第1章 有理数 单元测试 拔尖卷（含解析）VIP

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第1章有理数单元测试拔尖卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果支出3元记作+3，那么收入5元，记为：（）

A．-5B．-3C．+5D．+3

2．四位同学画的数轴如下，正确的是（）

A．B．

C．D．

3．已知有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（）

A．B．C．D．

4．计算的最小值为（）

A．0B．1C．2D．3

5．下列各对数中，互为相反数的是（）

A．2与B．和

C．与D．与

6．若规定表示大于x的最小整数，，，则下列结论错误的是（）

A．B．C．D．

7．一跳蚤在一直线上从点开始，第次向右跳个单位，紧接着第2次向左跳个单位，第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处离点的距离是（）个单位.

A．B．C．D．

8．如果，，那么与的大小关系是（）

A．B．C．D．

9．已知有理数满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），，

下列结论：①；②当点与点重合时，；③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则；④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变．其中正确的是（）

A．①③B．①④C．①②③④D．①③④

10．如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一个点是原点，并且，数对应的点到点，的距离相等，数对应的点到点，的距离相等，若，则原点是（）

A．或B．或C．或D．或

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11．在﹣1、0、1、2这四个数中，既不是正数也不是负数的是．

12．若，，且，把、、、、0按从大到小的顺序进行排列可以排列为．

13．比较大小．（用“＞或=或＜”填空）．

14．若，则．

15．x是有理数，则的最小值是．

16．已知在数轴上A、B两点分别表示的数是a和b，，，，点Р在数轴上且与点A、点B的距离相等，则点Р表示的数是．

17．点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离，若x是一个有理数，且，则．

18．已知：，且，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，则．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

19．（8分）请把下列各数填入相应的集合中：

，，，，，，，．

正数集合：{…}；分数集合：{…}；

整数集合：{…}；有理数集合：{…}．

20．（8分）点A、B在数轴上的位置如图所示：

（1）点A表示的数是___________，点B表示的数是___________．

（2）在数轴上表示下列各数：0，，，．

（3）把（1）（2）中的六个有理数用“”号连接起来

21．（10分）（1）在数轴上，点表示数，点表示原点，点、之间的距离．

（2）在数轴上，点、分别表示数、，点、之间的距离，数轴上分别表示和的两点和之间的距离为3，那么

（3）计算：

（4）的最小值是

22．（10分）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数，，，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒．

（1）当时，点到点的距离______；此时点所表示的数为______；

（2）当点运动到点时，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点到达点后也停止运动，则点出发秒时与点之间的距离______；

（3）在（2）的条件下，当点到达点之前，请求出点移动几秒时恰好与点之间的距离为个单位？

23．（10分）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．

（2）如果，那么______；

（3）若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____．

（4）若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____．

（5）当_____时，的值最小，最小值是_____．

24．（12分）学习了第二章《整式的加减》，我们知道，字母可以表示数．若表示有理数，小刚认为、－、、这四个数中，最大，－最小，你认为对吗？若不对，请举一个反例，并把这四个数从大到小排序．你能比较、－、、这四个数的大小吗？

参考答案

1．A

【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．

解：收入5元，记为：-5

故选：A

【点拨】本题考查了正数与负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．

2．D

【分析】根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，即可解答．

解：A、缺少原点，故选项错误；

B、数轴的单位长度不统一，故选项错误；

C、数轴没有正方向，故选项错误；

D、正确．

故选D．

【点拨】本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记数轴的三要素．

3．D

【分析】根据数轴的特征得到有理数的大小关系，逐项判断即可得到答案．

解：由有理数在数轴上的对应点的位置可知，且，则

A、由可知错误，不符合题意；

B、由、得到且，可知错误，不符合题意；

C、由题意可知，可知错误，不符合题意；

D、由得到，从而，即正确，符合题意，

故选：D．

【点拨】本题考查数轴的特征及数大小的比较，熟练掌握数轴的特征是解决问题的关键．

4．D

【分析】由，可得表示在数轴上点x与1和之间的距离的和，即可求解．

解：

，

表示在数轴上点x与1和之间的距离的和，

当时，

有最小值3．

故选：D．

【点拨】本题主要考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，理解绝对值的意义，掌握距离的求法是解题的关键．

5．C

【分析】先分别计算每组中的两个数，再根据相反数的定义判断即可.

