同构函数教学设计

同构函数同构法在近几年的模考中频繁出现，首先将题目中的等式或不等式经过适当的整理变形，表示成两侧具有相同结构，然后利用这个结构式构造相对应的函数，再利用函数单调性解题.类型一地位同等同构型含有地位同等的两个变量x1，x2或x，y或a，b的等式或不等式，如果进行整理(即同构)后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用函数单调性解决.例1(1)若0<x1<x2<1，则()A.ex2－ex1>lnx2－lnx1 B.ex1－ex2>lnx2－lnx1C.x2ex1>x1ex2 D.x2ex1<x1ex2(2)(2022·石家庄调研)若0＜x1＜x2＜a，都有x2lnx1－x1lnx2≤x1－x2成立，则a的最大值为()A.eq\f(1,2) B.1C.e D.2e解析(1)A选项，ex2－ex1>lnx2－lnx1⇔ex2－lnx2>ex1－lnx1，设f(x)＝ex－lnx.∴f′(x)＝ex－eq\f(1,x)＝eq\f(xex－1,x)，设g(x)＝xex－1，则有g′(x)＝(x＋1)ex>0恒成立，所以g(x)在(0，1)上单调递增，因为g(0)＝－1<0，g(1)＝e－1>0，从而存在x0∈(0，1)，使得g(x0)＝0.由单调性可判断出，x∈(0，x0)，g(x)<0⇒f′(x)<0；x∈(x0，1)，g(x)>0⇒f′(x)>0，所以f(x)在(0，1)上不单调，不等式不会恒成立，A不正确；B选项，ex1－ex2>lnx2－lnx1⇔ex1＋lnx1>ex2＋lnx2，设函数f(x)＝ex＋lnx，可知f(x)单调递增，所以f(x1)<f(x2)，B错误；C选项，x2ex1>x1ex2⇔eq\f(ex1,x1)>eq\f(ex2,x2)，构造函数f(x)＝eq\f(ex,x)，f′(x)＝eq\f(（x－1）ex,x2)，则f′(x)<0在x∈(0，1)恒成立，所以f(x)在(0，1)上单调递减，所以f(x1)>f(x2)成立，C正确，D错误.(2)由x2lnx1－x1lnx2≤x1－x2，两边同除以x1x2得eq\f(lnx1,x1)－eq\f(lnx2,x2)≤eq\f(1,x2)－eq\f(1,x1)，即eq\f(lnx1,x1)＋eq\f(1,x1)≤eq\f(lnx2,x2)＋eq\f(1,x2)，令f(x)＝eq\f(lnx,x)＋eq\f(1,x)，则f(x)在(0，a)上为增函数.∴f′(x)≥0在(0，a)上恒成立，而f′(x)＝eq\f(－lnx,x2)，可知f(x)在(0，1)上为增函数，∴a≤1，∴a的最大值为1，故选B.规律方法含有二元变量x1，x2的函数，常见的同构类型有以下几种：(1)g(x1)－g(x2)>λ[f(x2)－f(x1)]⇔g(x1)＋λf(x1)>g(x2)＋λf(x2)，构造函数φ(x)＝g(x)＋λf(x)；(2)eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>k(x1<x2)⇔f(x1)－f(x2)<kx1－kx2⇔f(x1)－kx1<f(x2)－kx2，构造函数φ(x)＝f(x)－kx；(3)eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<eq\f(k,x1x2)(x1<x2)⇔f(x1)－f(x2)>eq\f(k（x1－x2）,x1x2)＝eq\f(k,x2)－eq\f(k,x1)⇔f(x1)＋eq\f(k,x1)>f(x2)＋eq\f(k,x2)，构造函数φ(x)＝f(x)＋eq\f(k,x).训练1(1)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则()A.a>2b B.a<2bC.a>b2 D.a<b2(2)(2022·济南模拟)若对任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1＜x2，eq\f(x1lnx2－x2lnx1,x2－x1)＜2，则m的最小值是()A.e2 B.eC.1 D.eq\f(1,e)类型二指对跨阶同构型1.对于一个指数、直线、对数三阶的问题可以通过跨阶函数的同构，转化为两阶问题解决，通常在一些求参数的取值范围、零点个数、证明不等式中应用跨阶同构来快速解题.跨阶同构需要构造一个母函数，即外层函数，这个母函数需要满足：①指对跨阶，②单调性和最值易求.2.为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需要对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：x＝elnx，xex＝elnx＋x，x2ex＝e2lnx＋x，eq\f(ex,x)＝e－lnx＋x，lnx＋lna＝ln(ax)，lnx－1＝lneq\f(x,e)，有时也需要对两边同时加、乘某式等.