即本征值取连续谱课件

第三章

量子力学中的力学量TheDynamicalvariableinQuantumMechanism

第三章

量子力学中的力学量The1引言经典粒子只有粒子性用坐标和动量来描述。状态：力学量：在任何状态下都有确定值。微观粒子波粒二象性用波函数来描述。状态：力学量：一般情况下没有有确定值。因此，在量子力学中力学量是用算符来表示。引言经典粒子只有粒子性用坐标和动量来描述。状态：力学量：在任23.1

表示力学量的算符Operatorfordynamicalvariable

3.2

动量算符与角动量算符

Momentumoperatorandangularmomentumoperator3.3

电子在库仑场中的运动

ThemotionofelectronsinCoulombfield3.4氢原子

Hydrogenatom3.5

厄米算符本征函数的正交性OrthonormalityforeigenfunctionofHermiteanoperators3.6

力学量算符与力学量的关系RelationshipbetweenOperatoranddynamicalvariable本章内容3.1表示力学量的算符本章内容33.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系OperatorcommuteTheHeisenbergUncertaintyPrinciple3.8力学量随时间的变化守恒律ThedynamicalvariablewithrespecttotimeTheconservationlaws3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关4§3.1表示力学量的算符1.算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号，其对一函数作用后得到另一函数。

例如:称为算符Fvu=ˆ注意:由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义。§3.1表示力学量的算符1.算符代表对波函数进5

2.算符的本征值、本征函数、本征方程若算符作用在函数上，等于一常数乘以，

即:则称为算符的本征值，称为算符的本征函数。

称为算符的本征方程。

例如:3.力学量的算符表示(1)动量的算符表示在量子力学中，动量用动量算符表示。即:2.算符的本征值、本征函数、本征方程若算符作用在函数6在直角坐标系中的三个分量为:(2)坐标的算符表示在量子力学中，坐标用坐标算符表示。即:即坐标算符就是坐标自身。在直角坐标系中的三个分量为:(3)能量的算符表示在量子力学中，能量用哈密顿算符表示。即:在直角坐标系中的三个分量为:(2)坐标的算符表示在量子力学中7(4)力学量用算符表示的一般规则哈密顿算符的构造:将哈密顿函数

将以上哈密顿算符构造的方法加以推广，便得出一个力学量用算符表示的一般规则:

若量子力学中的力学量

在经典力学中有相应的力学量，则表示该力学量的算符由经典表示中将动量换成动量算符，将坐标换成坐标算符而得出，即:(4)力学量用算符表示的一般规则哈密顿算符的构造:将哈密顿函8例:动能算符

角动量算符

①以上所述力学量算符规则是对坐标表象而言；对于动量表象，表示力学量F的算符是将经典表示换成坐中的坐标变量换成坐标算符即

注意例:动能算符角动量算符①以上所述力学量算符规则是对9②对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。力学量算符坐标表象动量表象坐标算符动量算符力学量算符其中②对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没有的力学量，其算符104.算符与它所表示的力学量之间的关系问题:能否说表示力学量的算符就是力学量?或算符等于力学量?算符与它所表示的力学量之间是什么的关系?在第二章讨论哈密顿算符的本征值问题:方程的解本征函数：本征值：

如果算符表示力学量，那么当体系处于的本征态中时，力学量

有确定值，这个值就是属于该本征态的本征值。

推广到一般情况当体系处在的本征态时，体系有确定的能量该假设回答了表示力学量的算符与该力学量的关系4.算符与它所表示的力学量之间的关系问题:能否说表示力学量的115.厄米算符及其性质①厄米算符的定义若对于任意两函数和，算符满足等式则称为厄米算符。

②厄米算符的性质

设为厄米算符，其本征方程证明:（实数）厄米算符的本征值必为实数。5.厄米算符及其性质①厄米算符的定义若对于任意两函数和12力学量算符为线性的厄米算符。6.力学量算性质例1.证明动量算符的一个分量

