《高等数学》-第四章-不定积分课件

12九月20231高等数学多媒体课件牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）03八月20231高等数学多媒体课件牛顿（Newton）12九月20232微分法:积分法:互逆运算第四章不定积分（IndefiniteIntegrals）03八月20232微分法:积分法:互逆运算第四章不12九月20233主要内容第一节不定积分的概念与性质第二节换元积分法第三节分部积分法第四节几种特殊类型函数的积分第五节积分表的使用03八月20233主要内容第一节不定积分的概念12九月20234第一节不定积分的概念与性质

第四章一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表（ConceptionsandpropertiesofIndefiniteIntegrals）三、不定积分的性质四、小结与思考题03八月20234第一节不定积分的概念与性质第12九月20235一、原函数与不定积分的概念(PrimitiveFunctionandtheIndefiniteIntegral)定义1

若在区间I

上定义的两个函数F(x)及f(x)满足在区间

I

上的一个原函数

.则称F(x)为f(x)例如,的原函数有问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?03八月20235一、原函数与不定积分的概念(Primi12九月20236

定理1（原函数存在定理）

存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数03八月20236定理1（原函数存在定理）存在原函数12九月20237原函数都在函数族(C为任意常数)内.证:1)又知故即属于函数族即定理203八月20237原函数都在函数族(C为任意常数)12九月20238在区间

I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;若则(C为任意常数)C

称为积分常数不可丢!例如,记作定义203八月20238在区间I上的原函数全体称为上的不定12九月20239的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线

.不定积分的几何意义:03八月20239的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线12九月202310二、基本积分表从不定积分定义可知:或或利用逆向思维(k

为常数)03八月202310二、基本积分表从不定积分定义可知:12九月202311或或03八月202311或或12九月20231203八月20231212九月202313解:

原式=例2（补充题）求解:

原式=例1（课本例5）求03八月202313解:原式=例2（补充题）12九月202314三、不定积分的性质(PropertiesoftheIndefiniteIntegral)推论:

若则03八月202314三、不定积分的性质(Properti12九月202315解:

原式=例3

（补充题）求03八月202315解:原式=例3（补充题）求12九月202316解:

原式=例5（课本例8）求解:

原式=例4（补充题）

求03八月202316解:原式=例5（课本例8）12九月202317解：03八月202317解：12九月202318内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质03八月202318内容小结1.不定积分的概念•原函12九月202319课后练习习题4-11（偶数题）；3思考与练习1.

若提示:03八月202319课后练习习题4-11（偶12九月202320是的原函数,则提示:已知2.

若03八月202320是的原函数,则提示:已知2.12九月202321的导函数为则的一个原函数是().提示:已知求即B??或由题意其原函数为3.

若03八月202321的导函数为则的一个原函数是(12九月202322提示:4.

求下列积分:03八月202322提示:4.求下列积分:12九月202323解：5.

求不定积分03八月202323解：5.求不定积分12九月202324求A,B.解:

等式两边对x

求导,得6.

已知03八月202324求A,B.解:等式两边对12九月202325复习引入(Introduction)在上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质”给出了“基本积分公式表”。但是，对于形如这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表我们就无能为力了。为此，……03八月202325复习引入(Introduction)12九月202326第二节换元积分法(1)

第四章一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法（IntegrationbySubstitution）三、小结与思考题03八月202326第二节换元积分法(1)第四12九月202327第二类换元法第一类换元法设可导,则有基本思路03八月202327第二类换元法第一类换元法设可导,则有12九月202328一、第一类换元积分法定理1

则有换元公式(也称配元法,凑微分法)03八月202328一、第一类换元积分法定理1则有换元12九月202329提示：令例1

求例2

求提示：令例3（补充题）求解:

令则故原式

=03八月202329提示：令例1求例2求提示：12九月202330例4

求答案：例5

求例6

求答案：例7

（补充题）求解:例8

（课本例7）求答案：03八月202330例4求答案：例5求例612九月202331万能凑幂法常用的几种配元形式:03八月202331万能凑幂法常用的几种配元形式:12九月202332解:

原式=例9（补充题）求03八月202332解:原式=例9（补充题）求12九月202333解:

原式=例11（补充题）求解:

原式=例10（补充题）

求自学课本例18～1903八月202333解:原式=例11（补充题）求解:12九月202334解法1解法2两法结果一样例12（补充题）求03八月202334解法1解法2两法结果一样例12（补12九月202335解法1例13（课本例14）求（与课本解法不一样）03八月202335解法1例13（课本例14）求（与12九月202336同样可证或(课本例13)解法203八月202336同样可证或(课本例13)解法212九月202337解:

原式=例14（补充题）求03八月202337解:原式=例14（补充题）求12九月202338解:例15（补充题）求03八月202338解:例15（补充题）求12九月202339解:∴原式=例16（补充题）求03八月202339解:∴原式=例16（补充题）求12九月202340解:

原式=分析:

例17（补充题）求03八月202340解:原式=分析:例17（补充12九月202341内容小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如03八月202341内容小结常用简化技巧:(1)分项12九月202342课后练习习题4-21；2（1）～（18）思考与练习1.

