的模

为1．

考点：复数求模．

专题：计算题．

分析：直接移项已知方程，两边求模，化简即可．

解答：解：由于复数z满意（3+4i）z+5=0，

所以（3+4i）z=﹣5，两边求模可得：|（3+4i）||z|=5，

所以|z|=1．

故答案为：1．

点评：本题考查复数的模的求法，复数积的模等于复数模的积，考查计算力量．

3．（5分）（2024秋?启东市校级期末）“直线l∥平面α”是“直线l?平面α”成立的充分不必

要条件（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个）．

考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．

专题：简易规律．

分析：依据线面平行的定义以及充分条件和必要条件的定义进行推断即可．

解答：解：若直线l∥平面α，则直线l?平面α成立，

若直线l?平面α，则直线l∥平面α或l与平面α相交，

故“直线l∥平面α”是“直线l?平面α”成立的充分不必要条件，

故答案为：充分不必要

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，依据线面平行的定义是解决本题的关键．

4．（5分）（2024秋?启东市校级期末）抛物线y=ax2的焦点坐标为（0，）．

考点：抛物线的简洁性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：先把抛物线方程整理成标准方程，进而依据抛物线的性质可得焦点坐标．

解答：

解：当a＞0时，整理抛物线方程得x2=y，即p=，

由抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为（0，），

所求焦点坐标为（0，）．

当a＜0时，同样可得．

故答案为：（0，）．

点评：本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的性质，属基础题．

5．（5分）（2024秋?仪征市期末）函数y=+2lnx的单调减区间为（0，]．

考点：利用导数讨论函数的单调性．

专题：计算题．

分析：先利用导数运算公式计算函数的导函数y′，再解不等式y′＜0，即可解得函数的单调递减区间

解答：

解：∵=（x＞0）

由y′＞0，得x＞，由y′＜0，得0＜x＜，

∴函数的单调减区间为（0，]

故答案为（0，]

点评：本题主要考查了导数的运算和导数在函数单调性中的应用，利用导数求函数单调区间的方法，解题时留意函数的定义域，避开出错

6．（5分）（2024?镇江一模）已知双曲线﹣=1的离心率为，则实数m的值为4．

考点：双曲线的简洁性质．

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

利用双曲线﹣=1的离心率为，可得，即可求出实数m的值．

解答：

解：∵双曲线﹣=1的离心率为，

∴，

∴m=4．

故答案为：4．

点评：本题考查双曲线的简洁性质，考查离心率，考查同学的计算力量，属于基础题．7．（5分）（2024?陕西）观看下列不等式：

，

，

…

照此规律，第五个不等式为1+++++＜．

考点：归纳推理．

专题：探究型．

分析：由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最终一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n的关系

是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式，再令n=5，即

可得出第五个不等式

解答：解：由已知中的不等式

1+，1++，…

得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最终一个数的分母是不等式序号n+1的平方

右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，

故可以归纳出第n个不等式是1+…+＜，（n≥2），

所以第五个不等式为1+++++＜

故答案为：1+++++＜

点评：本题考查归纳推理，解题的关键是依据所给的三个不等式得出它们的共性，由此得出通式，本题考查了归纳推理考察的典型题，具有一般性

8．（5分）（2024秋?启东市校级期末）若“任意x∈R，不等式|x﹣1|﹣|x+1|＞a”为假命题，则

实数a的取值范围为[﹣2，+∞）．

考点：肯定值不等式的解法．

专题：计算题；不等式的解法及应用；简易规律．

分析：利用已知推断出否命题为真命题，构造函数，利用肯定值的几何意义求出函数的最小值，令最小值不大于a，即可得到a的范围．

解答：解：由于“任意x∈R，不等式|x﹣1|﹣|x+1|＞a”为假命题，

则命题“存在x∈R，不等式|x﹣1|﹣|x+1|≤a”为真命题．

令y=|x﹣1|﹣|x+1|，y表示数轴上的点x到数﹣1及1的距离之差，

所以y的最小值为﹣2，

∴a≥﹣2．

故答案为：[﹣2，+∞）．

点评：本题考查命题p与命题￢p真假相反，考查肯定值的几何意义，考查不等式恒成立常转化为求函数的最值．

9．（5分）（2024秋?金台区期末）以直线3x﹣4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆

的方程为（x+2）2+（y﹣）2=．

考点：圆的标准方程．

专题：计算题；直线与圆．

分析：依据直线3x﹣4y+12=0方程求出它与x轴、y轴交点A、B的坐标，从而得到AB中点为C（﹣2，），即为所求圆的圆心．再用两点的距离公式，算出半径r=|AB|=，最终根