解：A.2与不是相反数，故不符合题意；

B.=，故不符合题意；

C.，，2与-2互为相反数，故符合题意；

D.，，=，故不符合题意.

故选：C

【点拨】本题主要考查了绝对值的性质，相反数的定义.熟练掌握以上知识是解题的关键.

6．A

【分析】根据题意，逐一进行判断即可．

解：A、，选项错误，符合题意；

B、，选项正确，不符合题意；

C、，选项正确，不符合题意；

D、，选项正确，不符合题意；

故选A．

【点拨】本题考查有理数比较大小．理解并掌握题干中的规定，是解题的关键．

7．B

【分析】设向右为正，向左为负．根据正负数的意义列出式子计算即可．

解：设向右为正，向左为负．则

1+（-2）+3+（-4）+．+（-100）=[1+（-2）]+[3+（-4）]+．+[99+（-100）]=-50．

∴落点处离O点的距离是50个单位．

故答案为:B．

【点拨】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．

8．A

【分析】相乘的这些分数的特点是分母都是偶数，分子都是奇数；再写出一道分数相乘，使它们分子都是偶数，分母都是奇数，把这两道算式相乘，得出积为，由此进一步再做比较即可得解．

解：设，

∵，，

∴，

∴

，

∴，

∵，

∴，即，

故选A．

【点拨】本题考查了比较有理数的大小，采用适当的方式将有理数放大后比较是解题的关键．

9．D

【分析】根据平方式和绝对值的非负性求出a和b的值，然后根据数轴上两点之间距离的计算方法和中点的表示方法去证明命题的正确性．

解：∵，，且，

∴，，解得，，故①正确；

当点与点重合时，

∵，，

∴，故②错误；

设点P表示的数是，

当点与点重合时，点B表示的数是2，

，，，

∴，故③正确；

设点B表示的数是，则点C表示的数是，

∵M是OB的中点，

∴点M表示的数是，

∵N是AC的中点，

∴点N表示的数是，

则，故④正确．

故选：D．

【点拨】本题考查数轴的性质，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的求解，中点的表示方法．

10．B

【分析】利用数轴特点确定a、b的关系，然后根据绝对值的性质解答即可得出答案．

解：因为，

所以，

所以

当原点在或点时，，又因为，所以原点可能在或点

当原点在或点时，，所以原点不可能在或点

综上所述，原点应是在或点．

故选：B．

【点拨】本题考查了数轴的定义和绝对值的意义，解题的关键是先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简后根据整点的特点求解．

