空间点、直线、平面之间的位置关系测试题(含答案)

空间点、直线、平面之间的位置关系测试题一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分）1.已知平面a内有无数条直线都与平面B平行，那么（）A.a〃A.a〃BB.a与B相交C.a与B重合D.a〃B或a与B相交2.两条直线a,b满足a〃b,bud，则a与平面Q的关系是（）A.a〃Q B.a与Q相交 C.a与Q不相交 D.aua3•对于命题：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有（）1个B.2个C.3个D.4个经过平面外两点与这个平面平行的平面 （ ）只有一个B.至少有一个C.可能没有 D.有无数个过三棱柱ABC-ABC的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABBA平行的直线共11111有（）A.3条B.4条C.5条D.6条a,b是两条异面直线，下列结论正确的是（ ）过不在a,b上的任一点P，可作一个平面与a,b平行过不在a,b上的任一点P,可作一条直线与a,b相交过不在a,b上的任一点P,可作一条直线与a,b都平行过a可以并且只可以作一平面与b平行m,n是两条不同直线，Q,卩,丫是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A.若mIIQ,nIIQ,则mIIn B.若Q丄Y,B丄Y,则Q”PC.若mIQ,mIP,则QIP D.若m丄Q,n丄Q,则mIn&如图1,正四面体ABCD的棱长均为a,且AD丄平面Q于A,点B,C,D均在平面Q外,且在平面Q同一侧，则点B到平面Q的距离是（）如图2,如图2,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA丄平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是A.PB丄AD B.平面PAB丄平面PBCC.直线BC〃平面PAE D.直线PD与平面ABC所成的角为45。点P在正方形ABCD所在平面外，PD丄平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成角的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.90°11.已知二二面角Q-1-p的大小为50,P为空间中任意一点，则过点P且与平面Q和平面P所成的角都是250的直线的条数为。（)A.2B.3C.4D.5

12.在正四棱柱ABCD-ABCD中，顶点B到对角线BD和到平面ABCD的距离分别11111111为h和d，则下列命题中正确的是（ ）若侧棱的长小于底面的边长，则纟的取值范围为（0,1）dh ^j22\/3若侧棱的长小于底面的边长，则-的取值范围为（*，-■—）TOC\o"1-5"\h\zd 2 —1 Q/q若侧棱的长大于底面的边长，则〒的取值范围为（ ，鮎2）d —— 2\I—若侧棱的长大于底面的边长，则7的取值范围为（-'一,+8）d —二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1—.如图3,AABC和厶DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,ZCBA=ZCBD=120°，则AD与平面BCD所成的角为 .14.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系 .m若一个n面体有m个面是直角三角形，则称这个n面体的直度为一，则在长方体ABCDn—ABCD中，四面体A-ABC的直度为 .11111a,B表示平面，l表示既不在Q内也不在0内的直线，存在以下三个事实：①l丄a；②1〃0:③a丄0.若以其中两个为条件，另一个为结论，构成命题，其中正确命题的个数为 个.点D是棱AC三、解答题（本大题共6小题，共点D是棱AC17.如图4,在正三棱柱ABC—ABC中,111BC的中点．求证：⑴AD丄Cf；（2）A1B//平面ADC1．118.如图5，已知三棱柱ABC-ABC的侧棱与底面1111垂直，ABAC=90，M，N分别是AB，BC11的中点.（1）证明:。AB丄AC；1（2）判断直线MN和平面ACCA的位置关系，并11加以证明．

CC1如图6,在正方体ABCD—ABCD中，E,F分别为棱CC11111AD,AB的中点.求证：平面CAAC丄平面CBD；1111如果AB=1，一个动点从点F出发在正方体的表面上依次经过棱BB15BC,CD,DD,DA上的点，最终又回到点F,指111111出整个路线长度的最小值并说明理由.如图7,四棱锥S—ABCD的底面是边长为2a的菱形，且SA=SC=2aSB-SD=\:2a，点E是SC上的点，且SE=九a(0<^<2).求证：对任意的九e(0,2］，都有BD丄AE；若SC丄平面BED，求直线SA与平面BED所成角的大小.某厂根据市场需求开发折叠式小凳，如图8所示.凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管.考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm，②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面.若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45，确定节点O分细钢管上下两段的比值(精确到0.01)；若凳面是顶角为120的等腰三角形，腰长为24cm，节点O分细钢管上下两段之比为2:3.确定三根细钢管的长度(精确到0.1cm)如图9所示，在边长为12的正方形AA'A1'A1中，点B,C在线段AA'上，且AB=3,BC=4，作BB//AA］,分别交Af、AA：于点B「P,，作CC'/A%,分别交Af,AA：于点q,Q,将该正方形沿BB/CC］折叠：使得A'A：与AA］重合，构成如图10所示的三棱柱ABC-A.B1C1.在三棱柱ABC-ABC中，求证：AB丄平面BCCB； 111求平面APQ将三棱柱ABC—A^C］分成上、下两部分几何体的体积之比.图9C1QC图9C1QC图空间点、直线、平面之间的位置关系测试题一、选择题1~6DCBCDD 7~12DADCBC提示:3.对于①平行于同一直线的两个平面平行，反例为：把一支笔放在打开的课本之间；②是对的，③是错的；④是对的5■取AC,BC,BC,AC中点E,F,M,N，直线分别为EF,MN,EN,EM,FM,FN都与平1111面ABBA平行.ii6.如图所示，在直线a上任取一点P,过P作b‘〃b,则aHbz=P.那么a, 与b'确定一个平面a.因为b〃b',b，ua,b乞a,所以b〃a. /_g所以过a可以作一个平面a与b平行. '假设还可作一平面B与b平行，则anB二a,b〃a,b〃B，所以a〃b.这与a、b异面相矛盾，即假设不成立.所以只有一个平面a.综上所述，过a有且只有一个平面与b平行•故选D.7.m,n均为直线，其中m,n平行a,m,n可以相交也可以异面，故A不正确;m丄么,n丄a则同垂直于一个平面的两条直线平行；选D8.取AD的中点M,易证AD丄平面BCM，故平面BCMII平面a,平面BCMa到平面a的距离为2，即为B到平面a的距离.9.因AD与AB不相互垂直，排除A；作AG丄PB于G,因平面PAB丄平面ABCDEF，而AG在平面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂直，故排除B；由BC〃EF，而EF是平面PAE的斜线，故排除C,故选择D.10.将图形补成一个正方体如图，则PA与BD所成角等于BC与BD所成角即ZDBC.在等边三角形DBC中，ZDBC』60。，即PA与BD所成角为60°.12.设底面边长为1，侧棱长为九（九>0），过B作BH丄BD,BG丄AB•在RtABBD中,1111111BD=\：BD=\：2,BD= 2+2,ii i由三角形面积关系得h=BH= 1i BD1设在正四棱柱中，由于BC丄AB,BC丄BB,1故BiG为点Bi到平所以BC丄平面AABB,于是BC丄BG故BiG为点Bi到平111111面AiBCDi的距离，在RtAAiBiB中，又由三角形面积关系得d二BG二id二BG二iAB-BBi_i 1ABh迈,九2+1于是厂FT21于是当九>1，所以X2+2>3,^<1-3X2+2二、填空题13.45° 14.BD］〃平面AEC15.1 16.2提示：13.作AO丄CB的延长线，连接OD,则OD即为AD在平面BCD上的射影,