据圆的标准方程列式即可得到所求圆的方程．

解答：解：∵对直线3x﹣4y+12=0令x=0，得y=3；令y=0，得x=﹣4

∴直线3x﹣4y+12=0交x轴于A（﹣4，0），交y轴于B（0，3）

∵所求的圆以AB为直径

∴该圆以AB中点C为圆心，半径长为|AB|

∵AB中点C坐标为（，），即C（﹣2，）

|AB|==

∴圆C的方程为（x+2）2+（y﹣）2=，即（x+2）2+（y﹣）2=

故答案为：（x+2）2+（y﹣）2=

点评：本题给出已知直线，求以直线被两坐标轴截得线段为直径的圆方程，着重考查了中点坐标公式、圆的标准方程和两点间的距离公式等学问，属于基础题．

10．（5分）（2024秋?启东市校级期末）在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=a，BC=b，则△ABC

的外接圆半径r=；类比到空间，若三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两

相互垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径R=．

考点：球的体积和表面积．

专题：计算题；空间位置关系与距离；推理和证明；球．

分析：直角三角形外接圆半径为斜边长的一半，由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且长度分别为a，b，c，将三棱锥补成一个长方体，其外接球的半径R为长方体对

角线长的一半．

解答：解：若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c，

可补成一个长方体，体对角线长为，

∵体对角线就是外接球的直径，

∴棱锥的外接球半径R=．

故答案为：．

点评：本题考查球与内接三棱锥的位置关系，考查球的半径的求法，考查类比思想的运用，属于基础题．

11．（5分）（2024秋?启东市校级期末）若直线l与曲线C满意下列两个条件：（ⅰ）直线l

在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ⅱ）曲线C在点P四周位于直线l的两侧，则称直线l

在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的是②④⑤．

①直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2；

②直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3；

③直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx；

④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx；

⑤直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx．

考点：利用导数讨论曲线上某点切线方程．

专题：新定义；导数的概念及应用．

分析：分别求出每一个命题中曲线C的导数，得到曲线在点P处的导数值，求出曲线在点P处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小推断是否满意

（ii），则正确的选项可求．

解答：解：对于①，由y=（x+1）2，得y′=2（x+1），则y′|x=﹣1=0，

而直线l：x=﹣1的斜率不存在，在点P（﹣1，0）处不与曲线C相切，故①错误；

对于②，由y=x3，得y′=3x2，则y′|x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，

又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满意曲线C在P（0，0）四周位于直线y=0两侧，

故②正确；

对于③，由y=lnx，得y′=，则y′|x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x﹣1，

由g（x）=x﹣1﹣lnx，得g′（x）=1﹣，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）

时，

g′（x）＞0．则g（x）在（0，+∞）上有微小值也是最小值，为g（1）=0．

即y=x﹣1恒在y=lnx的上方，不满意曲线C在点P四周位于直线l的两侧，故③错误；

对于④，由y=sinx，得y′=cosx，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，

又x∈（﹣，0）时x＜sinx，x∈（0，）时x＞sinx，满意曲线C在P（0，0）四周

位于直线y=x两侧，

故④正确；

对于⑤，y=tanx的导数为y′=sec2x，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切

线，

又x∈（﹣，0）时x＞tanx，x∈（0，）时x＜tanx，满意曲线C在P（0，0）四周

位于直线y=x两侧，

故⑤正确．

故答案为：②④⑤．

点评：本题考查了利用导数讨论过曲线上某点处的切线方程，综合考查导数的应用：求单调区间和极值、最值，同时考查新定义的理解，属于中档题和易错题．

12．（5分）（2024?绍兴县校级模拟）若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上全部的点均在