是厄密算符。证明:证明:例2.证明坐标算符的一个分量

是厄密算符。因为x是实数所以x是厄密算符。力学量算符为线性的厄米算符。6.力学量算性质例1.证明动量算13§3.2动量算符和角动量算符1.动量算符的本征问题①动量算符直角坐标②动量算符的本征方程及求解由分离变量法,令则有这正是自由粒子德布罗意波的空间部分波函数在解方程过程中，对没有任何的限制，即本征值取连续谱。归一化常数§3.2动量算符和角动量算符1.动量算符的本征问题①动量算14③归一化系数的确定

两种情形归一化常数的求法

具有分立谱的本征函数的归一化常数：

具有连续谱的本征函数的归一化常数：ⅰ)若粒子处在无限空间中，则按函数的归一化方法确定归一化常数

，即：③归一化系数的确定两种情形归一化常数的求法具有分立谱的本15归一化本征函数为：这正是自由粒子德布罗意波的空间部分波函数，对应的本征值取连续值。ⅱ)若粒子处在边长为的立方体内运动，则用所谓箱归一化方法确定常数

。

当粒子被限制在边长为的立方体内时，本征函数满足周期性边界条件。归一化本征函数为：这正是自由粒子德布罗意波的空ⅱ)若粒子处16xyzAA’oLxyzAA’oL17所以本征值为：由分立谱的归一化条件：这表明动量只能取分立值。换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱。所以本征值为：由分立谱的归一化条件：这表明动量只能取分立值。18归一化本征函数

粒子波函数④讨论ⅰ)从这里可以看出，只有在分立谱情况下，波函数才能归一化为一；连续谱情况，归一化为

函数。

ⅲ)在自由粒子波函数所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值。ⅱ)由 可以看出，相邻两本征值的间隔与成反比。当足够大时，本征值间隔可任意小；当时，即离散谱→连续谱。归一化本征函数粒子波函数④讨论ⅰ)从这里可以看出，只有在分192.角动量算符的本征问题①角动量算符直角坐标球坐标?(1)(2)2.角动量算符的本征问题①角动量算符直角坐标球坐标?(1)(20由上述直角坐标与球坐标之间的变换关系(2)得：(3)(4)由上述直角坐标与球坐标之间的变换关系(2)得：(3)(4)21由(3)、(4)得：将(5)代入(1)得角动量算符在球坐标中的表达式为：(5)(6)由(3)、(4)得：将(5)代入(1)得角动量算符在球坐标中22再定义角动量平方算符：②角动量算符的本征方程及求解ⅰ)Lz算符的本征值问题本征方程

在球坐标系中

解为：由于为的单值函数，应有周期条件:即：

本征值:再定义角动量平方算符：②角动量算符的本征方程及求解ⅰ)Lz算23

可见，微观系统的角动量在z方向的分量只能取分离值（零或的整数倍）。由于z方向是任意取定的，所以角动量在空间任意方向的投影是量子化的。

本征函数：由归一化条件：

归一化本征函数：

称为磁量子数可见，微观系统的角动量在z方向的分量只能取分离值（零24正交性：将归一化条件与正交性合记之得正交归一化条件：本征方程:ⅱ）L2算符的本征值问题令：

（1）

在球坐标系中

正交性：将归一化条件与正交性合记之得正交归一化条件：本征方程25

此为球面方程（球谐函数方程）。其中是属于本征值的本征函数。利用分离变量法及微分方程的幂级数解法，求球面方程在区域内的有限单值函数解（其求解方法在数学物理方法中已有详细的讲述），可得：（2）

（3）

由（1）、（2）式得出的本征值：角量子数磁量子数此为球面方程（球谐函数方程）。其中是（226

的本征值:

可见，微观系统的角动量只能取一系列离散值：球谐函数是属于本征值的本征函数，是缔合勒让德多项式，满足正交-模方条件：

是属于本征值的本征函数，有正交-模方条件的本征值:可见，微观系统的角动量只能取一系列离散27

由的正交归一化条件：求得归一化因子:③讨论ⅰ)球谐函数系是与有共同的本征函数系:ⅱ）简并情况

在求解本征方程的过程中，出现角量子数和磁量子数

。

由的正交归一化条件：求得归一化因子:③讨论28例:

简并度为1

简并度为3

即属于本征值的线性独立本征函数共有个。因此,的本征值是度简并的。

的本征值仅由角量子数

确定，而本征函数却由

和

确定。对于一个

值，

可取，这样就有个

值相同而

值不同的本征函数与同一个本征值对应。例:简并度为1简并度为3即属于本征值29简并度为5简并度为530确定了角动量的大小

本征值：确定了角动量的方向

本征值：角动量的空间取向量子化Z0+1m=+2-1-2l=2确定了角动量的大小本征值：确定了角动量的方向31§3.3电子在库仑场中的运动

电子在库仑场中运动的问题一电子在一带正电的核所产生的电场中运动，电子质量为μ，电荷为-e，核电荷为+Ze。取核在坐标原点，电子受核电的吸引势能为：（氢原子）（类氢原子）此类问题中，势函数只与径向坐标有关，即：把这样的场称为有心力场或辏力场。§3.3电子在库仑场中的运动电子在库仑场中运动的问题一32哈密顿算符：定态Schrödinger方程（的本征方程）：粒子在有心力场中的势能：1.粒子在有心力场中运动的Schrödinger方程（1）

对于势能只与r有关而与θ,

无关的有心力场，使用球坐标求解较为方便。于是方程可改写为：哈密顿算符：定态Schrödinger方程（的本征方程）：33设：

（2）

（2）式代入方程（1），分离变量得：（3）

（4）

径向方程球谐方程２.Schrödinger方程的求解①球谐方程的求解

球谐方程（4）与中心力场的势函数无关，且是上节讨论过的算符的本征方程：或设：（2）（2）式代入方程（1），分离变量得：（3）（34（5）

所以球谐方程（4）当，且时，该方程在内的单值有限解均为球谐函数：②径向方程的求解(库仑有心力场中)电子受核的吸引，其势为库仑势：将库仑势代入径向方程（3）得：（6）

令：

（7）

代入方程(6)得:

（5）所以球谐方程（4）当，且35（8）

ⅰ)当，原子中的电子电离脱离原子到无穷远处，即，此时方程（8）变为：此方程的解为：

对于任意的Ｅ()，都满足波函数的连续、单值和有限条件，因此对E没有什么限制，即Ｅ取连续谱。（8）ⅰ)当，原子中的电子电离脱离原子36ⅱ)当ｒ有限，即，方程（8）写成：（9）电子处在束缚态，应具有分离谱。令：

（10）

（11）

（12）

方程（9）变为：（13）ⅱ)当ｒ有限，即，方程（8）写成：（9）电子处在束37将（14）代入（13），则有：

利用幂级数求解微分方程的方法解方程（15）设方程（13）的解为：（14）

（15）

（16）

设：

将（16）代入（15）式，求其在范围内的有限解，得：（17）

为主量子数将（14）代入（13），则有：利用幂级数求解微分方程的方法38（18）（12）

由能量算符的本征值

可见，库仑场中的粒子处在束缚态时，其能量为分立值，即能量是量子化的。方程（15）在内的有限解为：（19）其中，为一任意常数，称为缔合拉盖尔多项式。（18）（12）由能量算符的本征值可见，库仑场中的39微分形式：拉盖尔多项式

（20）角量子数：

将的表示式（19）代入（14）式，便得到的表示式，然后代入（7）式，得到径向波函数：微分形式：拉盖尔多项式（20）角量子数：将的表示40

为径向波函数的归一化常数，由归一化条件：下面列出了前几个径向波函数表达式：式中为玻尔半径为径向波函数的归一化常数，由归一化条件：下41即本征值取连续谱课件42波函数：

磁量子数：

角量子数：

主量子数：3．电子在有心力场中的能量本征值与波函数能量本征值：下面列出了前几个波函数表达式：波函数：磁量子数：角量子数：主量子数：3．电子在有心力43即本征值取连续谱课件444.讨论:

①是的共同本征函数系。

可见，是电子三个算符的共同本征函数系，当量子数给定时，就确定了一个状态，力学量可同时测定。当粒子处在任一状态时，它可用构成的函数系展开，因此，构成一组力学量完全集。

4.讨论:①是的共同45②电子的第n

个能级En是n2度简并的。

粒子处在束缚态，对于第

个能级，角量子数取，共个值；对于一个

值，磁量子数

可取，共个值。因此，对于第个能级，共有：个波函数，即

的简并度为n2例：n=2时，E2是4度简并的，对应的波函数有：

库仑场中电子的能级

只与

有关，与无关，对简并，这是库仑场所特有的。②电子的第n个能级En是n2度简并的。粒子处46③简并度与力场对称性

所以，库仑场中电子的能级

只与

有关，与无关，对简并，这是库仑场所特有的。

由上面求解过程可以知道，由于库仑场是球对称的，所以径向方程与无关,而与有关。因此，对一般的有心力场，解得的能量不仅与径量子数有关，而且与

有关，即，简并度就为度。但是对于库仑场这种特殊情况，得到的能量只与有关。所以又出现了对的简并度，这种简并称为附加简并。这是由于库仑场具有比一般中心力场有更高的对称性的表现。

③简并度与力场对称性所以，库仑场中电子的能级只与47

如Li,Na,K等碱金属原子中最外层价电子是在由核和内壳层电子所产生的有心力场中运动。这个场不再是点电荷的库仑场，因此价电子的能级仅对简并。或者说，核的有效电荷发生了变化。当价电子处在和两点，有效电荷是不一样的，随着不同有效电荷Ｚ在改变，此时不再是严格的点库仑场。因此价电子的能级与

和

有关，而与

无关，即能级仅对

简并，对

的简并消除了。如Li,Na,K等碱金属原子中最外层价电子是48④宇称作空间反演球坐标系中，反射变换

+

-

xyz④宇称作空间反演球坐标系中，反射变换+-49即具有宇称。（即具有宇称）即具有宇称。综合以上两点讨论应该指出，是的偶函数，但是却具有奇宇称，这表明函数的奇偶性与波函数的奇偶宇称是完全不同的两个概念，千万不要混淆起来。于是波函数在空间反射下作如下变换：即具有宇称。即具有宇称。（即具有宇称）50§3.4氢原子1.氢原子两体问题的处理

氢原子与类氢离子都是由一个电子和核所组成的体系，若视核的质量为无穷大，即不考虑核的运动，则只需考虑电子的运动即可，是一个单体问题，情况与上节完全一样；当考虑核的质量为有限，即要考虑核的运动时，就是一个两体问题。两体问题单体问题设电子核§3.4氢原子1.氢原子两体问题的处理氢原子与类氢离51

氢原子的Schrodinger方程：通过将变量从两个粒子的坐标变换为电子相对核的坐标和质心坐标，两体问题可化成单体问题。电子相对核的坐标

折合质量质心坐标氢原子的Schrodinger方程：通过将变量从两52波函数:势能:同理算出

于是，可将上述氢原子的Schrodinger方程变为相对坐标和质心坐标的形式:波函数:势能:同理算出于是，可将上述氢原子的Schro53（1）此方程由于没有交叉项，可采用分离变量法求解。将（2）式代入(1)式,再两边除以，可得:（3）=W-E令:（2）

总能量方程:（1）此方程由于没有交叉项，可采用分离变量法求解。将（2）式54质心运动方程:相当于质量为，能量为的自由粒子运动。电子相对核的运动方程:（4）2.氢原子能级和波函数本征波函数:（5）能量本征值:

我们感兴趣的是描述氢原子的内部状态的方程(4)，它描述一个质量为

的粒子在势能为的力场中的运动。这是一个电子相对于核运动的波函数所满足的方程，相对运动能量就是电子的能级。这与上节的内容一致，按照上节的讨论:质心运动方程:相当于质量为，能量为553.讨论①能量能谱组成分立谱ⅰ)能级间距两相邻能级间距:

