2022年福建省龙岩市高考第一次模拟数学试卷及答案解析

2022年福建省龙岩市高考第一次模拟数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.（5分）己知集合4={刈084<1},集合B={x|-IWXWI},则ACB=（）

A.[-1,1JB.[-1,2）C.（0,1]D.（-8,2）

2.（5分）已知tan®=-2,则sin20=（）

4422

A.一B.--pC.—D.-~

5533

3.（5分）已知公差不为零的等差数列的第4、7、16项分别是某等比数列的第4、6、8项，

则该等比数列的公比为（）

A.V3B.V2C.±V3D.±V2

4.（5分）已知/（无+2）是偶函数，当2VxiVx2时，|/（短）-fCxi）]（X2-XI）>0恒成

1

立，设a=/（i）,〃=/（3）,c=/（4）,则mb,c的大小关系为（）

A.b<a<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<b<c

5.（5分）已知函数f（x）的图像如图所示，则函数g（x）=f（-k|）的图像为（）

6.（5分）2021年小林大学毕业后，9月1日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银行卡,

每月的10号存钱至该银行卡（假设当天存钱次日到账）.2021年9月10日他给卡上存入

1元，以后每月存的钱数比上个月多一倍，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）

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首次达到1万元的时间为（)

A.2022年12月11日B.2022年11月11日

C.2022年10月11日D.2022年9月11日

7.（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，/（x）是/（无）的导函数，满足：〃⑴+

（，+1）/（%）>0,且/•⑴=±,则不等式/（x）>灰|焉的解集为（）

A.（-1,1）B.（-°°,-1）U（1,+8）

C.（--1）D.（1,+8）

8.（5分）在湖南省湘江上游的永州市祁阳县境内的涪溪碑林，是稀有的书法石刻宝库，保

留至今的有505方摩崖石刻，最引人称颂的是公元771年摹刻的《大唐中兴颂》，因元结

的“文绝”，颜真卿的“字绝”，摩崖石刻的“石绝”，誉称“摩崖三绝”.该碑高3米，

宽3.2米，碑身离地有3.7米（如图所示），有一身高为180a”的游客从正面观赏它（该

游客头顶7到眼睛C的距离为IOC"?）,设该游客离墙距离为x米，视角为。.为使观赏

视角最大，x应为（）

A.V10B.3C.2>/2D.V6

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得（）分.

9.（5分）下列结论正确的有（）

A.若a>b>0,则ac2>Z>c2

B.命题“Vx>0,的否定是'勺x>0,2、<?"

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C."x<l”是“比一发号”的必要不充分条件

D.“a,G,bn成等比数列是“©=岫"的充要条件

10.（5分）i是虚数单位，下列说法中正确的有（）

A.已知复数满足z（l+i）=3+4i,则忆|=学

B.若复数z=a+〃i（“€R）,则z不可能是纯虚数

C.“复数zeR”的充要条件是“z=|z|"

D.若复数满足z2=3+4i,则z对应的点在第一象限或第三象限

11111111111111111

11.（5分）数列｛〃”｝依次为:1，一，一，一，二，一，二，二，一，一，—，—，—，—，—，—，—，—，・•・，

33355555777777799

111

中第一项为7接下来三项均为9再接下来五项均为9依此类推.记｛〃”｝的前〃项和为

S",贝I」()

A.«ioo=19

B.存在正整数上使得网>丁/二

2v/c—1

C.Sn<Vn

D.数列爵｝是递减数列

12.（5分）已知函数/（x）=熹），则（）

A.当A=0时，f（x）是R上的增函数

1+V2

B.当氏=1时，/（x）的最大值为一y-

C.若存在实数“，b,使得g（x）=f（x+a）+b为奇函数，则％=7

D./（x）不可能有两个极值点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知面=3,向=2,若；了=一3,贝值与Z夹角的大小为.

14.（5分）已知a>0,b>0,3a+b=2ab,则“+/?的最小值为.

15.（5分）在等腰梯形4BCD中，AB//DC,AB=2BC=2CD=2,P是腰4。上的动点，

则|2藁-而|的最小值为.