其次象限内，则a的取值范围为（2，+∞）．

考点：圆方程的综合应用．

专题：计算题．

分析：由已知中曲线C的方程x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0，我们易求出圆的标准方程，进而确定圆的圆心为（﹣a，2a），圆的半径为2，然后依据曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上

全部的点均在其次象限内，易构造出关于a的不等式组，解不等式组，即可得到a的取

值范围．

解答：解：由已知圆的方程为x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0

则圆的标准方程为：（x+a）2+（y﹣2a）2=4

故圆的圆心为（﹣a，2a），圆的半径为2

若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上全部的点均在其次象限内，

则a＞0，且|﹣a|＞2

解得a＞2

故a的取值范围为（2，+∞）

故答案为：（2，+∞）

点评：本题考查的学问点是圆的方程的综合应用，其中依据曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上全部的点均在其次象限内，构造出满意条件的不等式组，是解答本题的关键．

13．（5分）（2024秋?启东市校级期末）已知命题：“若数列{an}为等差数列，且am=a，an=b

（m＜n，m，n∈N*），则am+n=”．现已知数列{bn}（bn＞0，n∈N*）为等比数列，

且bm=a，bn=b（m＜n，m，n∈N*），若类比上述结论，则可得到bm+n=．

考点：类比推理．

专题：探究型；推理和证明．

分析：首先依据等差数列和等比数列的性质进行类比，等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列

中的，等差数列中的可以类比等比数列中的，很快就能得到

答案．

解答：解：等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，

等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的，

等差数列中的可以类比等比数列中的．

故bm+n=，

故答案为

点评：本题主要考查类比推理的学问点，解答本题的关键是娴熟把握等差数列和等比数列的性质，依据等差数列的所得到的结论，推导出等比数列的结论，本题比较简洁．

14．（5分）（2024秋?启东市校级期末）假设实数m，n满意m2+n2=1，且f（x）=ax+msinx+ncosx

的图象上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值构成的集合为{0}．

考点：利用导数讨论曲线上某点切线方程．

专题：导数的概念及应用；三角函数的图像与性质；直线与圆．

分析：先利用帮助角公式和m2+n2=1将函数f（x）化简为f（x）=ax+sin（x+φ），求出f′（x），依据f（x）的图象上存在两条切线垂直，不妨设在x=b与x=c处的切线相互垂直，则由导

数的几何意义，分别求出两条切线的斜率k1=f′（b）=a+cos（b+φ），k2=f′（c）=a+cos（c+φ），

则=﹣1，化简为关于a的一元二次方程要有实数根，从而得

到△≥0，再利用三角函数的有界性，即可得到cos（b+φ）=1，cos（c+φ）=﹣1或者cos（b+φ）

=﹣1，cos（c+φ）=1，代入到=﹣1，即可求出a=0．

解答：解：∵f（x）=ax+msinx+ncosx

∴f（x）=ax+sin（x+φ），

∵m2+n2=1，

∴f（x）=ax+sin（x+φ），

∴f′（x）=a+cos（x+φ），

∵f（x）=ax+msinx+ncosx的图象上存在两条切线垂直，

设在x=b与x=c处的切线相互垂直，

则k1=f′（b）=a+cos（b+φ），k2=f′（c）=a+cos（c+φ），

∴k1?k2=﹣1，

即=﹣1，

∴关于a的二次方程a2+a+cos（b+φ）cos（c+φ）+1=0有实数根，

∴△=2﹣4×

=2﹣4≥0，

又∵﹣2≤cos（b+φ）﹣cos（c+φ）≤2，

∴2≤4，即2﹣4≤0，

∴2﹣4=0

∴cos（b+φ）=1，cos（c+φ）=﹣1或者cos（b+φ）=﹣1，cos（c+φ）=1，

∵=﹣1，

∴a2﹣1=﹣1，

∴a=0，

故答案为：{0}．

点评：本题考查了利用导数讨论曲线上某点切线方程，两直线垂直的条件．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要留意运用切点在曲线上和切点在切线上．属

于中档题．

二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15．（14分）（2024?淳安县校级模拟）已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若