当时，，成为非束缚态。

当增大时，减小，即随

的增大能级越来越密。3.讨论①能量能谱组成分立谱ⅰ)能级间距两相邻能级间距:56ⅱ)基态能电子伏特基态氢原子电离的能量：

电离能ⅲ)氢原子谱线系统由高能级低能级时，辐射一个光子，其频率:巴尔末公式

为里德伯常数。上式正好与氢原子线光谱的经验公式一致。ⅱ)基态能电子伏特基态氢原子电离的能量：电离能ⅲ)氢原子谱57根据波函数的统计解释，利用氢原子的波函数，可求出处于状态中氢原子的电子在核外各处的概率分布。②氢原子核外电子的概率分布

电子处在点附近的体积元中的概率:电子处于半径为的球壳内的概率:根据波函数的统计解释，利用氢原子的波函数，可求出处于58电子处于方向角为的立体角内的概率:

在的球壳内找到电子的概率:径向概率密度：ⅰ)径向分布电子处于方向角为的立体角59例：电子处在基态（1S态）：因当时，

当时，

所以，就是径向概率分布最大值的位置。

求最可几半径极值除了和外，其余各处的都不为零。例：电子处在基态（1S态）：因当时，当60

的函数关系

的节点数nr=n–

–1的函数61即本征值取连续谱课件62即本征值取连续谱课件63ⅱ)角分布注意：

ｂ.几率极值位置可由确定。角向概率密度：ａ.几率与φ角无关，即几率函数为绕z轴旋转对称。S态电子（n=1）例：概率分布与

也无关，是一个球对称分布。ⅱ)角分布注意：ｂ.几率极值位置可由64xyzP态电子（n=2）概率分布图：S-电子xyzP态电子（n=2）概率分布图：S-电子65zyx

yxZzz

P-态电子zyxyxZzzP-态电子66概率分布图：

d态电子（n=3）：概率分布图：d态电子（n=3）：67即本征值取连续谱课件68

将以上两方面的讨论结合起来看，按量子力学计算的结果，原子中的电子并不是沿着一定轨道运动，而是按一定的概率分布在原子核周围而被发现，人们形象地将这个概率分布叫做“概率云”。有时还将电子电荷在原子内的概率分布称为“电子云”。因此只要给出氢原子定态波函数的具体形式，就可计算在此状态下的概率云密度等。结论概率云密度电子云密度将以上两方面的讨论结合起来看，按量子力学计算的69§3.5厄密算符本征函数的正交性1.函数的正交性如果函数、满足关系：（积分遍及变量变化的全部区域）则称函数、相互正交。例：动量算符的本征函数：满足：当时：即属动量算符不同本征值的两个本征函数§3.5厄密算符本征函数的正交性1.函数的正交性如果函数702.厄密算符本征函数正交性定理定理：属于厄米算符的不同本征值的本征函数相互正交。证明:解得本征值方程

力学量算符的本征值方程：本征值：F1，F2，F3……组成本征值谱本征函数：……组成本函数系厄米算符的本征值为实数本征函数的正交性和归一性可以合写为：2.厄密算符本征函数正交性定理定理：属于厄米算符的不同本71当时有由厄米算符的定义：时当有正交性归一性所以函数系构成一正交归一函数系。

例１:线性谐振子能量算符的本征函数：

构成正交归一系当时有由厄米算符的定义：时当有正交性归一性所以函数系72例2：角动量分量算符的本征函数：构成正交归一函数系例3：角动量平方算符的本征函数：

构成正交归一函数系例2：角动量分量算符的本征函数：构成正交归一函数系例373例4：氢原子能量算符的本征函数：综合上述三式，可合写为：正交归一条件组成正交归一函数系

①以上的讨论假定了本征值为分立谱。若本征值为连续谱，本征函数的正交归一性应写成：注意：例如动量算符的本征函数的正交归一条件为：例4：氢原子能量算符的本征函数：综合上述三式，可合写为：74②前面的讨论假定本征值所属的本征函数均不相等，若的本征值是度简并的，则属于的本征函数有