16.（5分）已知数列｛“”｝满足的>0,-n+1,=-J-----（nGN*）,则ma2=,若数列

anan+n-l

｛4"｝的前〃项和为S”，则5202042021=.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)设数列｛“”｝的前”项和酬满足65+1=9。"(nGN*).

(1)求数列｛"”｝的通项公式；

(2)若数列｛加｝满足%=总求数列｛加｝前附项和加

18.(12分)已知2=(2sin3X,V3),b=(1,cos(o)x+勃，其中<o>0,f(x｝=a-b,

且函数/(x)的最小正周期为n.

(I)求函数/G)的解析式；

7T

(II)若将/(x)的图象上的所有点向右平移，个单位，得到函数y=g(x)的图象，求

函数y=g(x)的单调递增区间.

19.(12分)已知函数/G)="(ox-1)的图象在点(1,/(I))处的切线方程为y

=4x+b.

(1)求a,b的值.

(2)当时，证明：/(x)<k(x-1)对尤(1,+8)恒成立.

n+1

20.(12分)在①Sn=t-2(t*0),②=2域，③S3=2a3-2这三个条件中任选一个，

补充在横线上，并解答问题.

已知正项等比数列｛“”｝的前"项和为S”，小=2,且满足.

(1)求数列｛曲｝的通项公式；

(2)记b=沙一二,数列｛为｝的前n项和为Tn,求证：-1<7；<-I.

21.(12分)△ABC中,角A,B,C满足cos2A-cos2B=2sinC(sinB-sinC),且BC=3.

(1)在4c边上有一点。，5.AB=AD,若8。=2,求sin/ACS；

11

(2)求+的最小值.

tanBtanC

22.(12分)已知函数/(%)=(x-2)ex-1-^%2+%+*，g(X)-x+4acosx+ln(x+1),

其中其R.

(1)讨论函数/1)的单调性；

(2)用"以〃｝表示相，"的最大值，记/(x)=max｛f(x),g(x)｝,讨论函数产

(x)的零点个数.

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2022年福建省龙岩市高考第一次模拟数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.(5分)已知集合A=31og”Vl},集合8={犬|-1WxWl},则AC8=()

A.[-1,1]B.[-1,2)C.(0,1]D.(-8,2)

【解答】解：•・・集合A={x|log“Vl}={x|0VxV2},

集合8={R-IWXWI},

・・・AA8={x|0VE}=(0,1].

故选：C.

2.(5分)已知tan8=-2,则sin20=()

44

A.—B.—ED.-

55

【解答】解：因为tan0=-2,

ZsinBcosB_2tcm6_2x(-2)_4

sin20+cos2Otan20+lr-2)24-l5,

故选：B.

3.（5分）已知公差不为零的等差数列的第4、7、16项分别是某等比数列的第4、6、8项,

则该等比数列的公比为（）

A.V3B.V2C.±V3D.±V2

【解答】解：由于等差数列｛〃〃｝的公差dWO,

它的第4、7、16项顺次成等比数列，

2

即a7=a4*ai6?

也就是(ai+6d)2=(m+3d)(ai+15d)=m=—

于是〃4=m+3d="ai=a\+6d=所以q2=&=1^=3.

乙za4

:*q=±V3

故选：C.

4.(5分)已知/(九+2)是偶函数，当2VRIVX2时、[f(A2)-f(xi)](X2~xi)>0恒成

1

立，设〃=/(]),b=f(3),c=f(4),则小b,c的大小关系为()

A.h<a<cB.c<h<aC.h<c<aD.a<b<c

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【解答】解：•••函数/(x+2)是偶函数，

：.f(x+2)=f(-x+2),即函数关于x=2对称，

,当2Vxi<JC2时，[f(X2)-f(XI)](X2-XI)>0恒成立,

...当尤(2,+8)时，/(x)单调递增，

,17

则a=f(5)=/[)'

，：3<=7<4,

7

：.f(3)<f(-)<f(4),

即h<a<c,

故选：A.

