函数的凸凹性 讲义-高三数学二轮专题复习

新教材中函数的凸凹性【背景】在人教A版必修1必修1第101页复习参考题3第8题如下：证明：(1)若，则；(2)若则.这道题的深刻背景为函数的凸凹性，在这一讲中将介绍函数的凸凹性的定义、判定、性质及其推论等【知识精讲】一、初识凸凹性【下凸性】【下凸性】设函数在区间上有定义，如果对于任意和都有，则说函数在上为凹函数(或称为下凸函数)(下凸函数图象如图(1)所示).(图1：下凸函数)代数解释：下凸函数自变量的平均数的函数值不大于函数值的平均数几何解释：下凸函数的图象上弧线位于线段的下方；【上凸性】【上凸性】如果，则说函数在上为凸函数(或称为上凸函数)(上凸函数图象如图(2)所示).(图2：上凸函数)代数解释：上凸函数自变量的平均数的函数值不小于函数值的平均数几何解释：上凸函数的图象上弧线位于线段的上方；特别地，当时，对于下凸函数有：；对于上凸函数有：；二、凸凹性的判定1．曲线的凹凸定义和判定法图1图1从图1可以看出曲线弧ABC在区间内是向下凹入的，此时曲线弧ABC位于该弧上任一点切线的上方；曲线弧CDE在区间内是向上凸起的，此时曲线弧CDE位于该弧上任一点切线的下方．关于曲线的弯曲方向，我们给出下面的定义：【【定义1】如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的．例如，图1中曲线弧ABC在区间内是凹的，曲线弧CDE在区间内是凸的．由图1还可以看出，对于凹的曲线弧，切线的斜率随的增大而增大；对于凸的曲线弧，切线的斜率随的增大而减小．由于切线的斜率就是函数的导数，因此凹的曲线弧，导数是单调增加的，而凸的曲线弧，导数是单调减少的．由此可见，曲线的凹凸性可以用导数的单调性来判定．而的单调性又可以用它的导数，即的二阶导数的符号来判定，故曲线的凹凸性与的符号有关．由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理：【【定理1】设函数在内具有二阶导数．(1)如果在内，＞0，那么曲线在内是凹的；(2)如果在内，＜0，那么曲线在内是凸的．2．拐点的定义和求法【【定义2】连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点．【【定理2】(拐点存在的必要条件)若函数在处的二阶导数存在,且点为曲线的拐点,则我们知道由的符号可以判定曲线的凹凸．如果连续，那么当的符号由正变负或由负变正时，必定有一点使＝0．这样，点就是曲线的一个拐点．因此，如果在区间内具有二阶导数，我们就可以按下面的步骤来判定曲线的拐点:(1)确定函数的定义域；(2)求；令＝0，解出这个方程在区间内的实根；(3)对解出的每一个实根，考察在的左右两侧邻近的符号．如果在的左右两侧邻近的符号相反，那么点就是一个拐点，如果在的左右两侧邻近的符号相同，那么点就不是拐点．例例1求曲线的凹凸区间和拐点．【解析】(1)函数的定义域为；(2)；令，得；(3)列表考察的符号(表中“”表示曲线是凹的，“”表示曲线是凸的)：1-0+曲线拐点由上表可知，曲线在内是凸的，在内是凹的；曲线的拐点为．要注意的是，如果在点处的二阶导数不存在，那么点也可能是曲线的拐点．例如，函数在点处的二阶导数不存在，但是点是该函数的拐点(图2)．图2图2三、函数凸凹性的性质及推论下面介绍函数的凸凹性的性质：如果在上是上凸的，则在上是下凸的.函数的凸性可以通过图象或二阶导数来判断；多种变形推论：推广到三个变量(元)：若在区间内是下凸函数，则对任意，总有：若在区间内是上凸函数，则上述不等式符号反向.推广到个元：若在区间内是下凸函数，则对任意，总有：若在区间内是上凸函数，则上述不等式符号反向.对系数进行改变：若在区间内是下凸函数，则对任意，以及任意总有：若在区间内是上凸函数，则上述不等式符号反向.4.对系数进行变形：若在区间内是下凸函数，则对任意，以及任意，总有：若在区间内是上凸函数，则上述不等式符号反向.5.推广到元：若在区间内是下凸函数，则对任意，以及任意，总有：(其中，当且仅当时成立.)若在区间内是上凸函数，则上述不等式符号反向.6.对于凸函数有著名的(广义)琴生()不等式：设是区间上的下凸函数，则对一切，有当且仅当时成立.若在区间内是上凸函数，则上述不等式符号反向.【典例精讲】【例【例1】函数在上有定义，若对任意，有，则称在上具有性质.设在上具有性质，求证：对任意，有.【证明】【例【例2】(北京高考题)如图所示，是定义在上的四个函数，其中满足性质：“对中任意的和，任意恒成立”的只有()A．和 B． C．和 D．【答案】A.【解析】令时，符合条件的函数是上凸函数，从图象可得和满足.【例【例3】(湖北高考题)在这四个函数中，当时，使恒成立的函数个数是()(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个【答案】B【解析】对于函数，画出它的大致图象，函数是下凸函数，不符合条件：对于函数，画出它的大致图像，函数是上凸函数，符合条件；对于函数，画出它的大致图像，函数是下凸函数，不符合条件；对于函数，画出它的大致图象，函数在为上凸函数，在为下凸函数.不符合条件.【例【例4】下列四个函数：=1\*GB3①；=2\*GB3②，；=3\*GB3③；=4\*GB3④.其中，能使恒成立的函数是.

【答案】=1\*GB3①=3\*GB3③【解析】法1：(图象法)分别画出各个函数的大致图象.法2:利用二阶导数判断.【提升训练】若函数在区间上是上凸函数，那么在中，求的最大值.【解析】因为函数在区间上是上凸函数，则即，即,当且仅当时，即时，去等号.定义在上的函数满足：如果对任意，都有，则称函数是上的下凸函数.已知二次函数.