湖南省长沙市弘益高级中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题

长沙市弘益高级中学高二第一学期入学考试数学试卷时量：120分钟满分150分一、单选题（本大题共8个小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．从2，3，4，5，6中任取2个不同的数，则取出的两个数之和是3的倍数的概率为（）A． B． C． D．4．设：或；：或，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知向量，，若，则（）A． B． C．3 D．56．已知角的终边经过点，则（）A． B． C． D．7．直线：，：，若，则实数的值为（）A．0 B．1 C．0或1 D．或18．已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共4个小题，共20分．每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，未选全得2分，选错得0分）9．关于直线：，则下列结论正确的是（）A．倾斜角为 B．斜率为C．在轴上的截距为 D．在轴上的截距为10．已知复数，则下列说法正确的是（）A．的共轭复数是 B．的虚部是C． D．11．下列说法正确的是（）A．抽样调查具有花费少、效率高的特点B．数据2，3，9，5，3，9的中位数为7，众数为3和9C．极差和标准差都能描述一组数据的离散程度D．数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为12．如图，长方体中，，，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动．以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则（）A．是平面的一个法向量B．直线平面C．异面直线与垂直D．存在点，使得直线与平面所成的角为三、填空题（本大题共4个小题，共20分．）13．同时投掷2枚质地均匀的骰子，所得点数相同的概率是________．14．已知，则的值为________．15．已知点和点到直线的距离相等，则________．16．已知函数，若存在3个零点，则实数的取值范围为________．四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知的三个顶点是，，，求：（1）边所在直线的一般方程；（2）边的垂直平分线所在直线的方程．18．（12分）平面给定三个向量，，．（1）若，求的值；（2）若向量与向量共线，求实数的值．19．（12分）中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求；（2）若，的面积为，求的周长．20．（12分）某校高三年级甲班50名学生在一次期中考试中，数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为，，，，，，．其中，且．（说明：数学成绩满分为150分）（1）根据甲班数学成绩的频率分布直方图，估计甲班数学成绩的平均分；（2）求数学成绩的第80百分位数．21．（12分）如图，在四棱锥中，，平面，，分别为，的中点．（1）证明：平面；（2）若，求点到平面的距离．22．（12分）如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，平面平面，，，，（1）证明：；（2）求与平面所成的角的正弦值．参考答案1．B【详解】．故选：B2．D【详解】∵，∴对应的点为，在第四象限，故选：D．3．C【详解】从2，3，4，5，6中任取2个不同的数的可能结果有，，，，，，，，，共10个，其中两个数之和是3的倍数的有，，共3个结果，所以取出的两个数之和是3的倍数的概率．故选：C4．A【详解】根据题意可得：，：，易知是的真子集，所以，因此，是的充分不必要条件．故选：A5．D【详解】因为，，且，所以，所以，所以，，所以．故选：D．6．A【详解】设坐标原点为，由角的终边经过点，则，故，，则，故选：A7．C【详解】，即，解得或．故选：C．8．D【详解】∵函数是上的奇函数，且当时，，∴当时，则，又，即，又，∴，∴当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递增，的图象如下所示：∴函数在区间上单调递增，∵，∴，即，∴，∴，∴．故选：D．9．BD【详解】直线：，即，所以直线的斜率为，倾斜角为，在轴上的截距为，故A错误，B正确，C错误，令，得，所以直线在轴上的截距为，故D正确．故选：BD．10．AD【详解】对于选项A：的共轭复数是，故A正确；对于选项B：的虚部是1，故B错误；对于选项C：，故C错误；对于选项D：，故D正确；故选：AD．11．AC【详解】对于A：抽样调查相比全面调查具有花费少、效率高的特点，故A正确；对于B：数据从小到大排列为2、3、3、5、9、9，所以中位数为，众数为3和9，故B错误；对于C：极差和标准差都能描述一组数据的离散程度，故C正确；对于D：数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为，故D错误；故选：AC12．ABD【详解】由题意可得，，，，，，，，因为是侧面的中心，是底面的中心，所以，，对于A，因为，，，所以，，所以，，所以是平面的一个法向量，所以A正确；对于B，因为平面，所以是平面的一个法向量，因为，所以，所以，因为平面，所以直线平面，所以B正确；对于C，因为，所以与不垂直，所以异面直线与不垂直，所以C错误；对于D，设，则，由选项A可知是平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，所以，若直线与平面所成的角为，则，解得，所以存在点，使得直线与平面所成的角为，所以D正确，故选：ABD13．【详解】同时投掷2枚质地均匀的骰子，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36种，其中点数相同的有，，，，，，共6种，所以所得点数相同的概率是．故答案为：14．【详解】由，得，所以，解得，故答案为：15．3或【详解】因为点和点到直线的距离相等，所以由点到直线的距离公式可得：，解得或，故答案为：3或16．【详解】函数存在3个零点，等价于与有3个交点．画出函数和的图象，如下图．由图知，要使函数和有3个交点，则，即．故答案为：17．（1） （2）【详解】（1）由直线方程的两点式得：，∴直线的一般方程为；（2）显然边的中点坐标为．∵边所在直线的斜率为，∴直线的斜率为．∴直线的方程为，即．18．（1） （2）【详解】（1）由题意可知，，所以，又，所以，解得，所以．（2）由题意可知，，因为向量与向量共线，所以，即，解得．19．（1） （2）6【详解】（1）中，已知，由正弦定理可得，∵，∴，中，，∴，∴．（2），的面积为，∴，解得．由余弦定理可得：化为．联立，解得∴，所以周长为6．20．（1）117.8分 （2）132.5【详解】（1）因为，且，所以，可得，由频率分布直方图，可得所以，解得，所以、，所以估计甲班数学成绩的平均分为：（分）．（2）设第80百分位数是，由，得，则解得．21．（1）证明见解析； （2）．【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接，，如图，由，得四边形是菱形，且，因为，分别为，的中点，则，，于是四边形是平行四边形，有，而平面，平面，所以平面．（2）由（1）知，，平面，平面，则平面，于是点到平面的距离等于点到平面的距离，由平面，，平面，得，，而，则，底边上的高，于是的面积，而，由，得，即，解得，所以点到平面的距离是．22．（1）证明见解析 （2）【详解】（1）证明：取中点，连结，，因为是等边三角形，所以．又因为，，所以，因为，所以是等边三角形，所以，又因为