广西壮族自治区百色市第五中学高三数学文下学期期末试卷含解析

广西壮族自治区百色市第五中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则

(

)A．

B．C．

D．参考答案：C略2.下表是某工厂1~4月份用电量（单位：万度）的一组数据：月份x1234用电量y4．5432．5

由散点图可知，用电量y与月份x间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则a=

（

）

A．10.5

B．5.25

C．5.2

D．5.15参考答案：B略3.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（bmodm），例如10≡2（bmod4）．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的i等于（）A．4 B．8 C．16 D．32参考答案：C【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=11，i=1i=2，n=13不满足条件“n=2（mod3）“，i=4，n=17，满足条件“n=2（mod3）“，不满足条件“n=1（mod5）“，i=8，n=25，不满足条件“n=2（mod3）“，i=16，n=41，满足条件“n=2（mod3）“，满足条件“n=1（mod5）”，退出循环，输出i的值为16．故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．4.如图，在复平面内，点M表示复数z，则z的共轭复数对应的点是A．MB．NC．PD．Q参考答案：C略5.在复平面内，复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则把复数化简为z=，进而得到答案．解答：解：设z=即z=，所以复数所对应的点位于第二象限．故选B．点评：解决此类问题的关键是合理正确的运用复数的运算法则以及有关复数的运算性质，并且灵活运用复数的运算技巧．6.如果a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（）A．|a|＜|b| B．＞ C．＞

D．lna＞lnb参考答案：D【考点】不等式的基本性质．【分析】根据对数函数的单调性，可得a＞b＞0，lna＞lnb，即可得出结论．【解答】解：根据对数函数的单调性，可得a＞b＞0，lna＞lnb，故选D．7.已知函数f（x）=2sin（x+φ），且f（0）=1，f′（0）＜0，则函数图象的一条对称轴的方程为（）A．x=0 B．x= C．x= D．x=参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得2sinφ=1，且2cosφ＜0，可取φ=，可得函数f（x）的解析式，从而得到函数的解析式，再根据z余弦函数的图象的对称性得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（x+φ），且f（0）=1，f'（0）＜0，∴2sinφ=1，且2cosφ＜0，∴可取φ=，函数f（x）=2sin（x+）．∴函数=2sin（x+）=2cosx，故函数图象的对称轴的方程为x=kπ，k∈z．结合所给的选项，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的导数，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．8.设集合M={x|}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略9.已知是椭圆的焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且，则的方程为（）A．

B．

C.

D．参考答案：C10.下列函数中，最小正周期为π，且图像关于直线对称的是（

）A.

B

C．

D

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数f（x）=alnx+bx2，若函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，则实数a+b=．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用．分析；求得函数的导数，由题意可得f（1）=﹣，f′（1）=0，解方程即可得到所求值．解∵f（x）=alnx+bx2，∴f′（x）=+2bx，∵函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，∴，解得a=1，b=﹣．则a+b=．故答案为：．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，正确求导和运用切线方程是解题的关键．12.已知，则的值为

▲

．参考答案：略13.已知{an}是等差数列，，且.若，则{bn}的前n项和Tn=_____.参考答案：【分析】先设等差数列的公差为，根据题中条件，求出首项和公差，得到通项公式，进而得到，再由分母有理化，用裂项相消的方法，即可求出结果.【详解】设等差数列的公差为，由，可得，解得，所以，因此，所以，的前项和.故答案为【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、以及裂项相消法求和，熟记公式即可，属于常考题型.14.若则a3=

.参考答案：80略15.若实数满足约束条件，则目标函数的最大值为___________．参考答案：816.设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则=__▲_____参考答案：17.定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，焦点三角形的周长为4+12，则椭圆C的方程是．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知c=2，根据焦点三角形的定义及椭圆的定义，求得a的值，则b2=a2﹣c2=36﹣20=16，即可求得椭圆方程．【解答】解：由题意可知：焦点F1，F2，则丨F1F2丨=2c=4，c=2，由椭圆的定义可知：丨AF1丨+丨AF2丨=2a，焦点三角形AF1F2周长L=丨AF1丨+丨AF2丨+丨F1F2丨=2a+2c，则a=6，b2=a2﹣c2=36﹣20=16，∴椭圆的标准方程为：，故答案为：，三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组；第二组，……，第五组．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已，求事件“”的概率.参考答案：【知识点】频率直方图应用，古典概型

