2022-2023学年上海六年级数学下学期同步知识点讲练第12讲角含详解

第12讲角（核心考点讲与练）

聚焦考点

角的概念

（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这

两条射线是角的两条边.

（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示.其中顶点字母

要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不

清这个字母究竟表示哪个角.角还可以用一个希腊字母（如Na,Zp,ZY>-）表示，或用阿

拉伯数字（ZbZ2-）表示.

（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成

一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角.

（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位.1度=60分，即1°=60',1分=60秒，即

1'=60".

方向角

方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角

（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向.

（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故

描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西.（注意几个方向的角平分线按日常习

惯，即东北，东南，西北，西南.）

（3）画方向角

以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线.

三.度分秒的换算

（1）度、分、秒是常用的角的度量单位.1度=60分，即1°=60',1分=60秒，即1'=

60”.

（2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将

高级单位化为低级单位时，乘以60,反之，将低级单位转化为高级单位时除以60.同时，在进行

度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法.

四.角平分线的定义

（1）角平分线的定义

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.

（2）性质：若。C是44OB的平分线则NA。C=NB。C=工44。B或/4。B=2NA。C=2N

2

BOC.

A

C

B（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积

累，多动手实践.

五.角的计算

（1）角的和差倍分。

①是NAOC和N80C的和，记作：ZAOB^ZAOC+ZBOC.Z40C是N40B和/BOC的

差，记作：ZAOC=ZAOB-ZBOC.②若射线。C是N40B的三等分线，则NAO8=3/BOC或

ZBOC=^-ZAOB.

3

（2）度、分、秒的加减运算.在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，

分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60.

（3）度、分、秒的乘除运算.①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位.②除法：度、

分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除.

六.余角和补角

（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角.即其中一个角是另一

个角的余角.

（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角.即其中一个角是另一

个角的补角.

（3）性质：等角的补角相等.等角的余角相等.

（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联.

注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系.不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定

义，则它们就具备相应的关系.

七.角的大小比较

（1）比较角的大小有两种方法：

①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大.

②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置.

（2）表示法：

®ZAOB>ZA'O'B',

®ZAOB=ZA'O'B',®ZAOB<ZA'O'B'.

Ju名师点睛

角的概念（共2小题）

1.（2019春•浦东新区期末）如图，ZAOB=20°,NAOC=90°,点8、。、。在同一直线上,

则/C。。的度数为（）

B.105°C.110°D.115°

2.（2018春•浦东新区期末）如图是用量角器测量角度的结果，如果NAO8=NCOO,那么N

A。。的度数是

方向角（共3小题）

3.（2021春•浦东新区期末）甲、乙两座城市，乙城市位于甲城市南偏西25°的方向上，则甲城

市位于乙城市（）

A.北偏西25°的方向上B.北偏东25°的方向上

C.北偏西65°的方向上D.北偏东65°的方向上

4.（2021春•普陀区期末）如图，射线04所表示的方向是（）

北

®~尹^5东

南A.西偏南3（）°B.西偏南60°C.南偏西30°D.南偏

西60°

5.（2021春•闵行区期末）点4位于点8的北偏东方向15°,若将点8以点A为旋转中心旋转90°

落在点C处，则点A在点C的方向.

三.度分秒的换算（共5小题）

6.（2020秋•婺城区校级期末）计算：48°59'+67°31'-21°12'=.

7.（2020春•浦东新区期末）己知NA=30°45',ZB=30.45°,则乙4ZB.（填

“〉”、"V”或“=”）

8.（2018秋•芜湖期末）用度、分、秒表示24.29°=.9.（2018春•普陀区期末）计

算：22°34'36"+34°744"=.

10.（2017春•浦东新区期末）已知/A=37°24',ZA+ZB=70°,那么NB=.

四.角平分线的定义（共3小题）

11.（2021春•浦东新区校级期末）点A在点8的北偏东80°方向上，点C在射线8A与正北方向夹

角的角平分线上，那么点C位于点A处.

