计量经济学课件2第七讲异方差性

第八讲异方差性Heteroskedasticity一、异方差性的概念二、异方差性的后果三、异方差性的检验四、解决异方差性的办法——加权最小二乘法(WLS)五、案例对线性回归模型提出了若干基本假设，只有在满足这些基本假设的情况下，应用普通最小二乘法才能得到无偏的、有效的参数估计量。但是，在实际的计量经济学问题中，完全满足这些基本假设的情况并不多见。如果违背了某一项基本假设，那么应用普通最小二乘法估计模型就不能得到无偏的、有效的参数估计量，OLS法失效，这就需要发展新的方法估计模型。当随机误差项违背同方差性假设时，即认为存在异方差性问题。说

明一、异方差性的概念1、异方差的概念对于模型k

ki

i

X

Y

X

Xi

0

1

1i

2

2i（i=1,2,…,n）同方差性假设为i2

（i=1,2,…,n）如果出现iVar(

Var(

)

)

2i（i=1,2,…,n）即对于不同的样本点i，随机误差项的方差不再是常数，则认为出现了异方差性。这里需要再次重复强调的是，对于每一个样本点i，随机误差项

i都是随机变量，服从均值为0的正态分布；所谓异方差性，是指这些随机变量服从不同方差的正态分布。同方差性异方差性2、异方差的类型同方差性假定的意义是指每个

i围绕其0均值的变化，并不随解释变量Xi的变化而变化，不论解释变量观测值是大还是小，每个

i的方差保持相同，即

i2=常数在异方差的情况下，

i2已不是常数，它随Xi的变化而变化，即

i2=f(Xi)异方差一般可归结为三种类型：单调递增型：

i2随Xi的增大而增大；单调递减型：

i2随Xi的增大而减小;复

杂

型：

i2与Xi的变化呈复杂形式。3、实际经济问题中的异方差性例如：在截面资料下研究居民家庭的储蓄行为Yi=

0+

1Xi+

iYi和Xi分别为第i个家庭的储蓄额和可支配收入。在该模型中，

i的同方差假定往往不符合实际情况。对高收入家庭来说，储蓄的差异较大；低收入家庭的储蓄则更有规律性（如为某一特定目的而储蓄），差异较小。因此，

i的方差往往随Xi的增加而增加，呈单调递增型变化。例如：以绝对收入假设为理论假设、以截面数据作样本建立居民消费函数：Ci=

0+

1Yi+

i将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样本观测值。一般情况下：居民收入服从正态分布，处于中等收入组中的人数最多，处于两端收入组中的人数最少。而人数多的组平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测值的增大而先减后增。如果样本观测值的观测误差构成随机误差项的主要部分，那么对于不同的样本点，随机误差项的方差随着解释变量观测值的增大而先减后增，出现了异方差性。例如：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型Yi=A

1

K

2

L

3e

ii

i

i产出量为被解释变量，选择资本、劳动、技术等投入要素为解释变量，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，为复杂型的一种。二、异方差性的后果1、参数估计量非有效即同方差和无序列相关条件。当计量经济学模型出现异方差性时，其普通最小二乘法参数估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性。而且，在大样本情况下，参数估计量仍然不具有渐近有效性，这就是说参数估计量不具有一致性。因为在有效性证明中利用了

2E(

)

I

i

ji)

0,

i

jCov(

,

Var(

)

2

,

i

1,2,

,

n2、变量的显著性检验失去意义在变量的显著性检验中，t统计量（j=0,1,2,…,k）包含有随机误差项共同的方差

2

。

如果出现了异方差性，将使t统计量失真，并使某些原本显著的解释变量可能无法通过显著性检验，从而使t检验失去意义。jjjj

j

j

j

j

jt

jj

2

(

X

X

)

1

ˆ

2

cSe(

ˆ

)

ˆ

ˆ3、模型的预测失效一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；另一方面，在预测值的置信区间中也包含有随机误差项共同的方差

