上海高东中学 2022年高三数学文模拟试卷含解析

上海高东中学2022年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.

已知满足约束条件，则的最小值是

A．

B．

C．

D．

参考答案：答案：D2.sin600°的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D3.i为虚数单位，复平面内表示复数的点在(

)A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：C4.（5分）（2015?丽水一模）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增参考答案：A【考点】：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．解：由于f（x）=sin（ωx+?）+cos（ωx+?）=，由于该函数的最小正周期为π=，得出ω=2，又根据f（﹣x）=f（x），得φ+=+kπ（k∈Z），以及|φ|＜，得出φ=．因此，f（x）=cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选A．【点评】：本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．5.若非零向量，满足，向量与垂直，则与的夹角为（

）A.150° B.120° C.60° D.30°参考答案：B∵，且与垂直，∴，即，∴，∴，∴与的夹角为．故选．6.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：

①；

②；③；

④．其中“同簇函数”的是（

）A.①②

B.①④

C.②③

D.③④参考答案：D略7.已知函数f（x）=x3﹣ax2+x在区间（，3）上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（2，） D．（2，）参考答案：C【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求导，由题意可知：f′（x）=0在（﹣2，2）内应有两个不同实数根．根据二次函数的性质，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣ax2+x，求导f′（x）=x2﹣ax+1，由f（x）在（，3）上既有极大值又有极小值，则f′（x）=0在（，3）内应有两个不同实数根．，解得：2＜a＜，实数a的取值范围（2，），故选C．8.已知不等式和不等式的解集相同，则实数、值分别为A.－8、－10

B.－4、－9

C.－1、9

D.－1、2参考答案：B略9.在中，分别为三个内角A、B、C所对的边,设向量mn，若向量m⊥n，则角A的大小为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B；m⊥nmn。10.已知，若恒成立，则的取值范围是（

）

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知△ABC的三个顶点均在抛物线x2=y上，边AC的中线BM∥y轴，|BM|=2，则△ABC的面积为

．参考答案：2

【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A，B和C点坐标，利用中点坐标公式求得M点坐标，由又BM∥y轴，则b=，由|BM|=2，即可求得a﹣c=2，由三角形的面积公式可知S△ABC=2S△ABM，代入即可求得△ABC的面积．【解答】解：根据题意设A（a，a2），B（b，b2），C（c，c2），不妨设a＞c，∵M为边AC的中点，∴M（，），又BM∥y轴，则b=，故丨BM丨=丨﹣丨==2，∴（a﹣c）2=8，即a﹣c=2，作AH⊥BM交BM的延长线于H．∴S△ABC=2S△ABM=2××丨BM丨丨AH丨=2丨a﹣b丨=2丨a﹣丨=a﹣c=2，△ABC的面积2．故答案为：2．12.函数的定义域是__________参考答案：13.已知向量=（﹣2，x），=（y，3），若∥且?=12，则x=，y=．参考答案：2，﹣3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量共线定理、数量积坐标运算即可得出．【解答】解：向量=（﹣2，x），=（y，3），∥且?=12，∴，解得，故答案为：2，﹣3．【点评】本题考查了向量共线定理、数量积坐标运算，属于基础题．14.已知某锥体的三视图（单位：cm）如图所示，则该锥体的体积为

．参考答案：

2略15.已知集合A＝(－∞，0]，B＝{1,3，a}，若A∩B≠?，则实数a的取值范围是________．参考答案：a≤016.对于函数f（x）=x|x|+px+q，现给出四个命题：①q=0时，f（x）为奇函数②y=f（x）的图象关于（0，q）对称③p=0，q＞0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根④方程f（x）=0至多有两个实数根其中正确命题的序号为

