江苏省南京市六校2023-2024学年高三上学期8月联考数学试题（Word版含答案）

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数学

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数满足，则（）

A.1B.C.D.2

2.已知集合，，（）

A.B.C.D.

3.等差数列的前项和为，且，，则（）

A.45B.49C.56D.63

4.从2位男生，3位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位男生入选，则不同安排方法有（）种

A.16B.36C.54D.96

5.“”是“直线与圆相切”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

6.在平面直角坐标系中，双曲线：的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与交于，两点，与轴的交点为，，则的离心率为（）

A.B.C.2D.

7.已知，则（）

A.B.C.D..

8.已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则下列等式一定正确的是（）

A.B.C.D.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.

9.给出下列命题中，其中正确的命题是（）

A.随机变量，则

B.已知，，则

C.随机变量，若，则，

D.以模型拟合一组数据时，为了求回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.2

10.已知函数的图像如图所示，则（）

A.函数解析式

B.将函数的图像向左平移个单位长度可得函数的图像

C.直线是函数图像的一条对称轴

D.函数在区间上的最大值为2

11.如果有限数列满足，则称其为“对称数列”，设是项数为的“对称数列”，其中是首项为50，公差为的等差数列，则（）

A.若，则B.若，则所有项的和为590

C.所有项的和可能为0D.当时，所有项的和最大

12.如图，在菱形中，，，为的中点，将沿直线翻折到的位置，连接和，为的中点，在翻折过程中，则下列结论中正确的是（）

A.面面

B.线段长度的取值范围为

C.直线和所成的角始终为

D.当三棱锥的体积最大时，点在三棱锥外接球的外部

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.的展开式的中间一项的系数是______（用数字作答）.

14.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______

15.函数为在定义域内为增函数，则实数的取值范围为______

16.如图，是圆台母线的中点，是底面的直径，上底面半径为1，下底面半径为2，，点是弧的中点，则、两点在圆台侧面上连线长最小值的平方等于______

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）已知数列的前项和为，且，.

（1）求的通项公式；

（2）若，，求.

18.（本小题满分12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.

①；②；

③.

在中，内角，，的对边分别是，，，若______.

（1）求角；

（2）若，求周长的取值范围.

19.（本小题满分12分）已知四棱锥中，平面，，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）设是棱上的点，若二面角的余弦值为，试求直线与平面所成角的正弦值.

20.（本小题满分12分）已知椭圆：的左右顶点分别为，，上顶点为，，椭圆的长轴长比短轴长大4.

（1）求椭圆的方程；

（2）斜率存在且不为0的直线交椭圆于，两点（异于点），且，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标.

21.（本小题满分12分）春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午9：20~10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20~9：40记作区间，9：40~10：00记作，10：00~10：20记作，10：20~10：40记作.例如：10点04分，记作时刻64.

（1）估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20~10：00之间通过的车辆数为，求的分布列与数学期望；

（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻服从正态分布，其中可用这600辆车在9：20~10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46~10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.

参考数据：若，则，，.

22.（本小题满分12分）已知函数，，，.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若曲线在点处的切线与曲线切于点，求，，的值；

（3）若恒成立，求的最大值.

南京市六校2023-2024学年高三上学期8月联考

数学答案

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1-4：BBDC5-8：ABCB

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

9.AC10.ABC11.BD12.AC

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.14.15.16.

四、解答题：本大题共6小题，共70分

17.解：（1）∵

∴当时，

两式相减得：，即，

∴且符合，∴的通项公式为

（2）由（1）可知，

∴

∴

18.解：（1）选①，，由正弦定理得

，即

∴

∵∴

选②，由得

，

∵，∴，∴，∴

选③，由

∴

∴，

∵，

∴，∵，∴

（2）解法一：由（1）可知，又，由余弦定理得

∴

即，当且仅当时取等号

又

∴周长的取值范围为

解法二：由（1）知，又正弦定理

得

∴周长，

又，∴

周长，

又，∴

∴周长的取值范围为

19.证：在四棱锥中，∵平面

∴

∵，，∴

又∵，∴平面

又∵平面，∴平面平面

（2）由（1）得，，两两垂直，∴为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，

则由题意：，，，，，

由得，

∵平面，∴平面的一个法向量为

设为平面的一个法向量，

∴即

令，则，，

∵二面角的余弦值为

∴，解得

设直线与平面所成角为，平面的一个法向量为

又

∴，即直线与平面所成角的正弦值为

20.解：（1）由题意得，可得，

又，，联立方程得：，

故粗圆方程为.

（2）证明：∵，根据向量加法与减法的几何意义可得，

即，

设直线的方程为：，

联立椭圆方程，

得，

，即

设，，则

，，

，，

将韦达定理式代入化简得，

，解得或，

此时均满足，

当时，直线方程为，过点与重合，故舍去，

当时，直线方程为，过定点，

故直线过定点，定点为.

21.解（1）由题意，这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为，即10点04分

（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在这一区间内的车辆数，

即，所以的可能取值为0，1，2，3，4

所以，

，

，

，

所以的分布列为

01234

所以.

（3）由（1）可得，

，

所以.

估计在9：46~10：40这一时间段内通过的车辆数，也就是通过的车辆数，

由，

所以，估计在9：46~10：40这一时间段内通过的车辆数为辆.

22.解（1），则.

令，得，所以在上单调递增.

令，得，所以在上单调递减.

（2）因为，所以，所以方程为.

依题意，，.于是与抛物线切于点，

由得.所以，，.

（3）设，则恒成立.

易得.

①当时，

因为