I2

K2（1）27；（2）.（1）由直方图知，成绩在内的人数为：（人）所以该班成绩良好的人数为27人.（2）由直方图知，成绩在的人数为人，设为；成绩在的人数为人，设为.若时，有3种情况；若时，有6种情况；若内时，

ABCDxxAxBxCxDyyAyByCyDzzAzBzCzD共有12种情况.所以基本事件总数为21种.记事件“”为事件E,则事件E所包含的基本事件个数有12种.∴.即事件“”的概率为.

【思路点拨】(1)由直方图意义可得；(2)列举法一一列出总情况，利用古典概型公式解.19.（本小题满分12分）如图所示，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，M、N分别是AB，PC的中点，(1)求直线MN和AD所成角;(2)求证：MN⊥平面PCD.参考答案：证明：（Ⅰ）取PD中点E，连结AE和NE因为M、N分别是AB，PC的中点，△PCD中，NE//CD//AB,且NE=AM所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN//AＥ-------３分所以直线MN和AD所成角即直线ＡＥ和AD所成角PA⊥平面ABCD，所以PA⊥ＡＤ，△PAD是等腰三角形直线ＡＥ和AD所成角为４５度-------6分（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，所以面PAD⊥平面ABCD且交于AD，又因为四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥AE-------８分又因为△PAD是等腰三角形,所以PA=AD，所以AE⊥PD所以AE⊥面PCD，又因为MN//AＥ所以MN⊥平面PCD.-------12分20.椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e=，过F2作x轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，△F1AB的面积为3，抛物线E：y2=2px（p＞0）以椭圆C的右焦点F2为焦点．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）如图，点为抛物线E的准线上一点，过点P作y轴的垂线交抛物线于点M，连接PO并延长交抛物线于点N，求证：直线MN过定点．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设F2（c，0），由椭圆离心率及隐含条件把椭圆方程用含有c的式子表示，求出A的纵坐标，代入三角形面积公式求得c，则抛物线方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得M坐标，写出直线PO的方程，与抛物线方程联立可得N的坐标，当t2≠4时，写出MN所在直线方程，化简后说明直线MN过定点（1，0），当t2=4时，直线MN的方称为：x=1，此时仍过点（1，0）．【解答】（Ⅰ）解：设F2（c，0）（c＞0），由，有，∴椭圆C的方程为：，令x=c，代入C的方程有：，∴，∴c=1，故，即p=2．∴抛物线E的方称为：y2=4x；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：P（﹣1，t）（t≠0），则，直线PO的方程为y=﹣tx，代入抛物线E的方程有：，当t2≠4时，，∴直线MN的方程为：，即，∴此时直线MN过定点（1，0），当t2=4时，直线MN的方称为：x=1，此时仍过点（1，0）．∴直线MN过定点（1，0）．【点评】本题考查椭圆与抛物线的简单性质，考查了椭圆与抛物线故选的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．21.（本小题满分12分）已知方向向量为v=(1,)的直线l过点（0，－2）和椭圆C：的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.

参考答案：（I）解法一：直线，

①过原点垂直的直线方程为，

②解①②得∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.

故椭圆C的方程为

③解法二：直线.设原点关于直线对称点为（p，q），则解得p=3.∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，

∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.

故椭圆C的方程为

③（II）解法一：设M（），N（）.当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得

点O到直线MN的距离

即

即

整理得

当直线m垂直x轴时，也满足.

故直线m的方程为

或或

经检验上述直线均满足.所以所求直线方程为或或解法二：设M（），N（）.

当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得

∵E（－2，0）是椭圆C的左焦点，

∴|MN|=|ME|+|NE|=

以下与解法一相同.解法三：设M（），N（）.

设直线，代入③，整理得

即

∴=，整理得

解得或

故直线m的方程为或或

经检验上述直线方程为

所以所求直线方程为或或略22.（本题满分13分）已知函数（）．（1）求的单调递增区间；（2）在中，为锐角，且，，是边上一点，，试求周长的最大值．参考答案