浙教版数学八年级上册 第2章特殊三角形微专题-最值问题训练2（含解析）

第第页浙教版数学八年级上册第2章特殊三角形微专题——最值问题训练2（含解析）2023-2024学年浙教版数学八年级上册

第2章特殊三角形微专题——最值问题训练2

一、单选题

1．如图，是边长为6的等边三角形，为边上的中线，点E、点F分别为线段、上的动点，连接，则的最小值为（）

A．B．C．D．10

2．如图，等腰中，是等边三角形，点P是的角平分线上一动点，连按，则的最小值为（）

A．16B．20C．24D．32

3．如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（）

A．8B．11C．10D．12

4．如图，Rt中，，，，，为直线上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则的最小值是（）．

A．B．C．D．

5．如图，等腰的底边长为6，面积是24，E为腰的垂直平分线上一动点．点D为的中点，则的周长的最小值为（）

A．6B．8C．10D．11

6．如图，在中，，点D为边的中点，点P在边上，，则的最小值等于（）

A．5B．6C．7D．8

7．如图，在等腰三角形中，，，是底边上的高，在的延长线上有一个动点，连接，作，交的延长线于点，的角平分线交边于点，则在点运动的过程中，线段的最小值()

A．6B．4C．3D．2

8．如图，中，，点P为AC边上的动点，过点P作于点D，则的最小值为（）

A．B．C．5D．

二、填空题

9．如图，点D是线段BC上的一个动点，过点D作，连接AB，AC，E是线段AD上的一点，且，连接EB，EC，已知，，则的最小值为．

10．如图，等腰的底边长为4，面积为12，边的垂直平分线分别交，于点M，N，若点D为的中点，点P为线段上一动点，则的周长的最小值为．

11．如图，，，D为上一点，，，交于点E，点F为直线上一点，则的最小值为．

12．如图，等腰的直角顶点D恰好为等腰底边中点，且点E，F分别在AB，AC上，若，则EF的最小值为．

13．如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为．

14．如图，在中，，，，点D在AC边上，，点为斜边上一动点，连接PD，PC，则周长的最小值为．

三、解答题

15．如图，已知等腰直角△ABC中，，以为边在点A的另一侧作等边，点F，G分别在线段，上，，且，与相交于点H，延长交于E．

(1)求证：是等边三角形；

(2)试判断线段和的数量关系，并说明理由．

(3)若点M是边上的动点，AB＝a，，，求周长的最小值（结果用含a，b，c的整式表示）．

16．如图，在中，已知，是边上的中线，点E是边上一动点，点P是上的一个动点！

(1)若，求的度数；

(2)若，且时，求的长；

(3)在（2）的条件下，请直接写出的最小值．

17．如图，在中，，．D为边的中点，E，F分别在上，于点D．

(1)求证：是等腰三角形．

(2)求的最小值．

18．如图，以一边为直角边构造，且，，，．

(1)求证：为直角三角形．

(2)若点P为上一动点，连接，，求最小值．

19．在中，，，，的中垂线交于D，交于点E．

(1)如图1，连接，请求出的长；

(2)如图2，延长交的延长线于点F，连接，请求出的长；

(3)如图3，点P为直线上一动点，点Q为直线上一动点，则的最小值为．

20．如图，两个全等的等边三角形与，拼成的四边形中，，面积为，点、分别为、边上的动点，满足，连接交于点，连接与、、分别交于点、、，且．

(1)求证：；

(2)求证：是等边三角形；

(3)当点，点运动到什么地方时，的周长最小？请求出的周长最小值．

试卷第1页，共3页

试卷第1页，共3页

参考答案：

1．A

【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得垂直平分，推出，进而可得，再根据垂线段最短可知，当时，取最小值，由此可解．

【详解】解：如图，连接，

是边长为6的等边三角形，为边上的中线，

，，

垂直平分，

，

，当点E，F，B在同一条直线上时，等号成立．

由垂线段最短可知，当时，取最小值，如下图所示：

此时，

，

的最小值为，

的最小值为．

故选A．

【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，垂线段最短，线段的最值问题等，解题的关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质，利用轴对称的性质将所求线段进行转化．