．参考答案：①②③【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；压轴题；函数的性质及应用．【分析】①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数；②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，再利用图象变换可得结论；③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=；④q=0，p=1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f（x）=0有3个实数根．【解答】解：①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数，所以①正确．②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，把y=x|x|+px图象上下平移可得f（x）=x|x|+px+q图象，即得f（x）的图象关于点（0，q）对称，所以②正确．③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=﹣（舍去正根），故③正确．④q=0，p=﹣1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f（x）=0有3个实数根，故④不正确．故答案为：①②③【点评】本题考查命题的真假判断和应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.已知为锐角，则___________参考答案：【分析】先求出，再利用两角和的正弦公式展开，带值计算即可.【详解】解：为锐角，则为钝角，则，，故答案为：.【点睛】本题考查已知角的三角函数值求未知角的三角函数值，关键是要找到已知角和未知角之间的关系，将未知角用已知角表示出来，是基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意x＞0，都有f′（x）＞．（Ⅰ）判断函数F（x）=在（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）设x1，x2∈（0，+∞），证明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出导数F'（x），根据条件判断导数在（0，+∞）内的符号，从而说明函数F（x）的单调性；（Ⅱ）运用（Ⅰ）的结论证明，注意应用累加法；（Ⅲ）先写出推广的结论，然后运用（Ⅰ）的结论证明，并注意累加．【解答】解：（Ⅰ）对F（x）求导数，得F′（x）=，∵f′（x）＞，x＞0，∴xf′（x）＞f（x），即xf′（x）﹣f（x）＞0，∴F′（x）＞0，故F（x）=在（0，+∞）上是增函数；（Ⅱ）∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1+x2．由（Ⅰ），知F（x）=在（0，+∞）上是增函数，∴F（x1）＜F（x1+x2），即＜，∵x1＞0，∴f（x1）＜f（x1+x2），同理可得f（x2）＜f（x1+x2），以上两式相加，得f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；（Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为：设x1，x2，…，xn∈（0，+∞），其中n≥2，则f（x1）+f（x2）+…+f（xn）＜f（x1+x2+…+xn）．∵x1＞0，x2＞0，…，xn＞0，∴0＜x1＜x1+x2+…+xn．由（Ⅰ），知F（x）=在（0，+∞）上是增函数，∴F（x1）＜F（x1+x2+…+xn），即＜．∵x1＞0，∴f（x1）＜f（x1+x2+…+xn）．同理可得f（x2）＜f（x1+x2+…+xn），f（x3）＜f（x1+x2+…+xn），…f（xn）＜f（x1+x2+…+xn），以上n个不等式相加，得f（x1）+f（x2）+…+f（xn）＜f（x1+x2+…+xn）．19.（14分）

已知圆O的方程为且与圆O相切。（1）求直线的方程；（2）设圆O与x轴交与P,Q两点，M是圆O上异于P,Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为，直线PM交直线于点，直线QM交直线于点。求证：以为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标。参考答案：解析：（1）∵直线过点，且与圆：相切，设直线的方程为，即，……………2分则圆心到直线的距离为，解得，∴直线的方程为，即．…………4分（2）对于圆方程,令，得,即．又直线过点且与轴垂直，∴直线方程为，设，则直线方程为解方程组,得同理可得,…………10分∴以为直径的圆的方程为，又，∴整理得，……………12分若圆经过定点，只需令，从而有，解得，∴圆总经过定点坐标为．…14分20.（本小题满分12分）在中，，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．参考答案：本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力．解析：（Ⅰ），．又，．（Ⅱ），边最大，即．又，角最小，边为最小边．由且，得．由得：．所以，最小边．21.（本小题满分10分）

平面内有三个点A(2，0)，B(0，2)，C(cosa，sina)（其中a∈（0，），点O为坐标

原点，且．(I)求a的值；(Ⅱ)求向量与的夹角参考答案：22.（12分）（2015?上海模拟）（理）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AB=3，SA=4（1）求直线SC与平面SAB所成角；（2）求△SAB绕棱SB旋转一圈形成几何体的体积．参考答案：【考点】：直线与平面所成的角；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）由已知得SA⊥BC，CB⊥AB，从而BC⊥平面SAB，∠BSC是直线SC与平面SAB所成角，由此能求出直线SC与平面SAB所成角．（2）作AE⊥SB于E，由已知AE===，由此能求出几何体