三维匀强磁场区域特性的仿真分析

三维匀强磁场区域特性的仿真分析

匀强磁场的实验模型自出版以来，该光纤雕塑以其高可靠性、成本低、体积小等优点而成为研究的热点。然而,国内外尚缺乏对光纤陀螺磁场敏感特性的理论以及工程研究。为研究光纤陀螺的磁敏感特性,首先需要构建一个磁场均匀性好、范围大的三维匀强磁场环境,而匀强磁场在物理学的理论分析和实验研究中都起着十分重要的作用。亥姆霍兹线圈是由一对相同的、共轴的、彼此平行的各密绕有N匝电流线圈所组成。由于它结构简单又能产生均匀性较好的磁场,因此成为磁测量等物理实验的重要组成部件。目前,虽然关于圆形亥姆霍兹线圈构建匀强磁场的研究较多,但因其不便于加工、定位,故难以在工程中构建大型三维匀强磁场。为满足研究光纤陀螺磁敏感性的实际应用需求,文中将采用正方形亥姆霍兹线圈为模型,构建三维匀强磁场。针对正方形亥姆霍兹线圈产生的磁场进行分析,研究其轴线上和空间磁场均匀性,及由其构建的三维匀强磁场的磁场特性。1正方形载流线圈的建立首先分析单一正方形载流线圈轴线上的磁场强度。将正方形载流线圈视为四段载流导线,采用分段计算然后矢量叠加的方法,得到正方形载流线圈中心轴线上磁场分布的一般表达式。根据毕奥—萨伐尔定律可以推导出一段载流直导线在空间某点p产生的磁场为式(1)中,μ0=4π×10-7N·A-2为真空磁导率,I为电流强度,θ1、θ2为导线两端到点p的连线与导线夹角,d为点p到导线的距离,磁场方向与电流方向成右手螺旋关系。将正方形载流线圈视为四段载流直导线,利用式(1)可以求解其磁场分布情况。如图1,取正方形线圈的中心为坐标原点,平行于水平边向右为x轴正方向,垂直于纸面向内的方向为y轴正方向,z轴垂直于线圈平面。z轴方向与电流方向形成右手螺旋关系,设正方形边长为2l。AB边电流在P点产生的磁感应强度:同理,BBC=BCD=BDA=BAB,由正方形对称性可知,BAB与BCD相对于z轴对称并且BBC与BDA也相对于z轴对称,所以它们沿垂直于z轴方向的分量相互抵消,而沿z轴方向的分量相互叠加为:现称一对相同的、共轴的、彼此平行的各密绕有N匝线圈的正方形载流线圈为正方形亥姆霍兹线圈,如图2所示。对于正方形亥姆霍兹线圈轴线上的磁场分析,1、2分别表示线圈1与线圈2,设正方形载流线圈边长为2l,所通电流I同向,两者相距为2a,以两线圈之间中心轴线的中点O作为坐标原点,两线圈在中心轴线上Q处产生的磁感应强度分别等于:因为B1、B2的方向都为z轴正方向,所以点Q的磁场B=B1+B2也沿z轴正方向:2中央表面上的磁场由式(9)可知正方形亥姆霍兹线圈轴线上的磁场强度,为讨论其磁场均匀性,作如下分析。磁场B的一阶、二阶导数分别为:由式(11)可见,当z=0时,dB/dz=0,故在线圈的中心点磁场有极值。若在z=0处使d2B/dz2=0,则磁场B在中心点O处存在拐点,中心点附近沿轴向分布的磁场最为均匀。所以,若要设计出中心磁场最均匀的方形亥姆霍兹线圈,只需使以下等式成立:经计算得a=0.5445l,将a的值代入式(9),可得N匝正方形亥姆霍兹线圈在轴线中心点O上产生的磁场强度Bo为:由上可知正方形亥姆霍兹线圈产生的磁场存在均匀磁场区域,在其轴线上,在-0.343l≤z≤0.343l范围内,任意点磁场强度与中心点磁场强度Bo偏差小于1%。3轴向磁场bz均匀性的一般描述同样,利用式(1)及上述方法讨论正方形载流线圈的空间磁场。如图3,由于正方形具有对称性,不妨设点P(x,y,z)在xyz轴正方向上,首先计算AB边在P点产生的磁场强度。