2．B

【分析】连接，根据垂直平分，即可得到，再根据当在同一直线上时，的最小值为线段长，即可得出的最小值为20．

【详解】解：如图，连接，

∵点P是的角平分线上一动点，，

∴垂直平分，

∴，

∴，

∴当在同一直线上时，的最小值为线段长，

又∵是等边三角形，，

∴的最小值为20，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

3．B

【分析】连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点A关于直线的对称点为点C，，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论．

【详解】解：连接，．

∵是等腰三角形，点D是边的中点，

∴，

∴，

解得，

∵是线段的垂直平分线，

∴点A关于直线的对称点为点C，，

∴，

∴的长为的最小值，

∴的周长最短．

故选B．

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，垂线段最短的应用，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

4．D

【分析】取线段的中点，过点作，连接，由已知条件可证明和全等，得到，已知点为直线上的一个动点，根据垂线段最短，当点运动到点的时候，取得最小值，也即线段的长度，根据特殊直角三角形的性质即可求得的长度．

【详解】解：如图所示，取线段的中点，过点作，并且连接，

，，，

在Rt中，

，

，

，

，

即：，

，

，

在和中，

，

，

，

点为直线上的一个动点，

；

，且，，

，

即：，

则的最小值是．

故选D．

【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的性质和判定以及垂线段最短等知识点，正确利用相关性质将求线段的最小值转化为求线段的最小值是解这道题的关键，同时，需要熟练掌握并灵活运用旋转、全等三角形的性质和判定等知识点．

5．D

【分析】连接由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．

【详解】连接，，

∵是等腰三角形，点D时边的中点，

∴

解得：，

∵是线段的垂直平分线

∴点B关于直线的对称点为点A

∴的长为的最小值

∴的周长最短

，

故选D.

【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

6．B

【分析】作点D关于的对称点E，连接，，，根据对称性可知：，，当B，P，E在同一直线上时，，再判断是等边三角形，根据三角函数求出，即可求出的最小值．

【详解】如图所示，作点D关于的对称点E，连接，，，

根据对称性可知：，，

∴，

∴当B，P，E在同一直线上时，

，

∵，点D关于的对称点E，，

∴

∴，

∴是等边三角形，

∴，

又∵D为上的中点，

∴，

，

，

∴，，

∵，

∴，

∴，

即的最小值为6，

故选：B．

【点睛】本题考查轴对称的最短路线问题，等边三角形的性质，解题的关键是利用轴对称变换来解决，作点关于某直线的对称点．

7．D

【分析】作于，作于，证明，推出，再证明，推出，得到当时有最小值，即有最小值，由，，求出．

【详解】解：作于，作于，

，，

平分，即平分，

，，

，

，，

，

，

，

)，

，

平分，

，

连接，

，

，

，

当时有最小值，即有最小值，

此时，，，

，

故选：D．

【点睛】此题考查了全等三角形的判定即性质，等腰三角形的三线合一的性质，直角三角形30度角的性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．

8．B

【分析】作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P，点P即为所求作的点，此时有最小值，连接，根据对称性的性质，可知：，，根据，即可求出的最小值．

【详解】解：如下图，作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P，连接，点P即为所求作的点，此时有最小值，

根据对称性的性质，可知：，

在中，，

，

根据对称性的性质，可知：，

，

即，

，

，

故选：B．

【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质．

9．

【分析】延长至点，使得，过点作，并在该垂线上截取，可证，得到，因此，当与在同一直线时，为最小，过点作，交的延长线于点F，构造出，利用勾股定理求出的长，从而得到的最小值．

【详解】如图，延长至点，使得，过点作，并在该垂线上截取

∵，且

∴，

∵，

又

∴

∵，

∴

∵

∴

∴

∴

如下图，当与在同一直线时，为最小

过点作，交的延长线于点F

∵，，

∴四边形为矩形

∴，

∴

∴在中，

∴的最小值为，即的最小值为，

故答案为：．

【点睛】本题考查两点之间线段最短，三角形全等的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．

10．8

【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，可得出，再由，即可得出，由是线段的垂直平分线，可知点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，即可得出答案．