5.(5分)已知函数/(x)的图像如图所示,则函数g(x)—f(-W)的图像为()

【解答】解：函数g(x)=/(-H),可知函数是偶函数，排除选项C、D；

当x>0时，g(x)=/(-M)=/(-x),所以函数的图象与已知条件左侧图象关于y

轴对称，所以A不正确；

故选：B.

6.(5分)2021年小林大学毕业后，9月1日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银行卡，

每月的10号存钱至该银行卡(假设当天存钱次日到账).2021年9月10日他给卡上存入

1元，以后每月存的钱数比上个月多一倍，则他这张银行卡账上存钱总额(不含银行利息)

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首次达到1万元的时间为()

A.2022年12月11日B.2022年11月11日

C.2022年10月11日D.2022年9月11日

【解答】解：2021年9月10日是第一个月存入1元，依题意第〃个月存入金额为2”“

元，

那么前〃个月存入的总金额为-6一2”),

1-2

lx(l-2n)

-------->10000,

1-2

即230001,

V2I3=8192,2|4=16384,

当〃为14时存款总额首次超过10000元，

可得2022年10月11日存款总额超过10000元，

故选：C.

7.(5分)已知/(x)是定义在R上的函数，f(x)是f(x)的导函数，满足：切(x)+

S+1)/(x)>0,且/"⑴=热则不等式/㈤>2(制1)的解集为()

A.(-I,1)B.(--1)U(1,+oo)

C.(-8,-1)D.(1,+8)

【解答】解：令g(x)=(，+Df(x),

・：e'f(x)+(/+1)f(%)>0,

：.g'(x)=exf(x)+S+l)f(x)>0,

：.g(x)在R上单调递增.

,//(1)=|,:.g⑴=(Ai)/(i)=1(Ai),

(ev+l)f(x)(?+l),

即g(x)>g(1),Ax>1,

即不等式/Q)>点片的解集为(1,+8),

故选：D.

8.(5分)在湖南省湘江上游的永州市祁阳县境内的涪溪碑林，是稀有的书法石刻宝库，保

留至今的有505方摩崖石刻，最引人称颂的是公元771年摹刻的《大唐中兴颂》，因元结

的“文绝”，颜真卿的“字绝”，摩崖石刻的“石绝”，誉称“摩崖三绝”.该碑高3米,

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宽3.2米，碑身离地有3.7米（如图所示），有一身高为180。”的游客从正面观赏它（该

游客头顶T到眼睛C的距离为10。〃），设该游客离墙距离为x米，视角为色为使观赏

视角最大，x应为（）

A.V10B.3C.2V2D.V6

【解答】解：设NBCO=a,则tana=H#=|,

/八\3+25

tan（0+a）=---=一,

xx

52__

匚匚i、i,八tan（G+a）—tanaz3%3,33710

所以tan0==胃=西布=不卫士Q=2~,

XXX£y/x'~x~

当且仅当x=¥，即X=J1U米时取等号.

所以该游客离墙距离为同米时，观赏视角最大.

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.（5分）下列结论正确的有（）

A.若a>b>0,则改2>庆2

B.命题aVx>0,乃泊”的否定是a3x>0,2'<?w

C."x<l”是“氏一发〈恭的必要不充分条件

D.“小G,b”成等比数列是“©=疝”的充要条件

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【解答】解：选项A,当c=0时，aW=b2,即A错误;

选项8,根据全称命题的否定形式，知8正确；

选项C,由设一罚0得0«1,所以“xV1”是“0«1”的必要不充分条件,

即C正确；

选项£),若“，G,h成等比数列，则G2=",

若G2=协例如()2=oxO此时a,G,力不成等比数列,

所以“a,G,。”成等比数列是“G2=H”的充分不必要条件，即。错误.

故选：BC.