12.（2021春•普陀区期末）如图，OP、。。分别是/A08、NBOC的平分线，如果/尸。。=

28°,那么/AOC=°.

（2019春•松江区期末）已知OC是乙4。8的角平分线，如果NA08

=78°,那么/BOC的度数是0.

五.角的计算（共5小题）

14.（2021秋•驿城区期末）用一副三角板不能拼成的角度是（）

A.15°B.55°C.105°D.135°

15.（2021秋•温州期末）如图，已知乙4。8：NBOC=2：3,NAOC=75°,那么NAOB=

16.（2021秋•吉林期末）计算：42°36+35°43'=.

17.（2021秋•高新区期末）已知乙4。8=50°,NBOC=30°,贝i」NAOC=.

18.（2021秋•舞阳县期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？

在①135°,②120°,③75°,④25°中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角

是;（填序号）

（2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种.如图①，他先用三角板

画出了直线EF,然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（/A08）的顶点与60°角（N

COD）的顶点互相重合，且边04、OC都在直线EF上.固定三角板C。。不动，将三角板A08

绕点。按顺时针方向旋转一个角度a,当边。8与射线。F第一次重合时停止.①当OB平分N

E。。时，求旋转角度a；

②是否存在/8OC=2/A。。？若存在，求旋转角度a；若不存在，请说明理由.

①②六.余角和补角（共4小题）

19.（2021秋•武汉期末）若NA,NB互为补角，且NA<N8,则NA的余角是（）

A.1（Z/1+ZB）B.-A-ZBC.（ZB-NA）D.上/A

2222

20.（2021秋•天府新区期末）如图，乙4OC和/80。都是直角，如果NOOC=38°,那么/

（2021秋•南川区期末）如图，将一副三角板叠放在一

起，使直角顶点重合于O,则乙4OC+NDOB=.

22.（2021秋•老河口市期末）如果一个角的补角的2倍减去这个角的余角恰好等于这个角的4

倍，求这个角的度数.

七.角的大小比较（共2小题）

23.（2019春•崇明区期末）已知乙4。8和/OEF,如果移动乙DEF使得顶点。与顶点E重合，边

与边。4叠合，边EF在NA08内部，那么乙4。8和NDE尸大小关系是（）

A.ZAOB>ZDEFB.NAOBC/DEFC.NAOB=/DEFD.不能确定

24.（2021秋•呼和浩特期末）比较图中NBOC、的大小：因为08和OB是公共边，

在N8。。的内部，所以N80CNBOD.（填“>”，"V”或“=”）

分层提分

题组A基础过关练

一.选择题（共3小题）

1.（2020秋•莫旗期末）已知A、B两地的位置如图所示，且NB4C=60°,那么下列语句正确的

是（）

北

A.4地在8地的北偏东60°方向B.A地在8地的北偏东30°方向

C.B地在A地的北偏东60°方向

D.8地在A地的北偏东30°方向

2.（2021春•闵行区期末）小杰在学习“线段与角”章节有关知识时，有如下说法：

（1）两点之间线段最短：

（2）如果Na=53°38',那么Na余角的度数为36°22,；

（3）互补的两个角一个是锐角一个是钝角；

（4）一个锐角的余角比这个角的补角小90°.

你认为小杰以上说法正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（2021春•浦东新区月考）如图，己知乙408=90°,则射线08表示的方向是（）

A.南偏西55°B.北偏西35°C.南偏东55°D.北偏

东35°

二.填空题（共14小题）

4.（2021春•闵行区期末）点A位于点8的北偏东方向15°,若将点B以点A为旋转中心旋转90°

落在点C处，则点A在点C的方向.

5.（2021春•浦东新区期末）如图，/AOB=85°,N8OC=45°.。。平分/AOC,则NA。。

6.（2021春•浦东新区校级期末）若Na的余角是56°36',则Na的补角

是.

7.（2021春•嘉定区期末）已知Na=26°37',那么Na的补角等于.

8.（2021春•宝山区期末）如图，已知NAOB=63°,NBOC=23°09',那么N4OC

=.（用度、分、秒表示NAOC的大小）

39.（2021•上海）70°的余角是.10.（2021春•浦东新区月考）若

Na=53°18',则Na的补角为.