2

。

所以，当模型出现异方差性时，它的预测功能失效。三、异方差性的检验1、检验方法的共同思路既然异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差，那么：检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与

解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。各种检验方法正是在这个共同思路下发展起来的。问题在于：用什么来表示随机误差项的方差？i似估计量”，用e~

表示。于是有一般的处理方法：首先采用

OLS

法估计模型，以求得随机误差项的估计量（注意，该估计量是不严格的），我们称之为“近i

i

i~Var(

)

E(

)

e22i即用e~2

来表示随机误差项的方差。e~

Y

(Yˆ

)i

i

i

0

ls2、图示检验法（1）用X-Y的散点图进行判断看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋势（即不在一个固定的带型域中）ei2~

~ei2XX同方差递增异方差~ei2~ei2XX递减异方差复杂型异方差（2）用X—e~2的散点图进行判断i看是否形成一斜率为零的直线。3、解析法（1）戈德菲尔德-匡特（Goldfeld-Quandt）检验☆G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较大、异方差递增或递减的情况。G-Q检验的思想：先将样本一分为二，对子样本①和子样本②分别作回归，然后利用两个子样本的残差之比构造统计量进行异方差检验。由于该统计量服从F分布，因此假如存在递增的异方差，则F远大于1；反之就会等于1（同方差）、或小于1（递减方差）。G-Q检验的步骤：①将n对样本观察值(Xi,Yi)按解释变量观察值Xi的大小排队。②将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩下的观察值划分为较小与较大的相同的两个子样本，每个子样本的样本容量均为(n-c)/2

。③对每个子样本分别求回归方程，并计算各自的残差平方1i和。将两个残差平方和中较小的一个规定为

e~2

，较大的一2i2个规定为

e~2

。二者的自由度均为n

c

k

1。02④提出假设：

H

：

21

2

12221

，

H

：

2122

与

分别为两个子样对应的随机项方差。⑤构造统计量22~

2~

2~

F

(

n

c

k

1,

n

c

k

1)2

2e

(

n

c

k

1)e

(

n

c

k

1)F

1i

2i⑥检验。给定显著性水平

，确定F分布表中相应的临界值F

（

1，

2）。若F＞F

（

1，

2），则存在异方差；反之，则不存在异方差。（2）戈里瑟（Gleiser）检验与帕克（Park）检验戈里瑟检验与帕克检验的思想：j2jiji选择关于变量

X

的不同的函数形式（如

f

(

X)

X或ivji

ji2

f

(

X

)

X

e），对方程进行估计并进行显著性检验；如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性。e~

或ei2以|

|

~

为被解释变量，以原模型的某一解释变量X

j

为解释变量，建立如下方程：ijii

|

f

(

X

)~|

e或ijiie)

f

(

X~2i=1,2,…,ni=1,2,

…,n（Gleiser）(Park)如Park检验法中，对一般的方程形式：ijijiX

e2

vf

(X

)

通过i

ji

iln(e2~2)

ln

ln

X

v检验

的显著性，若存在统计上的显著性，表明存在异方差性。注意：由于f(Xj)的具体形式未知，因此需要进行各种形式的试验。四、解决异方差性的办法——加权最小二乘法(WLS)Weighted

Least

Squares1、加权最小二乘法的基本思想加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一 个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通 最小二乘法估计其参数。例如：在递增异方差下，来自较小Xi的子样本，其真实的总体方差较小，Yi与回归线拟合值之

间的残差ei的信度较大，应予以重视;而来自较大Xi的子样本，由于真实的总体方差较大，残

差反映的信息应打折扣。 加权最小二乘法就是对加了权重的残差平方和实施OLS法：2对较小的残差平方ei

赋予较大的权数，2对较大的残差平方ei

赋予较小的权数。21

102ˆ

ˆ

k

ki

ii

iW

e

W

[Y

(

ˆ

X

X

)]2、一个例子例如：如果在检验过程中已经知道：Var(

)