10.(5分)i是虚数单位，下列说法中正确的有()

A.已知复数满足z(l+i)=3+4i,则忆|=挈

B.若复数z=a+ai(a€R),则z不可能是纯虚数

C.“复数zCR”的充要条件是“z=|z|"

D.若复数满足z2=3+4i,则z对应的点在第一象限或第三象限

【解答】解：因为z(l+i)=3+4/,则|z||l+i|=|3+4i|,

所以0=，片，=&=^故选项A正确；

复数z=a+ai(“6R),故z不可能是纯虚数，故选项8正确；

复数z=a+历6R,则6=0,若z=-l,则不满足z=|z|,故选项C错误;

复数满足z2=3+4i,设z="+〃i(a,i»GR),

则cr+b2+2abi=3+4i,

所以ab=2>0,

故z对应的点在第一象限或第三象限，故选项。正确.

故选：ABD.

11111111111111111

11.(5分)数列5〃｝依次为:1，一，一，—，—，—，—，—，—，—，—，—，—，—，—，—，—，―，,,,>

33355555777777799

111

中第一项为接下来三项均为3再接下来五项均为J依此类推.记｛板｝的前〃项和为

Sn,则()

Ac_1

A.a100—西

B.存在正整数左，使得以>鲁二

2,k—1

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C.Sn<Vn

D.数列*｝是递减数列

【解答】解：由题意知，

当0<〃Wl时，加=1,

1

当1V〃W4时，an=寸

1

当4V〃W9时,〃〃=宁...，

当(&+1)2时，a〃=(髭N)

2

V100=10,.*.nioo=9VQ,1故A正确;

对任意正整数亿不妨设/n2V收(/H+1)2,则ak=2J+1，

1

•・,以为定值，h右二随着攵变大而变小，

27kT

・/1、_11

,・E，五+1)2.1二由‘

故以w；7A恒成立，故B错误；

2vfc-l

C：若必W"V(k+1)2,k,〃6N*,

则%=Sk2+m=k+2号j,0<m<2k+1,

而k+辞？-布

乙Zt十X

若n=/^,则机=0,

故k+yr-7-3—y/n=k—y/n=0,

Z/vT1

若(k+1)2,k,〃6N*,

则0<m<2k+l,

故(k+异+=

(乙/VT1)

即(k+恭T)2v(VFT而2,

因为k+，巴>0,yjk24-m>0,

£1KI1

故k+5^x7<孤2+m,

/K十JL

即Sn-SiVO,

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即无<Vn,

综上，Sn<Vn,故C正确；

D：因为Fw〃<(RI)2,k,/?GN*,

则Sn=5上2+血=k,0<m<2k4-1,

,m

所以皂=S^+m=—砺=2k2+k+m

nk2+mk2+m(2k+1)3+771)'

SS2k2+k+m2Zc2+/c+m+l

贝Ij-n-n+=1---------------------------------

nn+1(2/c+l)(k2+m)(2fc+l)(k2+?n+l)

(2/c2+/c+m)[(k2+m)+l]-[(2/c2+/c+m)+l](Zc2+m)

(2k+l)(H+m)(H+m+l)

_(2/c2+/c+m)(/c2+m)4-(2/c2+/c4-7n)—(2k2+Zc+m)(/c2+m)—(Zc2+m)_

(2k+1)(fc2+m)(fc24-m4-1)

_________fc!±fc_________为，

(2/c+l)(fc2+m)(fc2+m+l)'

所以邑)如，

nn+1

故数列镖｝是递减数列，故。正确；

故选：ACD

12.(5分)已知函数十。)=哀林，则()

A.当％=0时，/(x)是R上的增函数

1+V2

B.当k=l时，f(x)的最大值为一y-

C.若存在实数小4使得g(x)=/(x+a)+%为奇函数，则k=-l

D./G)不可能有两个极值点

【解答】解：当&=0时，/(%)=/工

贝厅(X)=二

故/(x)是R上的减函数，

故选项A错误；

ex+l

当％=1时,f(x)=

e2x+l

则)=一位+1+”1一&),

(e2x+iy

可得当婚=夜-1时，函数F(x)取得极大值，即最大值上詈,

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故选项B正确;

当左=7时，9=氤手占

1

取a=0,b=»,

则g(x)=£+*为奇函数,

当ZW-1时，由选项£>中的单调可知，不存在实数a,b使得g(x)为奇函数,

综上所述，若存在实数a,b,使得g(x)=/(x+a)+%为奇函数，则k=-l,

故选项C正确.