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因为AO=OD= a,所以ZADO=45°.2连接AC,BD相交于一点O,连接OE,AE,EC.因为四边形ABCD为正方形，所以DO=BO.WDE=D1E,所以EO为ADD0的中位线，所以EO〃D、B,所以BD]〃平面AEC.本题主要考查空间的垂直关系，由图形得四面体A-ABC的每个面都是直角三角形,m4由②③不能得到①.所以匚=4=1*由②③不能得到①.由①②=③、①③=②是正确命题,三、解答题17•证明：⑴因为三棱柱ABC-AiBiCi是正三棱柱，所以CiC丄平面ABC，又ADu平面ABC，所以CC丄AD.1又点D是棱BC的中点，且AABC为正三角形，所以AD丄BC.因为BCCC=C，所以AD丄平面BCCB，111又因为DCu平面BCCB，所以AD丄CD.1111(2)连接AC交AC于点E，再连接DE・11因为四边形AACC为矩形，所以E为AC的中点,111又因为D为BC的中点，所以ED//AB.1又AB匸平面ADC，EDu平面ADC，所以AB//平面ADC.1111118•证明：(1)因为CC丄平面ABC，又ABu平面ABC，所以CC丄AB.11由条件ZBAC=90，即AC丄AB，且ACCC=C，所以AB丄平面ACCA.111o又ACu平面ACCA，所以AB丄AC.pi ii i(2)MN〃平面ACCA，证明如下：ii设AC的中点为D，连接DN，AD.i因为D，N分别是AC，BC的中点，所以DN=2AB.又AM=丄AB，AB=AB，所以AM=DN.i2iiii i所以四边形ADNM是平行四边形•所以AD〃MN.ii因为ADu平面ACCA，MNu平面ACCA，所以MN〃平面ACCA.i ii ii ii

19.（1）证明：因为在正方体AC［中，AA］丄平面ABCD,而BDu平面ABCD,所以AA】丄BD.11又因为在正方形ABCD中，AC丄BD,所以BD丄平面CAAC.111111111111又因为BDu平面CBR，所以平面CAAC丄平面CBD.（2）最小值为3込.如图，将正方体六个面展开成平面图形，从图中F到F,两点之间线段最短，而且依次经过棱BB1，B1C1，CD，DD,DA上的中点，所求的最小值为3\込.11120解：（1）连结BD，AC,设BD与AC交于O.由底面是菱形，得BD丄AC.SB=SD，O为BD中点，BD丄SO.又ACnSO二O，.BD丄面SAC.又AEu面SAC，.BD丄AE.（2）取SC的中点F,连结OF,OE,•••SA//OF..OF与平面EDB所成的角就是SA与平面EDB所成的角.SC丄平面BED,•FE丄面BED,E为垂足，•/EOF为所求角.在等腰ACSB中，SC=BC=2a,SB=\2aSC-BE二SB-CH，所以在RtSC-BE二SB-CH，所以在RtABES中,SE•BE=2a二—a, •EF=2所以1a.2EF1EF1在RtAFEO中,OF=心sin/EOF=OF=2由题意，得BH=20^3兀即直线SA与平面BED所成角为621.解：（1）设厶ABC的重心为H，连结OH.设细钢管上下两段之比为九.已知凳子高度为30.则OH=浮.1+入因为节点O与凳面三角形ABC重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行.所以/OBH就是OB与平面ABC所成的角，亦即ZOBH=45-因为BH=OH，所以答=竽，解得"9一&〜叫即节点O分细钢管上下两段的比值约为0.63.（2）设/B=120,所以AB=BC=24,AC=24耳；3.

设厶ABC的重心为H，则BH=&AH=8订,由节点O分细钢管上下两段之比为2:3，可知OH=12.设过点AfBfC的细钢管分别为AA,BB',CC'，则AA'=CC'=5OA=汽OH2+AH2=10J37沁60.8，BB'=5OB=5JOH2