将式(14)、式(15)、式(16)代入式(1)中,得:由于现主要讨论其近轴范围内的磁场特性,可以近似认为BAB垂直于PQ且与电流成右手螺旋关系,即BAB在垂直于y轴的平面内,与x轴正方向的夹角为∠QPS;与z轴正方向的夹角为∠PQS,从而可得BAB的三个分量的表达式:应用同样的方法可求得其他三条边的电流在P点产生的磁感应强度BBC、BCD、BDA及其在xyz轴方向产生的磁场分量,由于正方形载流线圈的对称性,在其近轴区域,对于非轴线上的任一点两线圈产生部分抵消的磁场分量Bx、By,经分析Bx、By要比Bz小几个数量级。因此,不考虑Bx、By的影响,以下仅就其轴向磁场(Bz)均匀性进行讨论。经计算可得正方形载流线圈在P点产生的磁感应强度Bz的分量表达式:4近轴区域网点空间磁场的均匀度图4为正方形亥姆霍兹线圈的空间示意,设正方形载流线圈边长为2l,所通电流I同向,两者相距为2a,以两线圈之间中心轴线的中点O作为坐标原点。在讨论正方形亥姆霍兹线圈磁场的均匀度时,由于其磁感应强度比较复杂,故仅讨论其近轴区域(中心点O附近)空间磁场的均匀性。式(21)求出单个正方形载流线圈的感应强度Bz的表达式,根据式(21)分别求出上下两线圈的感应强度Bz的表达式并进行叠加,可求得亥姆霍兹线圈轴向磁场强度Bz的表达式,由于公式过长,故不再赘述。求Bz(x,y,z)的均匀度可以通过求Bz(x,y,z)与Bz(0,0,0)的相对偏差来表征:δ称为磁场大小的偏差率,δ越小,均匀度越高。将最佳间距a=0.5445l代入到亥姆霍兹线圈轴向磁场强度Bz的表达式中,采用分析特征值的方法考虑x、y、z轴,xyz轴三条角平分线以及体对角线上磁场均匀性,应用MatLab进行数值计算可求得:图5~图9下图为其特征值上磁场强度模拟曲线。5框架、党组织地位及半短轴长及以二十七日制为主轴的区域合作结构的磁场分布亥姆霍兹线圈是构建均匀磁场的经典模式。在实际应用中,当需要磁场空间较大时,或当需要建立三维体系时,为了加工的便利,材料的节省乃至组装定位的简化,现采用正方形亥姆霍兹线圈获得三维匀强磁场。文中通过搭建如图10所示的三维亥姆霍兹线圈装置构建一个可变的三维匀强磁场。装置有6个框架,框架上安装亥姆霍兹线圈,每个框架彼此绝缘。每两个框架为一组,同一组框架尺寸相同,一组框架水平放置,另两组垂直放置。同一组两框架平行安装,轴心线重合,任意两组框架轴心线垂直。线圈通电形成三维磁场。由上文分析及式(13)可知,中心磁场强度满足磁场矢量叠加原理,因此三维磁场强度矢量B为以xyz方向为主轴的三组亥姆霍兹线圈产生的磁场强度的矢量和:其中Rx,Ry,Rz分别为三组线圈的半边长,Ix,Iy,Iz分别为三组线圈通电电流强度。其磁场均匀区域大小由三组线圈中边长最小的一组线圈决定,设其为Rmin。又知其均匀性在各个方向上变化相近,但在xyz轴体对角线上变化最快,因此以xyz轴体对角线上数据为基准。若要求δ≤1%,则可近似得到以亥姆霍兹线圈框架中心点为球心,半短轴长为0.236Rmin的椭球形匀强磁场区域;若要求δ≤1‰,则可得到以亥姆霍兹线圈框架中心点为球心,半短轴长为0.133Rmin的椭球形匀强磁场区域。以实验室设计的三维亥姆霍兹线圈装置为例,其z轴框架最小,内边长750mm,外边长880mm。若要求δ≤1%,可得到半短轴长介于177~208mm之间的椭球形匀强磁场区域;若要求δ≤1‰,可得到半短轴长介于100~117mm之间的椭球形匀强磁场区域。鉴于一般光纤陀螺的半径都小于100mm,因此该装置完全满足研究光纤陀螺磁敏感性的需求。6磁场强度仿真及结果分析文中分析了正方形亥姆霍兹线圈产生的轴线上以及空间磁场的磁场强度及其均匀性,给出了其数值计算公式。采用特征值法对磁场中