-ex(e2x+2ej)

函数〃均=氤检，则/(X)=

(e2x+k)2

当％=0或女=1时，由选项A8可知，函数/(x)不存在两个极值点;

11

当A<0时，函数/(x)在(-8,-ln(-k))上单调递减，在(鼻)(-k),+8)上单调

递增，此时函数/(x)只有一个极值点；

当k>0时，f(x)=一/(靖+1+甲此时函数7a)只有一个极值点；

(e2x+/c)z

综上所述，函数/(x)最多只有一个极值点，

故选项。正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

y—>TTTT27r

13.(5分)已知⑷=3,网=2,若a・b=-3,则a与b夹角的大小为一■_.

【解答】解：设展与1夹角的大小为0,06[0,IT],Va-b=|a|-|6|-cose=3-2-cos0=-3,

.*.cos0=—e=冬,

故答案为：知.

14.(5分)已知〃>0,b>0,3a+b=2ab,贝UQ+力的最小值为_2+遮_.

31

【解答】解：根据题意，3a+b=2ab=>—+—=1,

2b2a

则2=嗫+或)("')=2+ff+/"+2楞X、=2+k，

当且仅当6=时等号成立；

则a+b的最小值为2+V3；

故答案为：2+W.

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15.（5分）在等腰梯形45CQ中，AB//DC,AB=2BC=2CD=2,P是腰AO上的动点，

TT3^3

则I2PB—PQ的最小值为

【解答】解：根据题意，以A为原点，射线A3为x轴正半轴建立直角坐标系，如图所

不，

则8(2,0),C(-,—),设尸(〃，偏),其中044；

222

—r-、—3y/3r-

PB=(2-。，—y/3ci),PC=(—-a,——V3tz),

则2而—而=(--a,-乌-Wa),

2乙

故|2而一而|2=4。2_2。+7=4(a-l)2+年,

则当―"时，|2而一而F取得最小值孑，则|2而-鼠|的最小值言;

16.（5分）已知数列｛“〃｝满足如＞0,胃=潟才.），则若数列

{〃”}的前〃项和为Sn,则5202002021-2020.

【解答】解：由皿=(尤N*),可得3=空出二=I+

aa

nCLn+TL—lQn+10nn

・nn—1

••Cln------------------»

an+lan

.•⑷+“2+…工-&+Z1।3___2__^_+ri_n—l_n

a2ala3a2a4a3an+lanan+l

Sn*Cln+1=〃，

贝!J4142=1,S202042021=2020.

故答案为：1,2020.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）设数列｛的｝的前九项和S〃满足6s〃+1=9所（尤N*）.

（1）求数列｛〃〃｝的通项公式;

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(2)若数列｛m｝满足既=求数列｛d｝前〃项和Tn.

【解答】解：(1)由6%+1=9而，得6S"+i+l=9a“+i,两式相减得6即+1=9。"+1-9a”，

即an+\=3aru

又当〃=1时，6Si+l=9tzi,即6ai+l=9ai,解得

所以｛〃”｝是以1为首项，3为公比的等比数列，

所以a”=gx3""=3"-2；

111

(2)由(1)可知2?=f=3几-2,则加=3，bn+\-bn—y

所以｛为｝是以3为首项，1为公比的等比数列，

所以用喏斗算).

18.(12分)已知a=(2sin<i)x,V3),b=(l,cos(cox+勃，其中a)>0.f(x)=a-b,

且函数f(x)的最小正周期为71.

(I)求函数/(x)的解析式；

7T

(II)若将/(x)的图象上的所有点向右平移,个单位，得到函数y=g(x)的图象，求

函数y=g(x)的单调递增区间.

【解答】解：(I)/(%)=a-b=2sina)x+V3cos(a)x+^)=2sina)x+^ycosa)x—|sina)x

1.,43.7T、

=[Sin3x+-^~cosa)x=sin(a)x+@)，

因为函数f(x)的最小正周期为m

27r

所以一=n,即3=2,

0)

所以函数F(X)的解析式为/(x)=sin(2x+p

(II)由题意知，y~8(X)=sin[2(x—可)+^]—sin(2x一4)，

令2苫一可€[2e—于2ATT+引，&6Z,则伙TT-X:TT+'kWZ,

所以函数)，=g(x)的单调递增区间为伙豆一需，内t+瑞],髭Z.