【详解】解：连接，

∵是等腰三角形，点是边的中点，

∴，

∴，

解得，

∵是线段的垂直平分线，

∴点关于直线的对称点为点，

∴的长为的最小值，

∴的周长最短．

故答案为：．

【点睛】此题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质是解答此题的关键．

11．

【分析】作点关于对称的点，连接，，延长交于，由轴对称可知，，，，可证得，，进而利用勾股定理求得，，由三角形三边关系可知，，当，，三点在同一直线上时取等号，即可求得的最小值．

【详解】解：作点关于对称的点，连接，，延长交于，

由轴对称可知，，，，

∵，，

∴，

∴，则，，

∵，，

∴，则，

∴，

∴，

由三角形三边关系可知，，当，，三点在同一直线上时取等号，

∴的最小值为，

故答案为：．

【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，三角形三边关系等知识点，利用轴对称添加辅助线是解决问题的关键．

12．

【分析】当时，最小，此时可求出的最小值.

【详解】解：∵三角形为等腰直角三角形，

∴,

又∵D为等腰底边的中点，

∴当最小时，最小，此时，

又∵，

∴，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握相关性质，此类题目便可迎刃而解．

13．

【分析】由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解．

【详解】解：∵，

∴，

由折叠的性质可知，

∵，

∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为；

故答案为．

【点睛】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键．

14．/

【分析】作点关于的对称点，连接，过点作于点，根据轴对称的性质得出，当在线段上时，取得最小值，最小值为的长，进而勾股定理求得，即可求解．

【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，过点作于点，

∴，当在线段上时，取得最小值，最小值为的长，

∵，，，

∴

∴,

∴是等边三角形，

∵，则，

∴中，

在中，，，

∵周长为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．

15．(1)见解析

(2)，理由见解析

(3)

【分析】（1）由推出推出只要证明即可解决问题；

（2）如图2中，如图2中，连接．由可得推出，在中，即可推出由此即可解决问题；

（3）如图3中，延长交的延长线于，连接．由，推出，推出，推出的最小值为推出的周长最小值，由此即可解决问题；

【详解】（1）如图1中，

是等边三角形，

是等边三角形．

（2）如图2中，如图2中，连接．

是等边三角形，

在中，

（3）如图3中，延长交的延长线于，连接．

的最小值为

【点睛】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用对称解决最短问题，属于中考压轴题．

16．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用等腰三角形的性质得，，再根据直角三角形两锐角互余即可解决问题．

（2）利用面积法即可解决问题．

（3）连接，把问题转化为两点之间线段最短．

【详解】（1）解：∵，

∴，

∵是边上的中线，

∴，

∵，

∴，

∴．

（2）解：∵，

∴，

∵，

∴．

（3）解：连接．

∵垂直平分线段，

∴．

∴（当点C、P、E共线时取等号）

∴的最小值为．

【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．

17．(1)见解析

(2)最小值为

【分析】（1）连接，证明，解题即可；

（2）先根据勾股定理求得，则，取中点G，连接，则，即即可解题．

【详解】（1）如图，连接．

∵为直角三角形，且，D为的中点，

∴，且平分，，

∴．

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形．

（2）∵，

∴，

∴，

取中点G，连接，

∵，

∴，

∴，

∴最小值为．

【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线是解题的关键．

18．(1)见解析

(2)最小值为

【分析】（1）根据题意得，，，根据三角形内角和定理得，即可得，则，根据勾股定理的逆定理即可得，即可得；

（2）延长至M，使得，连接，，过点B作于点N，

则，，根据矩形的性质和勾股定理得，根据，得当B、P、M三点共线时，取最小值为，即可得．

【详解】（1）证明：根据题意得，，，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

，

∴，

∴△ABC为直角三角形；

（2）解：如图所示，延长至M，使得，连接，，过点B作于点N，

则，，

∵，

∴四边形是矩形，

∴，，，

∴，

∵，

当B、P、M三点共线时，取最小值为，

∴最小值为．

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，两点之间线段最短性质，解题的关键是掌握这些知识点，确定的最小是．

19．(1)