3 4平面向量数乘运算坐标表示

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思考:如果向量a，b

共线（其中b

0），那么a，b

满足什么关系？

提示:

a＝

b.2.会根据向量的坐标，判断向量是否共线；会用两向量共线的坐标表示解决向量共线、点共线、直线平行等问题．(重点、难点）向量的数乘运算主要培养学生的数学抽象、逻辑推理以及数学运算能力。1.复习巩固平面向量坐标的概念.体会课堂探究的乐趣，汲取新知识的营养，让我们一起

走

吧！进

课堂

例1已知a

(2,1),b

(

3,4),求3a

4b的坐标解：3a

4b

3(2,1)

4(

3,4)

(

6,19)微课1

平面向量共线的坐标表示设

，其中共线，当且仅当存在实数

，使如果用坐标表示，可写为

，我们知道，a

，b

即消去

后得这就是说，当且仅当

时，向量

a,b(b

0)

共线.【即时训练】下列各组向量中，共线的是(

D

)a＝(－2,3)，b＝(4,6)a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)例2.已知

=（4，2）, =（6，y）,

且a

b

，求y.a

b

【解析】因为a

b

,所以4y-2×6=0,所以y=3.【变式练习】设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=

)A.2(

BB.3C.4D.6例3.已知A(－1,－1)，B(1,3)，C(2,5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.解:在平面直角坐标系中作出A，B，C三点，观察图形，我们猜想A，B，C三点共线.下面给出证明.

因为AB=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),

AC

=(2

-(-1),5

-(-1))=(3,6),又2×6-3×4=0,所以AB∥AC.因为直线AB与直线AC有公共点

A,所以A，B，C三点共线.xyAB

C注意向量共线与直线重合的区别例4：设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2

的坐标是P1(x1，y1)，P2(x2，y2)。若点P是线段P1P2的中点时，求P点的坐标.当P是P1P2的三等分点时，求点P的坐标.解：(1)中点所以，点P的坐标为P1P2MxOyP三等分点如图，当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，即xyOP1P2PxyOP1P2P1OP

OP1

P1P

OP1

3

P1P21

211

23

33

OP）

2

OP

1

OP

OP

1

OP（即点P的坐标是同理，如果，那么点P的坐标是21P

P

2PP（

x1

2x

2

,

y1

2

y2

）.3

31

22如果

PP

1，P那P

么思考：一般地，若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，点P1

2有何计算公式？是直线P

P上一点，且

,那么点P的坐标

P1P

PP2xyOP2P1P提示:P(

x1

x2

,

y1

y2

)1

1

【即时训练】△ABC的三条边的中点坐标分别为(2,1)和(－3,4),,

)(－1,－1)，则△ABC的重心坐标为

3

3

.(

2

41.向量数乘运算的坐标表示.

2.共线向量的坐标表示.

3.中点坐标公式.向量平行问题利用共线向量定理a＝λb(b≠0).利用坐标表达式x1y2－x2y1＝0.1.数学抽象：向量数乘运算的坐标表示.2.逻辑推理：推导共线向量的坐标表示.3.数学运算：用坐标进行向量的相关运算，由向量共线求参数的值.向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0可简记为：纵横交错积相减.1．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则下列结论成立的是(C

)A．a－c

与b

共线C．a

与b－c

共线B．b＋c

与a

共线D．a＋b

与c

共线【解析】

因为

b－c＝(3,3)，a＝2(3,3)＝2(b－c)，故选C.3

1

2.设a

=(2

，sinα)，b

=(cosα，3

)，且a

∥b

，则锐角α为（

）A．

30０B．

600C．

450D．

750C

3.已知向量OA

(k,12),OB

(4,5),OC

(

k,10)，且A、B、C三点共线，则

k=

.

【解析】可通过向量的减运算得到BA、BC的坐标，再利用共线条件求解。3

25.O

是坐标原点，→＝(k,12)，→＝(4,5)，→＝(10，k)．当k

为何值时，A,OA

OB

OCB,C

三点共线？解析：∵→＝

→－→＝(4,5)－(k,12)＝(4－k，－7)，AB

OB

OA→

→

→BC＝OC－OB＝(10，k)－(4,5)＝(6，k－5)．∵A,B,C

三点共线，∴→与→共线，AB

BC∴(4－k)(k－5)－6×(－7)＝0，解得k＝11

或k＝－2.6.已知点A（0，1），B（1，0），C（1，2），D（2，1），试判断AB与CD的位置关系，并给出证明.

证明:因为AB=(1,-1),CD=(1,-1),因为AB=CD,所以AB//CD，所以AB//CD.量ka－b与a

3b

平行?并确定它