11.（2020秋•镇江期末）如图，已知NAOB=90°,射线OC在/A08内部，平分NAOC,

OE平分/8OC,则NQOE=°.

512.（2021春•松江区期末）己知NA的余角等于36°25',那么N4

13.（2021春•金山区期末）A地与。地的大致位置关系如图所示，那么4地在。地的方

14.（2021春•浦东新区校级期末）点A在点B的北偏东80°方向上，点C在

射线A4与正北方向夹角的角平分线上，那么点C位于点A处.

15.（2021春•奉贤区期末）已知NA=38°24',则NA的补角的大小是.

16.（2021春•普陀区期末）如图，OP、。。分别是乙408、NBOC的平分线，如果NPOQ=

28°,那么NAOC=°.

C17.（2021春•金山区期末）已知一个角的补角的度数是113°,那么

这个角的余角的度数是

三.解答题(共6小题)

18.(2021春•宝山区校级月考)已知，如图所示，。为直线48上一点，。。平分/80C,OE平

分NAOC,则。E与。。的位置关系是怎么样的？请完成下列解题过程.

解：•.•。。平分/3。€1,OE平分NAOC()

NOOcl/BOC,NEOC=：()

22-----------------------

:.NDOE=NDOC+=工(+)：/AOC+/5OC=180。

----------2------------------------

()

，ZDOE=90°

1()

O319.(2021春•虹口区校级期末)N1与N2互补，N2比N1的3倍的大

20°,求Nl、N2的大小.

20.(2021春•虹口区校级期末)填空.

(1)如图1,已知NAOB=NCOQ=90°,AAOD=1AAOC,那么乙40c的度数为

度.

(2)如图2,己知NAOB=9()°,如果射线04、OB同时绕点。逆时针旋转(当射线。4旋转

360°后，两条射线同时停止旋转)，射线。4以每秒3°的速度旋转至OC,射线OB以每秒1°

的速度旋转至OO.当NCOO=60°时，求NA。。的度数.

B

图221.(2021春•奉贤区期末)已知点。为直

线4B上一点.

(1)如图1,过点。作射线。C,使/40C：/BOC=3：2,求NAOC与NBOC的度数；

(2)如图2,射线OC为NA03内部任意一条射线，射线。£＞、OE分别是NAOC、NBOC的角

平分线，写出N£)OE=°,此时图中互余的角有对，互补的角有

对.(3)如图3,在第(2)小题情况下，保持/OOE的度数不变，但改变其他条件，并使得

射线OC是N8O。的角平分线，此时NA。。与NCOE满足怎样的数量关系？并说明理由.

春•杨浦区期末）如图，己知N4OB=58°,ZAOC^ZAOB^,ON、0M分别平分/

AOC、ZBOC.

（1）^ZAOC=32°,则/MON=；

（2）若NAOC=〃°（0<n<90°）,ON、OM依旧分别平分NAOC、ZBOC,NMCW的大

小是否改变？;

（3）试说明（2）的结论的理由.

8A2、C2相交于点人2.

（1）如果N4=64°,那么N4的度数是多少，试说明理由并完成填空；

（2）如图2,/AI=64°,如果N&BC、NA2cM*1勺角平分线区与、C&相交于点小，请直接

写出乙43度数；

（3）如图2,重复上述过程，的角平分线BA“、C4”相交于点A”得到/

设/由=。°,请用。表示NA”的度数（直接写出答

说理如下：因为BA2、C4平分NA13C和/&CM（已知），

所以NAI8C=2N1,/A|CM=2/2（角平分线的意义）.

因为NA]CM=NAI8C+NAi，Z2=Z1+ZA2（）.

（完成说理过程）

题组B能力提升练

填空题（共7小题）

1.（2021春•浦东新区期末）若Na=48°36',则/a的余角为.

