数学人教B版必修4学案2.3.2向量数量积的运算律

2.3.2向量数量积的运算律基础知识基本能力1．掌握平面向量数量积的运算律及常用恒等式．(重点)2．理解数量积运算律的适用范围，并注意与实数乘法、数乘向量运算律的区别与联系．(难点、易错点)1．能正确地运用数量积的运算律进行相关的计算或证明．(重点)2．要注意运算律可以双向使用，并要知道数量积运算不满足结合律，也就是说，一般情况下(a·b)c≠a(b·c)．(难点、易错点)向量数量积的运算律已知向量a，b，c与实数λ，则a·b＝b·aλ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)(a＋b)·c＝a·c＋b·c【自主测试1】下列命题正确的是()A．|a·b|＝|a||b|B．a·b≠0⇔|a|＋|b|≠0C．a·b＝0⇔|a||b|＝0D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c答案：D【自主测试2】向量m和n满足|m|＝1，|n|＝eq\r(2)，且m⊥(m－n)，则m与n夹角的大小为()A．30°B．45°C．75°D．135°解析：设m与n的夹角为θ，则由m⊥(m－n)，知m·(m－n)＝0，即m2－m·n＝0，∴m·n＝m2＝|m|2＝1，∴cosθ＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(1,1×\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴θ＝45°.答案：B【自主测试3】已知|a|＝4，|b|＝5，且a，b的夹角为60°.求：(1)a2－b2；(2)(2a＋3b)·(3a－2b)．解：(1)a2－b2＝|a|2－|b|2＝42－52＝－9；(2)(2a＋3b)·(3a－2b)＝6a2＋5a·b－6b2＝6×16＋5×4×5cos60°－6×25＝－4.向量数量积的运算不满足结合律剖析：向量数量积的运算不满足结合律，即等式(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立，下面给出说明：思路一：举反例．如图所示，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝3，〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,3)，〈eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,3)，则〈eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))〉＝eq\f(2π,3)，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1，b·c＝|b||c|cos〈b，c〉＝3.∴(a·b)·c＝c，a·(b·c)＝3a.很明显c＝3a不成立，∴(a·b)·c＝a·(b·c)不成立．故等式(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．思路二：下面用向量数量积的几何意义来分析．由于向量的数量积是实数，则设a·b＝λ，b·c＝μ.则(a·b)·c＝λc，a·(b·c)＝μa.由于c，a是任意向量，则λc＝μa不一定成立．故等式(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．题型一有关向量的数量积、模、垂直等的计算【例题1】设O为△ABC的外心，OD⊥BC于点D，且||＝eq\r(3)，||＝1，则·(－)的值是()A．1B．2C．eq\r(2)D．eq\r(3)解析：由O是△ABC的外心及OD⊥BC可知，D为边BC的中点，将变形为eq\f(1,2)(＋)，再利用数量积的运算律求解．答案：A反思求解本题时，要注意几何性质的应用，将向量进行适当转化，转化的目的是用上已知条件．另外，求平面向量的数量积时，常用到以下结论：(1)a2＝|a|2；(2)(xa＋yb)·(mc＋nd)＝xma·c＋xna·d＋ymb·c＋ynb·d，其中x，y，m，n∈R，类似于多项式的乘法法则；(3)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(4)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c.【例题2】已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a，b的夹角为60°，求|a＋b|.分析：(1)根据数量积的定义求解；(2)利用关系式a2＝|a|2可使向量的长度与向量的数量积互相转化．解：(1)∵a∥b，∴a与b的夹角为0或π.当a与b的夹角为0时，a·b＝|a|·|b|cos0＝1×eq\r(2)×cos0＝eq\r(2)；当a与b的夹角为π时，a·b＝|a|·|b|cosπ＝1×eq\r(2)×(－1)＝－eq\r(2).(2)|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|cos60°＝12＋(eq\r(2))2＋2×1×eq\r(2)×eq\f(1,2)＝3＋eq\r(2).故|a＋b|＝eq\r(3＋\r(2)).反思利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(2)|a±b|＝eq\r(a±b2)＝eq\r(a2＋b2±2a·b).