函数的最值与导数2

人教A版选修2—2精讲细练1.3.3函数的最值与导数一、知识精讲求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.【注1】函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念；【注2】闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值；【注3】函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).二、典例细练【题型一】：导数法求函数的最值例题1：求下列各函数的最值．(1)f(x)＝－x＋2x＋3，x∈[－3,2]；(2)f(x)＝e－e，x∈[0，a]，a为正常数．【解析】(1)f′(x)＝－4x＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1或x＝0或x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋0－f(x)－60↗极大值4↘极小值3↗极大值4↘－5∴当x＝－3时，f(x)取得最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取得最大值4.(2)f′(x)＝(eq\f(1,ex))′－(ex)′＝－eq\f(1,ex)－ex＝－eq\f(1＋e2x,ex).当x∈[0，a]时，f′(x)<0恒成立，即f(x)在[0，a]上是减函数．故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.变式训练1：(湖北卷理科21)已知函数，求函数f(x)的最大值.【解析】f(x)的定义域为，令，解得，当时，，在（0，1）内是增函数；当时，，在内是减函数；故函数f(x)在处取得最大值f(1)=0变式训练2：(江西卷理科19)(本小题满分12分)设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围．（2）当时，在的最小值为，求在该区间上的最大值．解析：（1），因为函数在上存在单调递增区间，所以的解集与集合有公共部分，所以不等式解集的右端点落在内，即，解得．（2）由得，又，所以，，所以函数在上单调增，在上单调减，又，，因为，所以，所以，所以．最大值为．【题型二】：含参的最值问题例题2：若f(x)＝ax－6ax＋b(a>0)，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a、b的值．【解析】f′(x)＝3ax－12ax＝3a(x－4x)．令f′(x)＝0，得x＝0，x＝4，∵x∈[－1,2]，∴x＝0.∵a>0，∴f(x)，f′(x)随x变化情况如下表：x(－1,0)0(0,2)f′(x)＋0－f(x)↗最大值3↘∴当x＝0时，f(x)取最大值，∴b＝3.又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3>f(2)∴当x＝2时，f(x)取最小值，－16a＋3＝－29，∴a＝2，∴a＝2，b＝3.变式训练：（高考安徽卷理科16)设，其中为正实数；若为上的单调函数，求的取值范围。【解析】：因为为上的单调函数，而为正实数，故为上的单调递增函数恒成立，即在上恒成立，因此，结合解得【题型三】：导数法在解不等式中的应用例题3：(辽宁卷理科21)已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x.（I）讨论f（x）的单调性；（II）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（-x）【解析】（I）（i）若单调增加.（ii）若且当所以单调增加，在单调减少.（II）设函数则当.故当，变式训练1：(全国新课标卷理科21)（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。【解析】（Ⅰ），由题意知：即（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，设则，⑴如果，由知，当时，，而故，由当得：