下列各题求积方法有何不同?03八月202342课后练习习题4-21；2（1）12九月202343提示:法1法2法32.

求03八月202343提示:法1法2法32.求12九月202344解:原式3.求03八月202344解:原式3.求12九月2023454.

求下列积分:03八月2023454.求下列积分:12九月202346求不定积分解：利用凑微分法,原式=令得5.03八月202346求不定积分解：利用凑微分法,原式12九月202347第二节换元积分法(2)

第四章一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法（IntegrationbySubstitution）三、小结与思考题03八月202347第二节换元积分法(2)第四章12九月202348二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则用第二类换元积分法

.难求，03八月202348二、第二类换元法第一类换元法解决的问12九月202349是单调可导函数,且具有原函数,证:令则则有换元公式定理2设03八月202349是单调可导函数,且具有原函数,12九月202350解:

令则∴原式例1（课本例21）求03八月202350解:令则∴原式例1（课本例2112九月202351解:

令则∴原式例2（课本例22）

求03八月202351解:令则∴原式例2（课本例212九月202352解:令则∴原式例3（课本例23）求03八月202352解:令则∴原式例3（课本例2312九月202353令于是03八月202353令于是12九月202354被积函数含有时,除采用采用双曲代换：消去根式,所得结果一致.例如，或或三角代换外,还可利用公式：说明:中,令03八月202354被积函数含有时,除采用采用双曲代换12九月202355原式解:

令则原式当

x<0时,类似可得同样结果.例4（补充题）求03八月202355原式解:令则原式当x<0时12九月202356例5（补充题）求令解：03八月202356例5（补充题）求令解：12九月2023571.第二类换元法常见类型:令令令或令或令或第四节讲小结:03八月2023571.第二类换元法常见类型:令12九月202358(7)

分母中因子次数较高时,可试用倒代换

令2.常用基本积分公式的补充

03八月202358(7)分母中因子次数较高时,可12九月20235903八月20235912九月202360解:

原式(补充公式(20))例7（补充题）求解:(补充公式(23))例6（课本例25）求03八月202360解:原式(补充公式(20))12九月202361解:

原式=(补充公式(22))例9

（补充题）求解:

原式(补充公式(22))例8（课本例27）求03八月202361解:原式=(补充公式(22)12九月202362课后练习习题4-22（19）～（22）思考与练习1.

下列积分应如何换元才使积分简便?令令令03八月202362课后练习习题4-22（19）12九月202363求解:

两边求导,得则(代回原变量)

2.

已知03八月202363求解:两边求导,得则(代回原12九月2023643.求不定积分分子分母同除以解:令原式03八月2023643.求不定积分分子分母同除以解:令12九月202365新课引入(Introduction)在前一节，我们利用复合函数的求到法则得到了“换元积分法”

。但是，对于形如的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算.

注意到，这些积分的被积函数都有共同的特点——都是两种不同类型函数的乘积。这就启发我们把两个这就是另一个基本的积分方法：分部积分法.

函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，03八月202365新课引入(Introduction)12九月202366积分得:分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.由导数乘法公式：03八月202366积分得:分部积分公式或1)v容12九月202367第三节分部积分法

第四章（IntegrationbyParts）例1

求解:

令则∴原式另解:令则∴原式03八月202367第三节分部积分法第四章（I12九月202368解:

令则原式=例2求（课本例3）03八月202368解:令则原式=例2求（课本12九月202369解:

令则∴原式例3求（课本例4）03八月202369解:令则∴原式例3求（课12九月202370解:

令,则∴原式再令,则故原式=说明:

也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.例4

求（课本例7）03八月202370解:令,则∴原式再令,12九月202371把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”

的顺序,前者为后者为例5（补充题）求解:

令,则原式=反:反三角函数对:

对数函数幂:

幂函数指:

指数函数三:

三角函数解题技巧:（自学课本例5～6）03八月202371把被积函数视为两个函数之积,按“12九月202372解:

令,则原式=例6（补充题）求03八月202372解:令,则原式=例6（补充题12九月202373解:

令则原式令例7（课本例10）求03八月202373解:令则原式令例7（课本例1012九月202374解:

令则得递推公式例8求（课本例9）03八月202374解:令则得递推公式例8求（课本12九月202375递推公式已知利用递推公式可求得例如,说明:03八月202375递推公式已知利用递推公式可求得例如,12九月202376分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的u,v

函数类型不变,

解出积分后加

C)例43)对含自然数n

的积分,通过分部积分建立递推公式.说明:03八月202376分部积分题目的类型:1)直接分部12九月202377的一个原函数是求解:说明:

此题若先求出再求积分反而复杂.例9已知（补充题）03八月202377的一个原函数是求解:说明:此题若12九月202378解法1

先换元后分部令即则故例10求（补充题）03八月202378解法1先换元后分部令即则故例112九月202379解法2

用分部积分法03八月202379解法2用分部积分法12九月202380本节小结分部积分公式1.使用原则:易求出,易积分2.使用经验:“反对幂指三”

,前u

后3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式03八月202380本节小结分部积分公式1.使用原则12九月202381课后练习习题4-3（偶数题）思考与练习1.

下述运算错在哪里?应如何改正?得

0=1答:

不定积分是原函数族,相减不应为0.求此积分的正确作法是用换元法.03八月202381课后练习习题4-3（偶数题12九月2023822.求不定积分解：方法1(先分部,再换元)令则03八月2023822.求不定积分解：方法1(先分部12九月202383方法2(先换元,再分部)令则故03八月202383方法2(先换元,再分部)令则故12九月2023843.求解:令则03八月2023843.求解:令则12九月2023854.证明递推公式证：注：或03八月2023854.证明递推公式证：注：或12九月202386第四节几种特殊类型函数的积分

第四章

基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法

初等函数求导初等函数积分（见本节第一段）一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例本节内容:（IntegrationofseveralkindsofSpecialFunctions）03八月202386第四节几种特殊类型函数的积分12九月202387一、有理函数的积分(IntegrationofRationalFunction)两个多项式的商表示的函数.有理函数的定义：03八月202387一、有理函数的积分(Integra12九月202388假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；有理函数有以下性质：1）利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例如，我们可将化为多项式与真分式之和03八月202388假定分子与分母之间没有公因式这有理函12九月2023892）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和最简分式是下面两种形式的分式03八月2023892）在实数范围内真分式总可以分解成几12九月202390（1）分母中若有因式，则分解后为3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：（2）分母中若有因式，其中则分解后为03八月202390（1）分母中若有因式12九月202391

为了便于求积分，必须把真分式化为部分分式之和，同时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数法例103八月202391为了便于求积分，必须把真分12九月202392例2通分以后比较分子得：03八月202392例2通分以后比较分子得：12九月202393

我们也可以用赋值法来得到最简分式，比如前面的例2，两端去分母后得到03八月202393我们也可以用赋值法来得到12九月202394例3整理得03八月202394例3整理得12九月202395例4

求积分解：例203八月202395例4求积分解：例212九月202396例5

求积分解：例303八月202396例5求积分解：例312九月202397解:

原式思考:

如何求提示:变形方法同例6,并利用第三节例9.例6求03八月202397解:原式思考:如何求提示:变12九月202398注意：有理函数的积分就是对下列三类函数的积分：多项式；主要讨论（3）积分03八月202398注意：有理函数的积分就是对下列三类函12九月202399其中并记令03八月202399其中并记令12九月2023100第三节例9结论：有理函数的原函数都是初等函数.03八月2023100第三节例9结论：有理函数的原函数12九月2023101解:说明:

将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.例7（补充题）

求03八月2023101解:说明:将有理函数分解为部分12九月2023102解:

原式注意本题技巧按常规方法较繁例8（补充题）

求点击看“常规解法”03八月2023102解:原式注意本题技巧按常规方法12九月2023103第一步令比较系数定a,b,c,d.得第二步化为部分分式.即令比较系数定A,B,C,D.第三步分项积分.此解法较繁!按常规方法解:03八月2023103第一步令比较系数定a,b12九月2023104二、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能代换t

的有理函数的积分1.三角函数有理式的积分则03八月2023104二、可化为有理函数的积分举例设表12九月202310503八月202310512九月2023106令03八月2023106令12九月2023107例9

（课本例5）求解：令则03八月2023107例9（课本例5）求解：令则12九月2023108例10（补充题）求解：一直做下去，一定可以积出来，只是太麻烦。

由此可以看出，万能代换法不是最简方法，能不用尽量不用。03八月2023108例10（补充题）求解：一直做下去12九月2023109解:说明:

通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换例11（1987.III)

求03八月2023109解:说明:通常求含的积分时,往12九月2023110令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.例如:令2.简单无理函数的积分03八月2023110令令被积函数为简单根式