例2(1)(2022·南通质检)若关于x的不等式ex－a≥lnx＋a对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,e))) B.(－∞，e]C.(－∞，1] D.(－∞，2](2)若不等式e(m－1)x＋3mxex≥3exlnx＋7xex对任意x∈(0，＋∞)恒成立，则实数m的取值范围是________.解析(1)∵ex－a≥lnx＋a，∴ex－a＋x－a≥x＋lnx，∴ex－a＋x－a≥elnx＋lnx，设f(t)＝et＋t，则f′(t)＝et＋1＞0，∴f(t)在R上单调递增，故ex－a＋(x－a)≥elnx＋lnx，即f(x－a)≥f(lnx)，即x－a≥lnx，即a≤x－lnx，设g(x)＝x－lnx，则g′(x)＝1－eq\f(1,x)＝eq\f(x－1,x)，令g′(x)＞0，x＞1，∴g(x)在(1，＋∞)上递增，在(0，1)上递减，故g(x)min＝g(1)＝1，故a≤1，故选C.(2)e(m－1)x＋3mxex≥3exlnx＋7xex⇔e(m－2)x＋3mx≥3lnx＋7x⇔e(m－2)x＋3(m－2)x≥3lnx＋x.构建g(x)＝ex＋3x，则可得g((m－2)x)≥g(lnx)，∵g(x)＝ex＋3x在R上单调递增，则(m－2)x≥lnx⇔m－2≥eq\f(lnx,x)，构建F(x)＝eq\f(lnx,x)，则F′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，令F′(x)>0，则0<x<e，故F(x)在(0，e)上单调递增，(e，＋∞)上单调递减，则F(x)≤F(e)＝eq\f(1,e)，即m－2≥eq\f(1,e)，即m≥2＋eq\f(1,e).规律方法指对跨阶同构的基本模式有：(1)积型：aea≤blnb，一般有三种同构方式：①同左：aea≤blnb⇔aea≤(lnb)elnb，构造函数f(x)＝xex；②同右：aea≤blnb⇔ealnea≤blnb，构造函数f(x)＝xlnx；③两边同取自然对数：a＋lna≤lnb＋ln(lnb)，构造函数f(x)＝x＋lnx.(2)商型：eq\f(ea,a)<eq\f(b,lnb)，一般也有三种同构方式：①同左：eq\f(ea,a)<eq\f(b,lnb)⇔eq\f(ea,a)<eq\f(elnb,lnb)，构造函数f(x)＝eq\f(ex,x)；②同右：eq\f(ea,a)<eq\f(b,lnb)⇔eq\f(ea,lnea)<eq\f(b,lnb)，构造函数f(x)＝eq\f(x,lnx)；③两边同取自然对数：a－lna<lnb－ln(lnb)，构造函数f(x)＝x－lnx.(3)和差型：ea±a>b±lnb，一般有两种同构方式：①同左：ea±a>b±lnb⇔ea±a>elnb±lnb，构造函数f(x)＝ex±x；②同右：ea±a>b±lnb⇔ea±lnea>b±lnb，构造函数f(x)＝x±lnx.训练2(1)(2022·广州调研)已知f(x)＝ekx－2eq\f(lnx,kx)＋1(k≠0)，函数g(x)＝xlnx，若kf(x)≥2g(x)，对∀x∈(0，＋∞)恒成立，则实数k的取值范围为()A.[1，＋∞) B.[e，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,e)，＋∞))(2)若∀x∈[e，＋∞)，满足2x3lnx－meeq\s\up6(\f(m,x))≥0恒成立，则实数m的取值范围为________.类型三零点同构型例3(1)(2022·盐城质检)已知函数f(x)＝xex－a(x＋lnx)有两个零点，则实数a的取值范围是________.(2)已知x0是函数f(x)＝x2ex－2＋lnx－2的零点，则e2－x0＋lnx0＝________.解析(1)f(x)＝xex－a(x＋lnx)＝ex＋lnx－a(x＋lnx)，令t＝x＋lnx，t∈R，显然该函数单调递增.由et－at＝0有两个根，即a＝eq\f(et,t)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(et,t)，,y＝a))有两个交点，可画出函数图象得到a的范围是(e，＋∞).(2)x2ex－2＋lnx－2＝0，可得x2ex－2＝2－lnx，即eq\f(x2ex,e2)＝2－lnx，x2ex＝2e2－e2lnx，xex＝eq\f(2e2,x)－eq\f(e2,x)lnx，即xex＝eq\f(e2,x)lneq\f(e2,x)，两边同取自然对数，lnx＋x＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co