2.（202（）秋•闵行区期末）如果港口A的南偏东52°方向有一座小岛8,那么从小岛B观察港口4

的方向是

3.（2020春•浦东新区期末）A、8两城市的位置如图所示，那么8城市在A城市的位置.

（2020春•宝山区期末）如果一个角的补角的一半比这个角的余角的2倍

小3°,那么这个角等于度.

5.（2019春•青浦区期末）在同一平面内，已知乙408=30°,ZBOC^且OE平

分乙40C,则乙40E=度.

6.（2017秋•松江区期末）如图，已知△ABC中，NC=9（）°,AD平分NCAB,如果C£>=1,且

的周长比△AC。的周长大2,那么30=

（2017秋•固始县期末）如图，A,0,B是同一直线上的三点，0C,

OD,OE是从。点引出的三条射线，且Nl：Z2：Z3：Z4=l：2：3：4,则/5=

度.

解答题（共11小题）

8.（2021春•宝山区期末）一个角的补角比它的余角的3倍少18°,求这个角的度数.

9.（2019春•浦东新区期末）已知一个角的余角的度数是这个角的补角的度数的2,求这个角的

5

度数.

10.（2019春•浦东新区期末）如图，。在直线AC上，。。是NAOB的平分线，OE在NBOC内.

(1)若。E是/80C的平分线，则有O£>_LOE,试说明理由;

(2)若NBOE=I/EOC,ZDOE=72",求/EOC的度数.

2

(2018春•黄浦区期末)如图，O是直线MN上一点，OB、0c分

别是/AON与NAOM的平分线，且NBQW=120°

(1)NBON的度数是°,NM0C的度数是

(2)在图中存在若干对互补的角，如/40M与NA0M问除了这对角以外，图中互补的角还

12.(2021秋•碑林区校级期末)已知。是直线48上的一点，/C。。是直角，0E平分NBOC.

(1)如图1,当/AOC=40°时，求乙DOE的度数：

(2)如图2,OF平分N8。。，求NEOF的度数；

(3)如图3,ZAOC=36°,此时/C。。绕点。以每秒6°沿逆时针方向旋转f秒(0</<

60),请直接写出/AOC和NOOE之间的数量关系.

淀区校级期末)己知NAOB=100°,NCOO=40°,OE,。尸分别平分NA。。，ZBOD.

(1)如图1,当。4,0c重合时，NEOF=度；

(2)若将NCO。从图1的位置绕点。顺时针旋转，旋转角NAOC=a,满足0°<a<90°且a

片40°.

①如图2,用等式表示/BOF与NCOE之间的数量关系，并说明理由；

②在NCOO旋转过程中，请用等式表示NBOE与NCOF之间的数量关系，并直接写出答案.

BB

末)已知乙408=90°,过点。作射线。C,射线0。平分NAOC.

(1)如图1,射线OC在NA08的外部(90°VNAOC<180°),

①若NBOC=30°,求N8O。的度数.

②若NBOC-/8。。=15。，求NBOC的度数.

(2)如图2,射线OC在NAOB的内部(0°<ZAOC<60°),若存在射线ON(0°<ZBON

<30"),使得NAON-NBON=NDON,试求出NA。。与NCON之间的等量关系.

(备用佟)115.(2020秋•渝中区校级期末)

如图1,NAOB=40°,ZCO£>=60°,OM.ON分别为/AO8和N8O。的角平分线.

(1)若NMON=70°,则NBOC=°；

(2)如图2,/COO从第(1)问中的位置出发，绕点。逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC

与。4重合时，NCOO立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与。4互为反向延

长线时停止运动.整个运动过程中，NCOO的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC',

。。旋转后的对应射线记为。。'，ZBOD'的角平分线记为ON',ZAOD'的角平分线记为

OP.设运动时间为f秒.

①当OC'平分/BON'时，求出对应的f的值；

②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得INBOP-NMON'I的值不变？若存在，

请直接写出这个定值及其对应的r的取值范围(包含运动的起止时间)：若不存在，请说明理

由.

N

cND'

-J°16.(2020秋•红谷滩区校级期

末)探究题：如图①，已知线段AB=14E,点C为AB上的一个动点，点£)、E分别是AC和8c

ADCEB

①

的中点.

