直圆双轴柔性铰臂柔度的设计计算公式

直圆双轴柔性铰臂柔度的设计计算公式

柔性链具有体积小、无间隙、无机械摩擦、成本低、无润油等优点。广泛应用于精细工程中。例如精密工作台、纳米定位技术、微加速度器、微夹持机构及显微装置等。柔性铰链分为单轴柔性铰链和双轴柔性铰链。单轴柔性铰链最常见的形式是直梁型柔性铰链和圆弧型柔性铰链。为了得到不同的精度和运动范围,提出了椭圆型柔性铰链、倒角型柔性铰链、抛物线型柔性铰链和双曲线型柔性铰链等。单轴柔性铰链的缺点是只能沿一个轴弹性弯曲。而把颈部做成圆杆状的双轴柔性铰链,则能沿任意轴转动且容易加工。1965年,文献推导出柔性铰链的设计计算公式,避免了繁杂费时的数值计算。但是Paros精确计算公式在形式上较为复杂,其简化公式是在柔性铰链厚度远小于半径的条件下给出的,在设计计算较厚的铰链时产生较大的误差。本文针对双轴圆形柔性铰链,利用能量法,通过引入中间变量,得到较为简洁的柔性铰链柔度系列设计计算公式,从而避免了费时繁杂的数值计算,为工程设计计算提供方便。1柔性项目的变形双轴柔性铰链的几何尺寸及受力变形如图1所示,杆端部截面是直径为D的圆,铰链的最小截面为直径为d的圆,切割半径为R,圆心角为θm。假设柔性铰链的右端为相对固定端,左端受到力和力矩Fx、Fy、Mz、Fz、My的作用,左端的变形Δx、Δy、αy、αz、Δz。双轴柔性铰链绕y轴的角变形和沿z轴线形变形计算方法,与铰链绕z轴的角变形和沿y轴线形变形计算方法相同,因此只推导铰链绕z轴的角变形和沿y轴线形变形。由于柔性铰链的变形集中在柔性铰链圆弧部分,所以忽略柔性铰链圆弧以外的变形。设柔性铰链材料的弹性模量为E,剪切弹性模量为G,泊松比为υ。把柔性铰链看作变截面梁,如图2所示。显然x截面的内力分量可以表示为:{F(x)=-FxF(y)=-FyΜ(z)=Μz-xFy(1)单元的应变能为:其中,As(x)为x截面的有效剪切面积。Δx=∂U/∂Fx,Δy=∂U/∂Fy,αz=∂U/∂Μz(3)在圆心角θ(x截面)处取微元体dθ进行研究,把从0到l上的积分转化到从-θm到θm上的积分。微元体的厚度为:dx=d(Rsinθ)=Rcosθdθ。微元体的高度为:d1=d+2(R-Rcosθ)=d+2R(1-cosθ)。微元体截面面积为:A(x)=π4d21。微元体截面沿z方向的惯性矩为:Ι(x)=π64d41‚x=Rsinθm+Rsinθ,l=2Rsinθm(4)再根据下式:∫dx(x2+a2)n=x2(n-1)a2(x2+a2)n-1+2n-32(n-1)a2∫dx(x2+a2)n-1(5)可得双轴柔性铰链的系列设计计算公式。1.1tf1ss4.2.2+4-5.2.2+3,5.2+21+3ta1+3双轴柔性铰链产生沿z轴的角变形αz是柔性铰链最重要的参数。力矩Mz作用下导致柔性铰链产生绕z轴的角变形αz,其柔度表达式为:αzΜz=αyΜy=64πER3f1(6)其中,f1为中间变量,其表达式为:f1=4s4(20s3+16s2+4s+1)tanθm2(1+4s)3[(1+4s)tan2θm2+1]+16s5(10s2+6s+1)tanθm2(1+4s)3[(1+4s)tan2θm2+1]2+64s6(2s+1)tanθm23(1+4s)3[(1+4s)tan2θm2+1]3+16s5(5s2+4s+1)(1+4s)72arctan(√1+4stanθm2)(7)其中,s=R/d。