“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．

考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断；一元二次不等式的解法；肯定值不等式的解法．

分析：思路一：“按题索骥”﹣﹣解不等式，求否命题，再依据充要条件的集合表示进行求解；

思路二：本题也可以依据四种命题间的关系进行等价转换，然后再依据充要条件的集合表

示进行求解．

解答：

解：解法一：由p：|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，

∴“非p”：A={x|x＞10或x＜﹣2}、（3分）

由q：x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）

∴“非q”：B={x|x＞1+m或x＜1﹣m，m＞0=（6分）

由“非p”是“非q”的必要而不充分条件可知：B?A.解得m≥9．

∴满意条件的m的取值范围为{m|m≥9}．（12分）

解法二：由“非p”是“非q”的必要而不充分条件．即“非q”?“非p”，但“非p”“非q”，可

以等价转换为它的逆否命题：“p?q，但qp”．即p是q的充分而不必要条件．

由|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，

∴p={x|﹣2≤x≤10}

由x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）

∴q={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}

由p是q的充分而不必要条件可知：

p?q?解得m≥9．

∴满意条件的m的取值范围为{m|m≥9}．

点评：本题考查了肯定值不等式与一元二次不等式的解法，又考了命题间的关系的理解；两个学问点的简洁结合构成了一道难度不太大但是要么得分不高，要么由于这道题导致整张卷子

答不完，所以对于此类问题要平常加强计算力量的培育．

16．（14分）（2024秋?启东市校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，

BC∥AD且2BC=AD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．

（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；

（2）若平面PAB∩平面PCD=l，求证：直线l不平行于平面ABCD．（用反证法证明）

考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

专题：空间位置关系与距离．

分析：（1）自P作PH⊥AB于H，由平面PAB⊥平面ABCD，可得PH⊥平面ABCD．于是BC⊥PH．又BC⊥PB，可得BC⊥平面PAB，即可证明平面PBC⊥平面PAB；

（2）利用反证法，证明AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形，得到冲突即可得到结

论．

解答：（1）证明：自P作PH⊥AB于H，

由于平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，PH?平面PAB，

所以PH⊥平面ABCD．

由于BC?平面ABCD，

所以BC⊥PH．

由于∠PBC=90°，

所以BC⊥PB，

而∠PBA≠90°，于是点H与B不重合，即PB∩PH=P．

由于PB，PH?平面PAB，

所以BC⊥平面PAB．

由于BC?平面PBC，

故平面PBC⊥平面PAB；

（2）不平行，

反证法：

假设直线l平行于平面ABCD，

由于l?平面PCD，且平面PCD∩平面ABCD=CD，

∴l∥CD，

同理可得l∥AB，

即AB∥CD，

∵BC∥AD，

∴四边形ABCD为梯形，

则AD=BC，与2BC=AD冲突，

故假设不成立，

即直线l不平行于平面ABCD．

点评：本题主要考查面面垂直和线面平行的判定，要求娴熟把握相应的判定定理．

17．（14分）（2024秋?启东市校级期末）圆O1的方程为x2+（y+1）2=4，圆O2的圆心O2

（2，1）．

（1）若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；

（2）若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|=2．求圆O2的方程．

考点：圆与圆的位置关系及其判定．

专题：直线与圆．

分析：（1）通过圆心距对于半径和，求出圆的半径，即可求出圆的方程．

（2）利用圆心距与写出的故选求出，圆到直线的距离，然后求出所求圆的半径，即可

求出圆的方程．

解答：解：（1）圆O1的方程为x2+（y+1）2=4，圆心坐标（0，﹣1），半径为：2，

圆O2的圆心O2（2，1）．

圆心距为：=2，圆O2与圆O1外切，

所求圆的半径为：2，

圆O2的方程（x﹣2）2+（y﹣1）2=12﹣8，

（2）圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|=2．

所以圆O1交到AB的距离为：=，

当圆O2到AB的距离为：，

圆O2的半径为：=2．

圆O2的方程：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．

当圆O2到AB的距离为：3，

圆O2的半径为：=．

圆O2的方程：（x﹣2）2+（y﹣1）2=20．

综上：圆O2的方程：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4或（x﹣2）2+（y﹣1）2=20．

点评：本题考查两个圆的位置关系，圆的方程的求法，考查计算力量．

18．（16分）（2024?天心区校级模拟）已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点p（1，0）处