个：且

此意谓着:一般情况下这f个函数不正交，但可由它们重新进行线性组合：

仍是属于本征值的本征函数：②前面的讨论假定本征值所属的本征函数均不相等，若的本征值75正交归一化条件

此共有个确定的关系式，但的个数，故可以有许多种方法选择，使函数满足上述正交归一化条件式。综合上述讨论可作如下结论：厄密算符的本征函数总可取为正交归一化的，并可构成正交归一完备函数系。正交归一化条件此共有76§3.6算符与力学量的关系1.算符与力学量关系问题的提出设为力学量算符，其本征方程为：本征值：

（本征值谱)本征函数：（正交归一完全函数系）

当体系处于的本征态时，表示的力学量有确定值，该值就是在态中的本征值，即

当体系不是处于的本征态，而是处于任一个态

，这时与它所表示的力学量之间的关系如何？§3.１已讨论过：问题：§3.6算符与力学量的关系1.算符与力学量关系问题的提出设77２.厄米算符本征函数的完全性则称这组函数φn(x)是完全的。

函数的完全性有一组函数φn(x)

(n=1,2,...),如果任意函数ψ(x)可以按这组函数展开:

厄米算符本征函数的完全性设为厄米算符，其本征方程为：则任意函数ψ(x)可按φn(x)展开：(1)２.厄米算符本征函数的完全性则称这组函数φn(x)是完全的78３.展开系数的意义为求cn，将φ*m(x)乘上式并对x积分得：为讨论该问题，将（1）代入归一化条件：即：(2)３.展开系数的意义为求cn，将φ*m(x)乘上式并对x积79若

就是的本征态,则由（1）知，其余系数按（3）式知具有几率的意义，在这种情况下，测量力学量必定得的结果。（3）所以：由这个特例和（3）式看到具有几率的意义，它表示在态中测量力学量得到结果是本征值的几率，故

常称为几率幅，（3）式表明总几率为1。基本假设

量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系。当体系处于的本征态中时，力学量

有确定值，这个值就是属于该本征态的本征值；当体系处于波函数所描写的状态时，力学量没有确定值，而只能取一系列可能值，这些可能值就是算符的本征值谱，其中取１取的几率为。若就是的本征态,则由（1）知，其余系80

①此假设的正确性，由该理论与实验结果符合而得到验证。

②据此假定，在一般状态中力学量一般没有确定的数值，而是具有一系列的可能值，这些可能值就是表示这个力学量的算符的本征值，每个可能值都以确定的几率被测得。注意：的本征值：本征函数：４.力学量平均值①力学量算符的本征值只有有分立谱时则任一状态ψ(x)可按φn(x)展开：①此假设的正确性，由该理论与实验结果符合而得到验证。81根据几率求平均值的法则，力学量F在ψ(x)态中的平均值为：可证明：证明：根据几率求平均值的法则，力学量F在ψ(x)态中的平均值为：82若

不是归一化的波函数，则：②若的本征值既有分立谱,也有连续谱时若不是归一化的波函数，则：②若的本征值既有分立谱,也83

求在能量本征态下，动量和动能的平均值。例１.解：求在能量本征态84在能量本征态下测量到的动能平均值等于该态所对应的能量本征值。例２.求氢原子处于基态时电子动量的几率分布。基态波函数：动量算符的本征函数：

解：其中在能量本征态下测量到的动能平均值等于该态所对应的能量本征值。85

与动量值的大小有关，与的方向无关，由此得到动量的几率分布与动量值的大小有关，与的方向无关86§3.7算符对易关系、两力学量同时可测的条件、

测不准关系1.算符的对易关系若，则称与不对易。引入对易子：若，

则与对易。若，

则与不对易。若，则称与对易。设和为两个算符§3.7算符对易关系、两力学量同时可测的条件、

测87①坐标算符和动量算符的对易关系——力学量算符的基本对易关系①坐标算符和动量算符的对易关系——力学量算符的基本对易关系88证明对易关系式

例：证明：设为任一可微函数特别地，当代入上对易式，即证得同理可证：证明对易关系式例：证明：设为任一可微函数特89②对易恒等式③角动量算符的对易关系②对易恒等式③角动量算符的对易关系90证明：等于零等于零证明：等于零等于零91①定理证明:2.力学量同时有确定值的条件设是和的共同本征函数完全系，则设是任一状态波函数，