19.(12分)已知函数/(x)=ln(ax-1)+a/nx的图象在点(1,/(I))处的切线方程为y

=4x+/?.

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(1)求〃，b的值.

(2)当上24时，证明：/(x)V&(工-1)对xw(1,+8)恒成立.

【解答】(1)解：因为/'(%)=后+E，

所以f'(l)=S+a=4，

解得4=2,

则/⑴=0=4+6,解得b=-4,

:・a=2,b=-4；

(2)证明：因为Z24,所以要证/(x)VZ(X-1)对烬(1,+8)恒成立，

只需证f(x)<4(x-1)对居(1,+8)恒成立.

设函数g(x)=f(x)-4(x-1)=ln(2x7)+2lnx-4x+4(x>l),

则g'(x)=喜+>4=-2(行当-1).

因为x>l,所以g，(x)<0,

所以g(X)在(1,+°°)上单调递减，

从而g(x)<g(1)=0,

则f(x)<4(x-1)对xe(1,+8)恒成立，

故当％N4时，f(x)<A:(x-1)对xe(1,+8)恒成立.

20.(12分)在①Sn=tn+1-2(t*0),②as=2境，③S3=2〃3-2这三个条件中任选一个,

补充在横线上，并解答问题.

已知正项等比数列｛〃”｝的前〃项和为S”ai=2,且满足.

(1)求数列｛板｝的通项公式；

(2)记耳=小。花小一二,数列｛为｝的前n项和为T,„求证：一1<7；W

【解答】解：(1)选条件①时为=严+1-2(t。0),41=2,

当〃=1时，且数列为正项等比数列，

整理得：f=2,

故乡=2n+1-2,

n

所以cin=Sn-Sn_i=2(首项符合通项),

故斯=2n;

选条件②时，a5=2aj,a1=2,设公比为q.

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所以［g=%q4=2(aiq)2

，解得夕=2或-2（负值舍去）,

IQ1—2

所以册=2x2n—i=2n.

选条件③时，S3=2a3-2,m=2,设公比为q,

所以。3-42-4=0,

整理得#-q-2=0,

解得4=2或-1（负值舍去）,

nn

所以an=2x2T=2.

n

(1—n)an—1_(1—n)-2—1_n+1n

证明：（2）由（1）得：bn=nn+1-n+1

(Qn-l)(an+i-1)一(2-l)(2-l)2-l

所以7=--_____1____I?|__|'+1_____--=九+1____1>

n22-l21-123-l22-l…2n+1-l2n-l2n+1-l

(1一九)Qn~~l

由于b<0,

(即-1)(5+1—1)

所以数列｛加｝的前〃项和力,单调递减,

所以7；WT1=弋，

1

故-1F<一手

21.(12分)△ABC中，角A,B,C满足COS24-cos2B=2sinC(sinB-sinC),且BC=3.

(1)在4c边上有一点。，S.AB=AD,若BD=2,求sin/ACB；

11

(2)求----4----的最小值.

tanBtanC

【解答】解：(1)由已知有cos2A-cos23=2sinC(sinB-sinC),

化简可得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,

由正弦定理可得庐+。2-〃2=儿，

日n4_庐+。2_Q2_1

cosA=2匕c=］，

又因为AW(0,IT),

所以4=泉

又因为A8=AD,

所以△ABO是正三角形,

所以NBOC=手,

BCBD

由正弦定理

sinZ.BDCsin乙ACB

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得sin乙ACB=苧，

11cosBcosCsinA

(2)----+-----=-：—+—：—=­：----：—

tanBtanCsmBsinCsinBsinC

消去角C可得，

sinAy/3

sinBsinCV3sinBcosB+sin2B

2/3

=2sin(2Bd)+l'

2n

又因为BE(0,—),

所以1