（即p为切点）的切线与直线3x+y=0平行．

（1）求常数a、b的值；

（2）求函数f（x）在区间（t＞0）上的最小值和最大值．

考点：利用导数讨论曲线上某点切线方程；利用导数讨论函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

专题：计算题．

分析：（1）由题目条件知，点P（1，0）为切点，且函数在改点处的导数值为切线的斜率，从而建立关于a，b的方程，可求得a，b的值；

（2）由（1）确定了函数及其导数的解析式，解不等式f'（x）＞0与f'（x）＜0，可求

出函数的单调区间，争论t与区间（0，2]的位置关系，依据函数的单调性分别求出函数

f（x）在区间（t＞0）上的最小值和最大值．

解答：解：（1）f'（x）=3x2+2ax，

由于函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点p（1，0）处（即p为切点）的切线与直线3x+y=0

平行，

所以f'（1）=3+2a=﹣3，

∴a=﹣3．

又f（1）=a+b+1=0

∴b=2．

综上：a=﹣3，b=2

（2）由（1）知，f（x）=x3﹣3x2+2，f'（x）=3x2﹣6x．

令f'（x）＞0得：x＜0或x＞2，f'（x）＜0得：0＜x＜2

∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（2，+∞），单调递减区间为（0，2）．

又f（0）=2，f（3）=2

∴当0＜t≤2时，f（x）的最大值为f（0）=2，最小值为f（t）=t3﹣3t2+2；

当2＜t≤3时，f（x）的最大值为f（0）=2，最小值为f（2）=﹣2；

当t＞3时，f（x）的最大值为f（t）=t3﹣3t2+2，最小值为f（2）=﹣2

点评：本题主要考查了利用导数讨论函数的最大值，最小值，同时考查了导数的几何意义，以及同学敏捷转化题目条件的力量，属于中档题．

19．（16分）（2024?眉山二模）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆，（a＞b＞0）

上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，

短轴长为2，O为坐标原点：

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；

（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？假如是，请赐予证明；假如不是，请说明理由．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

专题：计算题；压轴题．

分析：（Ⅰ）依据题意可求得b，进而依据离心率求得a和c，则椭圆的方程可得．

（Ⅱ）设出直线AB的方程，与椭圆方程联立消去y，表示出x1+x2和x1x2，利用建

立方程求得k．

（Ⅲ）先看当直线的斜率不存在时，可推断出x1=x2，y1=﹣y2，依据=0求得x1和y1

的关系式，代入椭圆的方程求得|x1|和|y1|求得三角形的面积；再看当直线斜率存在时，设

出直线AB的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用=0

求得2b2﹣k2=4，最终利用弦长公式和三角形面积公式求得答案．

解答：

解：（Ⅰ）2b=2．b=1，e=

椭圆的方程为

（Ⅱ）由题意，设AB的方程为y=kx+

由已知=0得：

=

，解得k=±

（Ⅲ）（1）当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=﹣y2，

由=0，则

又A（x1，y1）在椭圆上，所以

S=

所以三角形的面积为定值

（2）当直线AB斜率存在时，设AB的方程为

y=kx+b

得到x1+x2=

代入整理得：

2b2﹣k2=4

=

所以三角形的面积为定值

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．设直线方程的时候，肯定要考虑斜率不存在时的状况，以免有所遗漏．

20．（16分）（2024?广东模拟）已知函数f（x）=lnx+﹣kx（k为常数）

（1）试争论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在极值，求f（x）的零点个数．

考点：利用导数讨论函数的单调性；根的存在性及根的个数推断．

专题：导数的综合应用．

分析：

（1）先求出f′（x）=，而方程x2﹣kx+1=0的判别式△=k2﹣4，再争论（i）当

﹣2＜k＜2时（ii）当k=±2时，（iii）当k＜﹣2或k＞2时的状况，从而求出函数的单调

区间；

（2）由（1）知当k＞2时，得f极大值（x）=f（x1）=＜0，当x∈（0，x2]