在力Fy作用下,由于弯矩导致柔性铰链产生绕z轴的角变形αz,其柔度表达式为:αzFy=αyFz=-64sinθmπER2f1(8)1.2剪切力导致的柔性新型真设置在力矩Mz作用下,导致柔性铰链产生沿y轴的线形变形Δy,其柔度表达式为:ΔyΜz=ΔzΜy=-64sinθmπER2f1(9)在力Fy作用下,导致柔性铰链产生沿y轴的线形变形Δy,其柔度表达式为:ΔyFy=ΔzFz=64(1+sin2θm)πERf1-64πERf2(10)其中f2为中间变量,其表达式为:f2=4(1+2s)(10s2+s+1)s4tanθm2(1+4s)3[(1+4s)tan2θm2+1]+8(5s-2)(1+2s)2s4tanθm23(1+4s)3[(1+4s)tan2θm2+1]2+16(1+2s)3s4tanθm23(1+4s)3[(1+4s)tan2θm2+1]3+4(20s2+12s+3)s5(1+4s)72arctan(√1+4stanθm2)(11)在力Fy作用下,由于剪切力导致柔性铰链产生沿y轴的线形变形Δy,其柔度表达式为:(ΔyFy)δ=(ΔzFz)δ=409πGRf3(12)其中,f3为中间变量,其表达式为:f3=4s2(1+2s)tanθm2(1+4s)[(1+4s)tan2θm2+1]+8s3(1+4s)32arctan(√1+4stanθm2)(13)1.3沿x轴的线性变形x在力Fx作用下,由于拉伸或压缩导致柔性铰链产生沿x轴的线形变形Δx,其柔度为:ΔxFx=4πERf3(14)2计算直轴柔性链的公式为通常情况下,使用最多的是直圆型柔性铰链,即θm=π/2。对于直圆型双轴柔性铰链,可以得到更加简洁的计算公式。2.1柔性新型真合力fy-1,2s3+3,5和5-3-5-10s3-3,5和10s3-3-5-10s3-3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3+3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3.3+3.3+3.3.3+3.3.3+3.3.3+3.3.3+3.3.3+3.3.3+3.3.3+3.在力矩Mz作用下,导致柔性铰链产生绕z轴的角变形αz,其柔度为:αzΜz=αyΜy=64πER3f11(15)其中,f11为中间变量,其表达式为:f11=2s4(20s3+16s2+4s+1)(1+4s)3(1+2s)+4s5(10s2+6s+1)(1+4s)3(1+2s)2+8s6(2s+1)3(1+4s)3(1+2s)3+16s5(5s2+4s+1)(1+4s)72arctan(√1+4s)(16)在力Fy作用下,由于弯矩导致柔性铰链产生绕z轴的角变形αz,其柔度为:αzFy=αyFz=-64πER2f11(17)2.2柔性新型真合成分配的变形结构在力矩Mz作用下,导致柔性铰链产生沿y轴的线形变形Δy,其柔度表达式为:ΔyΜz=ΔzΜy=-64πER2f11(18)在力Fy作用下,导致柔性铰链产生沿y轴的线形变形Δy,其柔度为:ΔyFY=ΔyFY=128πERf11-64πERf22(19)其中,f22为中间变量,其表达式为:f22=4(15s2+4s+1)s43(1+4s)3+4(20s2+12s+3)s5(1+4s)72arctan(√1+4s)(20)在力Fy作用下,柔性铰链产生沿y轴的线形变形Δy,其柔度为:(ΔyFy)δ=(ΔzFz)δ=409πGRf33(21)其中,f33为中间变量,其表达式为:f33=2s21+4s+8s3(1+4s)32arctan(√1+4s)(22)2.3沿x轴的线性变形x在力Fx作用下,由于拉伸或压缩导致柔性铰链产生沿x轴的线形变形Δx,其柔度为:ΔxFx=4πERf33(23)3计算公式的确定和计算结果本文给出的双轴柔性铰链的设计计算公式是精确推导的结果,表达式相对比较简洁。任取3组双轴柔性铰链的材料和几何参数,见表1所列。分别运用本文给出的系列设计计算公式和J.M.Paros给出的设计计算公式进行比较,计算结果见表2所列。其中Paros表示与本文计算公