【例题3】已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，若向量ka－b与a＋2b垂直，求k的值．分析：由(ka－b)⊥(a＋2b)，得(ka－b)·(a＋2b)＝0，展开求解即可．解：∵(ka－b)⊥(a＋2b)，∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，即ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即k×52＋(2k－1)×5×4×cos60°－2×42k＝eq\f(14,15)，故若向量ka－b与向量a＋2b垂直，则k的值为eq\f(14,15).反思(1)对数量积的运算律要熟练掌握．(2)非零向量a·b＝0⇔a⊥b是非常重要的性质，对于解决平面几何图形中的垂直问题有很大帮助，应熟练掌握．题型二有关几何证明问题【例题4】如图，AD，BE，CF是△ABC的三条高．求证：AD，BE，CF相交于一点．分析：解答本题可先设两条高交于一点，再利用向量的数量积证明第三条高也过此点．证明：设BE，CF交于点H，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AH,\s\up6(→))＝h，则eq\o(BH,\s\up6(→))＝h－a，eq\o(CH,\s\up6(→))＝h－b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b－a.∵eq\o(BH,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CH,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，∴(h－a)·b＝0，(h－b)·a＝0.∴(h－a)·b＝(h－b)·a，化简得h·(b－a)＝0.∴eq\o(AH,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).∴AH与AD重合，即AD，BE，CF相交于一点．反思向量作为一种工具在解决几何问题时有着广泛的应用，几何问题向向量的转化是关键一步，同时注意向量的数量积及向量的运算律的运用；在应用时还要注意向量的相关概念与一些几何概念的区别，如向量的夹角与直线的夹角就不相同．题型三易错辨析【例题5】已知O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，试判断△ABC的形状．错解：由已知(－)·(＋－2)＝0，可得(－)·[(－)＋(－)]＝0，即(－)·(＋)＝0，∴＝或＝－，即||＝||，∴△ABC为等腰三角形．错因分析：误认为a·b＝0⇔a＝0或b＝0.实际上当a⊥b时，a·b＝0也成立．正解：－＝＝－，＋－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(－)＝＋.∵(－)·(＋－2eq\o(OA,\s\up6(→)))＝0，∴(－Aeq\o(C,\s\up6(→)))·(＋)＝0.由数量积的运算律可化为－＝0，即＝，即||2＝||2，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．1．有下面四个关系式：①0·0＝0；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·b＝b·a；④0a＝0.其中正确的个数是()A．4B．3C．2D．1解析：①错误，因为向量数量积的结果是数量而不是向量；②错误，因为向量数量积不满足结合律；③显然正确；④错误，因为实数与向量的积结果应是向量．答案：D2．如图所示，在菱形ABCD中，下列关系式不正确的是()A．∥B．(＋)⊥(＋)C．(－)·(－)＝0D．·＝·解析：选项A显然正确；选项B中，＋＝，＋＝，∵菱形的对角线互相垂直，∴⊥，∴选项B正确；选项C中，－＝，－＝，而⊥，∴选项C正确；选项D中，·＝||||cos∠BAD，·＝||||cos(π－∠BAD)＝－||||cos∠BAD＝－·，∴选项D错误．答案：D3．已知|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为60°，则|2a－b|＝__________.答案：2eq\r(7)4．若向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a＝__________.解析：解析一：根据已知条件，知|c|＝|a|＋|b|，c＝－a－b，从而可知a与b同向，c与a，b反向．所以有a·b＋b·c＋c·a＝3×1×cos0＋1×4×cosπ＋4×3×cosπ＝3－4－12＝－13.解析二：因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)，所以a·b＋b·c＋c·a＝eq\f(a＋b＋c2－a2＋b2＋c2,2)＝eq\f(a＋b＋c2－|a|2＋|b|2＋|c|2,2)＝eq\f(0－32＋12＋42,2)＝－13.答案：－135．在△ABC中，若·＝·＝·，求证：点O是△ABC的垂心．证明：由·＝·，得·(－)＝0，∴·＝0.∴⊥，即OB⊥CA．同理，OC⊥AB，OA⊥BC．∴O为△ABC的垂心．6．已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．解：由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3b·7a－5b＝0，,a－4b·7a－2b＝0，))∴eq\b\