时，f（x）≤f（x1）＜0，即f（x）在（0，x2]无零点，当x∈（x2，+∞）时，f（x）是增

函数，故f（x）在（x2，+∞）至多有一个零点，另一方面，f（x）在（x2，2k）至少有一

个零点，进而当f（x）存在极值时，f（x）有且只有一个零点．

解答：解：（1）函数的定义域为（0，+∞），

f′（x）=，

方程x2﹣kx+1=0的判别式△=k2﹣4，

（i）当﹣2＜k＜2时，△＜0，在f（x）的定义域内f′（x）＞0，

f（x）是增函数；

（ii）当k=±2时，△=0，

若k=﹣2，f′（x）=＞0，f（x）是增函数

若k=2，f′（x）=，

那么x∈（0，1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，且f（x）在x=1处连续，

所以f（x）是增函数；

（iii）当k＜﹣2或k＞2时，△＞0，方程x2﹣kx+1=0有两不等实根

x1=，x2=，

当k＜﹣2时，x1＜x2＜0，当x＞0时，x2﹣kx+1＞0恒成立，

即f′（x）＞0，f（x）是增函数

当k＞2时，x2＞x1＞0，此时f（x）的单调性如下表：

x（0，

x1）x1（x1，x）x2（x2，

+∞）

f′（x）+0﹣0+

f（x）增减增

综上：当k≤2时，f（x）在（0，+∞）是增函数

当k＞2时，f（x）在（0，），（，+∞）是增函数，在（，）是减函数；

（2）由（1）知当k＞2时，f（x）有极值

∵x1==＜＜1，

∴lnx1＜0，

且f极大值（x）=f（x1）=＜0，

∵f（x）在（0，x1）是增函数，在（x1，x2）是减函数，

∴当x∈（0，x2]时，f（x）≤f（x1）＜0，即f（x）在（0，x2]无零点，

当x∈（x2，+∞）时，f（x）是增函数，故f（x）在（x2，+∞）至多有一个零点，

另一方面，∵f（2k）=ln（2k）＞0，f（x2）＜0，则f（x2）f（2k）＜0，

由零点定理：f（x）在（x2，2k）至少有一个零点，

∴f（x）在（x2，+∞）有且只有一个零点

综上所述，当f（x）存在极值时，

f（x）有且只有一个零点．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，考查根的存在性及根的个数问题，是一道综合题．

四、（附加题）试卷

21．（2024秋?启东市校级期末）（1）求函数f（x）=cos2（ax+b）的导函数；

（2）证明：若函数f（x）可导且为周期函数，则f′（x）也为周期函数．

考点：导数的运算；函数的周期性．

专题：导数的综合应用．

分析：（1）利用倍角公式降幂，然后利用基本初等函数的导数公式及简洁的复合函数的导数得答案；

（2）函数f（x）可导且为周期函数，则存在a≠0，使得f（x+a）=f（x），两边对x求导数

即可证明f′（x）也为周期函数．

解答：

（1）解：由f（x）=cos2（ax+b）=，得

=﹣asin（2ax+2b）；

（2）证明：函数f（x）可导且为周期函数，则存在a≠0，使得f（x+a）=f（x），

两边对x求导得f'（x+a）=f'（x），

∴以f'（x）是以a为周期的周期函数．

点评：本题考查了对数的运算，考查了基本初等函数的导数公式，考查了简洁的复合函数的导数，是基础题．

22．（2024秋?启东市校级期末）设M、N为抛物线C：y=x2上的两个动点，过M、N分别

作抛物线C的切线l1、l2，与x轴分别交于A、B两点，且l1与l2相交于点P，若AB=1，

求点P的轨迹方程．

考点：轨迹方程．

专题：导数的综合应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：设P（x，y），M（x1，x12），N（x2，x22），由导数求得两直线的斜率，用点斜式求得l1的方程，同理求得l2的方程，由此建立x，y的方程．

解答：解：设P（x，y），M（x1，x12），N（x2，x22），

由y=x2，得y′=2x，∴=2x1，

∴l1的方程为y﹣x12=2x1（x﹣x1），即y=2x1x﹣x12①，

同理，l2的方程为y=2x2x﹣x22②，

令y=0，可求出A（，0），B（，0）．

∵|AB|=1，∴|x1﹣x2|=2，即|x1+x2|2﹣4x1x2=4，