(1)若点C恰好是AB中点，则。E=cm；

(2)若AC=4cvn,求。E的长;

(3)试利用“字母代替数”的方法，设4C=ac，〃请说明不论。取何值(。不超过14c〃?)，DE

的长不变；

(4)知识迁移：如图②，己知NAOB=120°,过角的内部任一点C画射线OC,若O。、OE分

别平分NAOC和NBOC,试说明/£>OE=60°与射线OC的位置无关.

17.(2020秋•叙州区期末)点。为直线48上一点，过点。作射线。C,使/BOC=65°,将一直

角三角板的直角顶点放在点。处.

(1)如图①，将三角板MON的一边ON与射线。8重合时，则；

(2)如图②，将三角板MON绕点。逆时针旋转一定角度，此时0C是/的角平分线，求

旋转角N80N和NCON的度数：

(3)将三角板MON绕点。逆时针旋转至图③时，ZNOC=—ZAOM,求NNO8的度数.

(2019秋•河东区期

末)如图(a),将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起.

(1)若NDCE=35°,NACB=；若N4CB=140°,则/OCE=；

(2)猜想N4C8与/OCE的大小有何特殊关系，并说明理由：

(3)如图(b),若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点4重合在一起，则4DAB与NCAE的大

小有何关系，请说明理由；(4)已知乙4O8=a,ZCOD=p(a,0都是锐角)，如图(c),

若把它们的顶点。重合在一起，请直接写出NAOO与N8OC的大小关

第12讲角（核心考点讲与练）

聚焦考点

角的概念

（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这

两条射线是角的两条边.

（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示.其中顶点字母

要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不

清这个字母究竟表示哪个角.角还可以用一个希腊字母（如Na,Zp,ZY>-）表示，或用阿

拉伯数字（ZbZ2-）表示.

（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成

一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角.

（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位.1度=60分，即1°=60',1分=60秒，即

1'=60".

方向角

方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角

（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向.

（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故

描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西.（注意几个方向的角平分线按日常习

惯，即东北，东南，西北，西南.）

（3）画方向角

以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线.

三.度分秒的换算

（1）度、分、秒是常用的角的度量单位.1度=60分，即1°=60',1分=60秒，即1'=

60”.

（2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将

高级单位化为低级单位时，乘以60,反之，将低级单位转化为高级单位时除以60.同时，在进行

度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法.

四.角平分线的定义

（1）角平分线的定义

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.

（2）性质：若OC是NAOB的平分线贝1」/4（^:=/8。。=//408或/4。8=2/4。。=2/

BOC.

A

C

s（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积

累，多动手实践.

五.角的计算

（1）角的和差倍分°A

①NAOB是NAOC和NBOC的和，记作：ZAOB=ZAOC+ZBOC.N4OC是N4OB和NBOC的

差，记作：ZAOC=ZAOB-ZBOC.②若射线。C是N40B的三等分线，则NAOB=3/8OC或

ZBOC=—ZAOB.

3

（2）度、分、秒的加减运算.在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，

分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60.

（3）度、分、秒的乘除运算.①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位.②除法：度、

分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除.

六.余角和补角

（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角.即其中一个角是另一

个角的余角.

（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角.即其中一个角是另一

个角的补角.

（3）性质：等角的补角相等.等角的余角相等.

（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联.

注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系.不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定

义，则它们就具备相应的关系.

七.角的大小比较

（1）比较角的大小有两种方法：

①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大.

②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置.

（2）表示法:

®ZAOB>ZA'O'B',

②NAOB=NA'O'B'，®ZAOB<ZA'O'B'.

1.（2019春•浦东新区期末）如图，ZAOB=20°,NAOC=90°,点8、。、。在同一直线上,

则NCOO的度数为（）

A.100°B.105°C.110°D.115

【分析】先求出NBOC,再由邻补角关系求出NCO。的度数.

【解答】解：：乙4。8=20°,N4OC=90°,

，N8OC=90°-20°=70°,

...NCOQ=180°-70°=110°.