E(

2

)

2

f

(X

)

2i

i

i

ji即随机误差项的方差与解释变量X

j

之间存在相关性。ji那么，可以用

f

(

X

)

去除原模型，使之变成如下形式的新模型：jijijiijiX

2i21i10f

(

X

)1f

(

X

)1f

(

X

)1f

(

X

)1X

Y

ijikijikf

(X

)f

(X

)

1

1

Xi=1,2,…,n在该模型中，存在

)

(iiiE(

)2

21f

(X

ji

))2Var(

)

1f

(X

ji

)1f

(X

ji

)Var(即同方差性。于是可以用普通最小二乘法估计其参数，得到关于参数

0

,

1,

,

k

的无偏的、有效的估计量。这就是加权最小二乘法。在这里，权数为

。1f

(

X

ji

)3、一般情况对于模型

Y=XB+N如果存在E

(

)

0Cov

(

)

E

(

)

2

W其中

W

w

n

w

1w

2

即存在异方差性。那么，由于W是一正定矩阵，存在一可逆矩阵D，使得W

DD

显然

n

w

w

w2

1

D

n

wwD

1

1

1

12w1

即D

1Y

D

1X

D

1

Y*

X*

*该模型具有同方差性。因为E(

*

*

)

E(D

1

D

1

)

D

1E(

)D

1

D

1

2WD

1

D

1

2DD

D

1

2I用D-1左乘原模型两边，可以得到一个新的模型：于是，可以用普通最小二乘法估计新模型，得到参数估计量，为：

(X*

X*

)

1

X*

Y*

1

1

1

1

1

(X

D

D

X)

X

D

D

Y

(X

W

1X)

1X

W

1Y这就是原模型的加权最小二乘估计量，它是无偏、有效的。这里权矩阵为D-1，它来自于矩阵W

。4、如何得到权矩阵W？

n

e

~

e~

e~Dˆ

2

1

en~

1

e~

1

e~

1

21Dˆ

1

2n

e~2

e~2

e~2

1

Wˆ

从前面的推导过程可以看出，W来自于原模型的残差项N的方差-协方差矩阵，因此仍然可以对原模型首先采用OLS法，得到随机误差项的近似估计量，以此构成权矩阵的估计量。即5、加权最小二乘法的具体步骤i③

选择加权最小二乘法，以1

e~

序列作为权，进行估计得到参数估计量。实际上是以1

e~

乘原模型的两边，得到一个新模型（新i模型随机误差项的方差为1），采用普通最小二乘法估计新模型。①选择普通最小二乘法估计原模型，得到随机误差项i的近似估计量e~

；i②

建立1

e~

的数据序列；注意在实际建模过程中，人们通常并不对原模型进行异方差性检验，而是直接选择加权最小二乘法，尤其是采用截面数据作样本时。如果确实存在异方差，则被有效地消除了；

如果不存在异方差性，则加权最小二乘法等价于普通最小二乘法。五、案例—1—某地区居民储蓄模型某地区31年来居民收入与储蓄额数据表单位：万元年份居民收入

(X)储蓄

(Y)年份居民收入

(X)储蓄

(Y)年份居民收入

(X)储蓄

(Y)19688777264197917663950199029560210519699210105198018575779199128150160019709954901981195358191992321002250197110508131198221163122219933250024201972109791221983228801072199435250257019731191210719842412715781995335001720197412747406198525604165419963600019001975134995031986265001400199736200210019761426943119872767018291998382002300197715522588198828300220019781673089819892743020171、普通最小二乘估计直接使用OLS法，得到：Yˆ

665.60

0.0846X（-5.87）

（18.04）R2=0.91822、异方差检验05001

0001

5002

0002

5003

0000500010

000150

002000

02500

03000

035000

4000

04

5000XY（1）图示检验⑵G-Q检验①求两个子样本（n1

=n2

=12）回归方程的残差平方和

RSS1与RSS2

；对第1

个子样本（

1968~1979）：1Yˆ

823

.58

0.0954

X(-

4.864)