若算符和具有共同的本征函数完全系，则和必对易。①定理证明:2.力学量同时有确定值的条件设是和92②逆定理证明:设是的本征函数完全系，则若算符与对易，则（1）（2）

为简单起见，只考虑非简并情况。由（1）、（2）式知，和都是属于本征值的本征函数，它们最多相差一个常数因子，即

可见，也是的本征方程的解。因此，是的本征函数完全系。若算符与对易，则它们具有共同的本征函数完全系②逆定理证明:设是的本征函数完全系，则若算符93ⅲ)若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或者说不能同时测定。ⅱ)两个算符有共同本征函数系的充要条件是这两个算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时有确定值。或者说两个力学量算符所表示的力学量同时有确定值的条件是这两个力学量算符相互对易。③说明ⅰ)为简单起见，以上定理和逆定理的证明是在非简并情况下证明的；在简并的情况下，结论仍成立。（这里就不再证明了）ⅲ)若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两个算符表示的94④几个例子例2.角动量算符和对易，即因此它们有共同的本征函数完备系。同时有确定值。在描述的状态中，在描述的状态中，

和可同时有确定值:

例1.动量算符彼此对易，它们有共同的本征函数完备系④几个例子例2.角动量算符和对易，即95例5.彼此不对易，故一般不可能同时有确定值。

例4.

坐标算符与动量算符不对易，故一般不可同时具有确定值。

例3.氢原子的算符彼此对易：它们有共同的本征函数完备系

故可同时有确定值:在状态中，例5.彼此不对易，故一般不96①定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：例2.氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：②力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。③由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。3.力学量完全集合例3.例1.①定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小974.不确定关系(测不准关系)

由前面讨论表明，两对易力学量算符则同时有确定值；不对易两力学量算符，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。问题两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？不确定度测量值Fn与平均值<F>的偏差的大小。①测不准关系的严格推导

设和的对易关系为4.不确定关系(测不准关系)由前面讨论表明，两对易力学量98考虑积分：（再利用力学量算符的厄米性）考虑积分：（再利用力学量算符的厄米性）99由代数中二次定理知，这个不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：

（称为测不准关系）

如果不等于零，则和的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数，这意味着和

不能同时测定。

由测不准关系看出：若两个力学量算符和不对易，则一般说来与不能同时为零，即

和

不能同时测定（但注意的特殊态可能是例外），或者说它们不能有共同本征态。反之，若两个厄米算符和对易，则可以找出这样的态，使和同时满足，即可以找出它们的共同本征态。

由代数中二次定理知，这个不等式成立的条件是系数必须满足下列关100故有②坐标和动量的测不准关系

或写成简记为

表明：和不能同时为零，坐标的均方差越小，则与它共轭的动量

的均方偏差越大，亦就是说，坐标愈测量准，动量就愈测不准。故有②坐标和动量的测不准关系或写成简记为表明：101③角动量的测不准关系当粒子处在的本征态时:③角动量的测不准关系当粒子处在的本征态时:1023.1一维谐振子处在基态：

求：

(1)势能的平均值；

(2)动能的平均值；

(3)动量的几率分布函数。解：

(1)

第三章习题3.1一维谐振子处在基态：103(2)

(2)104

(3)

动量几率分布函数：(3)1053.2氢原子处在基态：

求：(1)r的平均值；(2)势能的平均值；

(3)最可几半径；(4)动能的平均值；

(5)动量的几率分布函数。解:(1)

3.2氢原子处在基态：

求：(1)r的平均值；(2)势能106