故选：C.

【点评】本题考查了邻补角的定义和角的计算；弄清各个角之间的关系是关键.

2.（2018春•浦东新区期末）如图是用量角器测量角度的结果，如果NAOB=NCO。，那么/

的度数是80°.

D【分析】依据NAOC=55°,NBOC=30°,可得NAOB=

25°,再根据N4OB=NCOO,可得NCOO=25°,进而得出乙4。。的度数.

【解答】解：由图可得，乙4OC=55°,NBOC=30°,

.•.NAO8=25°,

又,：4A0B=NC0D,

：.ZCOD=25°,

AZAO£>=550+25°=80°,

故答案为：80°.

【点评】此题主要考查了角的计算，关键是理清角之间的和差关系.二.方向角（共3小题）

3.（2021春•浦东新区期末）甲、乙两座城市，乙城市位于甲城市南偏西25°的方向上，则甲城

市位于乙城市（）

A.北偏西25°的方向上B.北偏东25°的方向上

C.北偏西65°的方向上D.北偏东65°的方向上

【分析】根据方向角的定义即可得到结论.

【解答】解：.••乙城市位于甲城市南偏西25°的方向上，

，甲城市位于乙城市北偏东25°的方向上，

故选:B.

【点评】本题考查了方向角的定义，理解定义是解题的关键.

4.（2021春•普陀区期末）如图，射线。4所表示的方向是（）

西60°

【分析】用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终

边，根据方位角的概念，写出射线OA表示的方向即可.

【解答】解：90°-30°=60°，

根据方位角的概念，射线。4表示的方向是南偏西60度.

故选：£）.

【点评】本题主要考查了方向角.解题的关键是弄清楚描述方向角时，一般先叙述北或南，

再叙述偏东或偏西.

5.（2021春•闵行区期末）点A位于点8的北偏东方向15°,若将点8以点A为旋转中心旋转90°

落在点C处，则点A在点C的北偏西75或南偏东75°方向.

【分析】分两种情况：根据方向角的定义解答即可.

【解答】解：①若将点8以点A为旋转中心顺时针旋转90°落在点C处，则点A在点C的南偏东

90°-15°=75°方向上，

②若将点B以点A为旋转中心逆时针旋转90°落在点C处，则点A在点C的北偏西90°-15°=

75°方向上，

综上所述，点A在点C的北偏西75或南偏东75°方向，

故答案为：北偏西75或南偏东75°・【点评】本题考查了方向角，分类讨论思想的运用是解

题的关键.

三.度分秒的换算（共5小题）

6.（2020秋•婺城区校级期末）计算：48°59'+67°31'-21°12'=95°18'.

【分析】根据度分秒加减法计算法则进行解答.

【解答】解：48°59'+67°31'-21°12'=116°30'-21°12'=95°18'.

故答案为:95°18'

【点评】本题主要考查了度、分、秒的四则混合运算，是角度计算中的一个难点，注意以60

为进制即可，难度适中.

7.（2020春•浦东新区期末）己知乙4=30°45',NB=30.45°,则乙4>NB.（填

“>”、或“=”）

【分析】先统一单位，再比较大小即可求解.

【解答】解：VZA=3（）°45'=30.75°,ZB=30.45°,

30.75°>30.45°,

，ZA>ZB.

故答案为：>.

【点评】考查了度分秒的换算以及大小比较，注意1°=60'.

8.（2018秋•芜湖期末）用度、分、秒表示24.29°=24°17'24".

【分析】进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制.

【解答】解：根据角的换算可得24.29°=24°+0.29X60',

=24°+17.4',

=24°+17,+0.4X60",

=24°17'24M.

故答案为:24°17'24".

【点评】此类题是进行度、分、秒的转化运算，相对比较简单，注意以60为进制.

9.（2018春•普陀区期末）计算：22°34'36”+34°7'44"-56°42120".

【分析】1度=60分，即1°=60',1分=60秒，即1'=60".

【解答】解：22°3436"+34°744"=56°42'20".