(7.300)R

2

=0.842,1RSS=2

ie=162899.2对第

2

个子样本（

1987~

1998

）：2Yˆ=

1141

.07

+ 0

.0294

X（

1

.60

7

）（

1

.337

）R

2

=0

.15172iRSS

=

e

2

=769899

.2②计算F统计量

F=RSS2/RSS1=769899.2/162899.2=4.726③查表在5%的显著性水平下，第1和第2自由度均为（31-7）/2-2=10的F分布临界值为F0.05(10,10)=2.97由于 F=4.72

>

F0.05(10,10)=

2.97因此，否定两组子样本方差相同的假设，从而该总体随机误差项存在递增异方差。⑶Park检验对直接使用

OLS

法估计的残差项的平方~

2ie进行如下一般形式的回归：ln

e~

2

ln

X

i

vi得：i

i

i

17.99

2.81ln

X

v~ln

ei2t

（-2.89）

(4.48)R

2

=0.4093显然，lnXi前的参数在统计上是显著的，表明原模型存在异方差。3、异方差模型的估计①设异方差2i

2

2

Xi，以

f

(

X

i

)

X

i

去除原模型两边，得新模型*1*0

X

Y

*i其中Y

*

Y

/

Xi*，

X

1/

X

，i*

/

X运用OLS

法得Yˆ*

708.5

X

*

0.086(-10.21)

(20.63)R

2

=0.7825则原模型估计为：Yˆ

708.5

0.086

X(-10.21)

(20.63)R2

=0.7825与OLS估计结果相比较，拟合效果更差。为什么？关于异方差形式的假定可能存在问题。②如果用估计的ei2~

作为矩阵W

的主对角线元素，即相当于i用1

/

|

e~

|

为权重进行加权最小二乘估计（WLS），则有Yˆ

686

.06

0.0857

X(-29.14)

(43.59)R

2

=0.9925与OLS估计结果相比较，拟合效果更好。五、案例—2—中国消费函数模型中国消费函数模型（二元模型）根据消费模型的一般形式，选择消费总额为被解释变量，国内生产总值和前一年的消费总额为解释变量，变量之间关系为简单线性关系，选取1981年至1996年统计数据为样本观测值。中国消费数据表单位：亿元年 份

消费总额

国内生产总值

前一年消费额年 份

消费总额国内生产总值前一年消费额1981330949012976198910556164669360198236385489330919901136218320105561983402160763638199113146212801136219844694716440211992159522586413146198557738792469419932018234501159521986654210133577319942721647111201821987745111784654219953452959405272161988936014704745119964017268498345291、OLS估计结果Dependent

Variable:

CONSMethod:

Least

SquaresDate:

03/01/03 Time:

00:46Sample:

1981

1996Included

observations:

16VariableCoefficientStd.

Errort-StatisticProb.C540.528684.301536.4118480.0000GDP0.4809480.02186122.000350.0000CONS10.1985450.0474094.1879690.0011R-squared0.999773Mean

dependent

var13618.94Adjusted

R-squared0.999739S.D.

dependent

var11360.47S.E.

of

regression183.6831Akaike

info

criterion13.43166Sum

squared

resid438613.2Schwarz

criterion13.57652Log

likelihood-104.4533F-statistic28682.51Durbin-Watson

stat1.450101Prob(F-statistic)0.0000002、WLS估计结果D

ependen

t

V

ariab

le:

C

O

N

SM

eth

od

:

L

east

S

q

u

aresD

ate:

03

/01

/03

Tim

e:

00:4

7S

am

p

le:

1981

1996In

clu

d

ed

ob

servation

s:

1

6W

eig

h

tin

g

series:

EV

ariab

leC

oefficien

tS

td

.

E

rrort-S

tatisticP

rob

.C518

.288120.5

262025

.2

50080

.0000G

D

P0