11．0

【分析】根据题意，既不是正数，也不是负数的数只有0．

解：一个数既不是正数，也不是负数，这个数是0．

故答案为0．

【点拨】本题考查了正数和负数，解决本题需注意既不是正数也不是负数的数只有0．

12．

【分析】由，，利用相反数得，，由，说明在数轴上到零点的距离大于到零点的距离，可知数轴上在零到之间，在b到零之间，所以，，整理从大到小的顺序即可．

解：∵，，

∴，，

∵，

∴数轴上到零点的距离大于到零点的距离，

∴数轴上在零与之间，在b与零之间，，，

则：，

故答案为：．

【点拨】本题考查了实数的大小排序，相反数，正数、零、负数在数轴上的位置关系，判断出数轴上到零点的距离大于到零点的距离是解决本题的关键．

13．＞

【分析】根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小，判断即可．

解：∵，，且，

∴，

∴，

故答案为：．

【点拨】本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小，是解决本题的关键．

14．3或/或3

【分析】根据分、和、两种情况解答即可．

解：∵，

∴，或，，

若、，则；

若、，则；

综上所述，的值为3或．

故答案为：3或．

【点拨】本题考查绝对值的性质，掌握分情况讨论思想是解题的关键．

15．

【分析】本题分3种情况①当x＜-时；②当-≤x≤时；③当x＞时进行讨论，从而得到所求的结果．

解：分三种情况讨论：

（1）当x＜-时，

原式=-（x-）-（x+）=-x+-x-=-2x+＞-2（-）+==；

（2）当-≤x≤时，

原式=-（x-）+x+=-x++x+==；

（3）当x＞时，

原式=x-+x+=2x-＞2×-==；

综合（1），（2），（3），可得最小值是．

故答案为．

【点拨】本题主要考查了绝对值的运用，关键是讨论时要讨论所有的情况，不能缺少一个．

16．或

【分析】由得，所以，再由，得，，得，

所以，或，，再求点P表示的数即可．

解：∵，，

∴，．

又∵，

∴，

∴．

∴，或，．

当，时，

∵点Р在数轴上且与点A、点B的距离相等，

∴点P表示的数为；

当，时，

∵点Р在数轴上且与点A、点B的距离相等，

∴点P表示的数为；

∴点P表示的数为或．

故答案为：或．

【点拨】本题考查了数轴上的点所表示的数及中点的性质，熟练掌握绝对值的相关概念及运算法则是解题的关键．

17．4

【分析】根据x的取值范围，分别判断x-1与x+3的正负，然后根据绝对值的性质求解即可.

解：∵，

∴，，

∴原式

【点拨】此题主要考查了两点间距离公式的应用，解题的关键是根据绝对值的性质化简.

18．3

【分析】根据绝对值的性质进行化简即可

解：，，

，，，

，，三个数中有两负一正，

当，为负，为正数时，

当，为负，为正数时，

当，为负，为正数时，

共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，

，，

，

故答案为：3

【点拨】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键

19．，5.2，，；，5.2，，；0，，；，5.2，0，，，，．

【分析】根据有理数的分类，可得答案．

解：，，，，，，，．

正数集合：，5.2，，，；

分数集合：，5.2，，，；

整数集合：，，，；

有理数集合：，5.2，0，，，，，．

故答案为：，5.2，，；，5.2，，；0，，；，5.2，0，，，，．

【点拨】本题考查了有理数的分类，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

20．（1），；

（2）见分析；

（3）．

【分析】（1）根据数轴即可得到答案；

（2）在数轴上表示出各数即可得到答案；

（3）根据数轴上右边的数大于左边的数，即可得到答案．

（1）解：根据数轴可知，点A表示的数是，点B表示的数是，

故答案为：，；

（2）解：在数轴上表示各数如下所示：

（3）解：各数大小关系排列如下：

．

【点拨】本题考查了数轴，解题关键是熟练掌握用数轴表示有理数，熟记数轴上右边的数大于左边的数．

21．（1）3；（2）1或；（3）；（4）1

【分析】（1）数轴上两点的距离右边的数左边的数，据此即可得到答案；

（2）根据已知中两点的距离公式计算，即可得到答案；

（3）根据绝对值的意义去绝对值符号，再进行计算，即可得到答案；

（4）分三种情况讨论，分别求出最小值，比较即可得到答案．

解：（1）点表示数，点表示原点，

点、之间的距离，

故答案为：3；

（2）数轴上分别表示和的两点和之间的距离为3，

，

或，

故答案为：1或；

（3）

，

故答案为：；

（4）当时，，此时最小值为；

当时，，

当时，，此时最小值为，

综上可知，的最小值是1，

故答案为：1．

【点拨】本题考查了绝对值的意义和数轴的定理，解题关键是掌握一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数．

22．（1），；（2）3；（3）秒或秒

【分析】（1）利用线段的长点的移动速度点的移动时间，可求出的长；利用点表示的数点的移动速度点的移动时间，可求出点所表示的数；

（2）由点，的出发点、移动方向、移动速度及移动时间，可求出点出发秒时点，表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出此时的长；

（3）当点的移动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．

解：（1）动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，

当移动时间为秒时，；

又点表示有理数，

当移动时间为秒时，点表示的数为．

故答案为：，；

（2）当点出发秒时，点表示的数为，点表示的数为，

此时．

故答案为：；

（3）当点的移动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，

根据题意得：，

即或，

解得：或．

答：在的条件下，当点到达点之前，点移动秒或秒时恰好与点之间的距离为个单位．

【点拨】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

23．（1）；；（2）或；（3）；；（4）；（5），

【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；

（2）根据数轴上两点间的距离，分两种情况即可解答；

（3）根据数轴上两点间的距离分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答；

（4）根据表示数a的点到与5两点的距离的和即可求解；

（5）分类讨论，即可解答．

（1）解：由数轴得

数轴上表示和的两点之间的距离是：；

表示和两点之间的距离是：；

故