故答案是:56°42'20".

【点评】考查了度分秒的换算.将高级单位化为低级单位时，乘以60,反之，将低级单位转

化为高级单位时除以60.同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法.

10.（2017春•浦东新区期末）已知乙4=37°24',NA+NB=70°,那么NB=32°

36'.

【分析】根据角的和差，可得答案.

【解答】解：ZB=70°-ZA=70°-37°24'=32°36',故答案为：32°36'.

【点评】本题考查了度分秒的换算，利用角的和差是解题关键.

四.角平分线的定义（共3小题）

11.（2021春•浦东新区校级期末）点A在点8的北偏东80°方向上，点C在射线8A与正北方向夹

角的角平分线上，那么点C位于点A北偏东40。处.

【分析】先根据题意画出图形，可得/OBF=80°,DB//EA,由平行线的性质可得NEAF=

Z£>BF=80°,结合角平分线的定义可求解/E4C=40°,进而可求解答案.

【解答】解：如图，ZDBF=80°,DB//EA,

；.NEAF=NOBF=8()°,

平分/EAF,

AZE4C=40",

.•.点C位于点A北偏东40。，

故答案为北偏东40°.

【点评】本题主要考查方向角,角平分线的定义，平行线的性质，根据题意画出图形是解题

的关键.

12.（2021春•普陀区期末）如图,OP、OQ分另!J是NAOB、NBOC的平分线，如果NPOQ=

28°,那么N4OC=56”.

【分析】根据角平分线的概念以及角的和的关系，找到乙4”和N

尸。。之间的关系.

【解答】解：因为。尸是/A08的平分线,

所以尸因为OQ是ZBOC的平分线,

所以N8OC=2N8OQ,

所以NAOC=2NPOQ,

因为/尸。。=28°,

所以/AOC=28°X2=56°.

故答案为：56.

【点评】本题考查了角平分线定义的运用，解题的关键是能够用几何式子根据角平分线的概

念表示角之间的倍分关系.

13.（2019春•松江区期末）已知。C是乙4OB的角平分线，如果乙408=78°,那么ZBOC的度

数是39°.

【分析】根据角平分线定义得出代入求出即可.

【解答】解：：OC是4。8的角平分线，

AZBOC=-^-ZAOB=—X780=39°.

22

故答案为：39.

【点评】本题考查了对角平分线定义的应用，注意：如果。C是NAOB的角平分线，则NAOC

=ZB0C=—ZA0B.

2

五.角的计算（共5小题）

14.（2021秋•驿城区期末）用一副三角板不能拼成的角度是（）

A.15°B.55°C.105°D.135°

【分析】用三角板画角，无非是用角度加减法.根据选项一一分析，排除错误答案即可.

【解答】解：选项A、45°-30°=15°,能画出15°的角，此选项不符合题意；

选项8、55°的角不能用30°、45°、60°、90°的角来画，此选项符合题意；

选项C、45°+60°=105°,能画出105°的角,此选项不符合题意；

选项£＞、90°+45°=135°,能画出135°的角，此选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了角之间的和差关系，解题关键是熟知三角板各个角的度数，根据和差关

系正确画出所求的角.

15.（2021秋•温州期末）如图，己知NHOB：ZBOC=2：3,N40c=75°,那么NAOB=

k_

()0c

A.20°B.30°C.35°D.45°

可得乙4。8=34。。进而求出答案，做出选择.

【分析】由NAOB：NBOC=2：3,

5

【解答】解：•••NAOB：NBOC=2：3,NAOC=75°,

29

AZAOB=-^—ZAOC=—X75°=30°,

2+35

故选:B.

【点评】本题考查角的有关计算，按比例分配转化为是解答的关键.

5

16.（2021秋•吉林期末）计算：42°36+35°43'=78°19'.

【分析】根据角的度数计算方法，将相同单位的数字相加，然后再进行化简即可.

【解答】解：42°36'+35°43'=77°79'=78°19'.

【点评】本题考查了度、分、秒的换算，熟练掌握角的单位进率是解答本题的关键.

17.（2021秋•高新区期末）已知08=50°,ZBOC=30°,则NAOC=20°或80°.

【分析】本题是角的计算的多解问题，求解时要注意分情况讨论，可以根据OC与NAOB的位

置关系分为。C在/A08的内部和外部两种情况求解.

【解答】解：当0c在NAOB内部，

因为NAOB=50°,N8OC=30°,

所以NAOC为20°；

当。。在乙4。8外部，

因为NAO8=50°,/8OC=30°,

所以乙40c为80°；

故NAOC为20°或80°.

【点评】本题只是说出了两个角的度数，而没有指出0c与NAQB的位置关系，因此本题解题

的关键是根据题意准确画出图形.

18.（2021秋•舞阳县期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？

在①135°,②120°,③75°,④25°中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是_

④；（填序号）

（2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种.如图①，他先用三角板

画出了直线EF,然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（NAOB）的顶点与60°角（N

COD）的顶点互相重合，且边。4、OC都在直线E尸上.固定三角板COO不动，将三角板4。8

绕点O按顺时针方向旋转一个角度a,当边OB与射线OF第一次重合时停止.

①当08平分ZE。。时，求旋转角度a；

②是否存在/BOC=2/A。。？若存在，求旋转角度a；若不存在，请说明理由.

①②【分析】（1）根据一副三角板中的特殊

角，运用角的和与差的计算，只要是15°的倍数的角都可以画出来；

（2）①根据已知条件得到NEOD=180°-ZCO£>=180°-60°=120°,根据角平分线的

定义得到/EO8=1/EOO=1X120°=60°,于是得到结论；

22

②当OA在0。的左侧时，当OA在。。的右侧时，列方程即可得到结论.

【解答】解：(1)V135°=90°+45°,120°=90°+30°,75°=30°+45°,

...只有25°不能写成90°、60°、45°、30°的和或差，故画不出：

故选④；

(2)①・・・NCOD=60°,

：.ZEOD=ISOQ-ZCOD=180°-60°=120°,

OB平分/EOD,

：.ZEOB=—ZEOD=—X120°=60°,

22

；408=45°,

：.a=ZEOB-ZAOB=6Q°-45°=15°；

②当。4在0。的左侧时，如图②，

则N4O£>=120°-a,ZBOC=\35a-a,

"：ZBOC=2ZAOD,

：.135°-a=2(120°-a),

.,.a=105°：

当04在。。的右侧时如图③，则/4O£)=a-120°,ZBOC=\35°-a,

,/ZBOC=2ZAOD,

A135--a=2(a-120),

，a=125°,

综上所述,当a=105°或125°时，存在NBOC=2NAOC.

【点评】本题考查了解得计算,特殊角,角平分线的定义，正确的理

解题意是解题的关键.

六.余角和补角（共4小题）

19.（2021秋•武汉期末）若N4,N8互为补角，且NAVNB,则N4的余角是（）

A.—(ZA+Zfi)B.—ZBC.—(Zfi-ZA)D.—ZA

2222

【分析】根据互为补角的和得到乙4,的关系式，再根据互为余角的和等于90°表示出/

A的余角，然后把常数消掉整理即可得解.

【解答】解：根据题意得，NA+NB=180°,

的余角为：90°-/4=侬--ZA,

2

—(NA+NB)■/A,

2

=—(ZB-ZA).

2

故选：C.

【点评】本题主要考查了互为补角的和等于180°,互为余角的和等于90°的性质，利用消掉

常数整理是解题的关键.

20.(2021秋•天府新区期末)如图，/AOC和都是直角，如果NOOC=38°,那么N

【分析】从图形中可看出NAOC和相加，再减去N

OOC即为所求.

【解答】解："：ZAOC=ZDOB=90°,/OOC=38°,

：.ZAOB=ZAOC+ZDOB-ZDOC=90Q+900-38°=142°.故答案为：142.

【点评】此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，此题的解法不唯一，只要合理即可.

21.(2021秋•南川区期末)如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O,则/AOC+

ZDOB=180