工具变量方法原理

#x=X—Xii则有x=X—Xii则有ii把(8-8)中的y代入(8-9)，

i则可以得到yxyiiyx2i8-9)yxy0=y…1yx2i把(8-8)中的y代入(8-9)，

i则可以得到yxyiiyx2i8-9)yxy0=y…1yx2iyx(0x+u)i1_ii-yx2

i=0yxui8-10)yxu.xu「E(t匸)=E(討—+yx2yx2iixu2―2+.•.+yx2ixu=E(亠)E(u)+E(

yx21i下面分三种情况讨论：1.x和U是独立的E(0)=0+E｛千Iyx金)E(u2)+ix+E(n)E(u)yx2ni8-11)xu■ii>-x2i因x和u相互独立，并且E(u)=0iiiyxu・•・E(幺一)=0

yx2i2.x与u小样本下相关，大样本下渐近无关ii小样本：E(xu)丰0ii所以E(Pi)弋，最小二乘法估计是有偏的。大样本：Plim(丄yxu)=0n*nii对式(8-10)两边取概率极限可有yxuPlim(0)=0+Plim=011yx2x2

i+Plim„1工x2ni8-12)因此，在假定piim(n工x2)丰0的情况下，有8-13)说明最小二乘估计式也具有一致性特性。3.因此，在假定piim(n工x2)丰0的情况下，有8-13)说明最小二乘估计式也具有一致性特性。3.x与u高度相关iiPlim(1Yxu)丰0n*nii讨论一般情况下回归模型(8-8)式y=0x+ui1ii(i=1,2,n)8-14)假设：:Var(x)=◎2，Var(u)=◎2ixiu法估计上式，可以得到：YxuPlim(0)=0+PlimpJ11Yx2iPlim1工xunii=0+—1Plim1工x2niPlim1工xunii=0+—1Plim1工x2ni8-15)Var(x)cx工(X-X)(U-U)工xu因为：cov(x,u)=p=ii=j代入上式即可。(X-X)2乙(U-U)2iixu可见，如果p很高，只有当是很小的情况下，(8-15)式的渐近误差才是可以忽略的。否可见，如果p很高，只有当x则，最小二乘估计式将存在着很大的偏误。第三节随机解释变量模型的处理如果模型中存在随机解释变量问题，则一般的随机解释变量与随机误差项之间是相关的，最小二乘估计量有偏且不一致，需要利用其他估计方法对模型参数进行估计。一、工具变量法工具变量(InstrumentVariable,IV)法就是当随机解释变量与随机误差项相关时，寻找一个与随机解释变量高度相关，但与随机误差项不相关的变量，用该变量替代模型中的随机解释变量，进

行模型的参数估计。我们称这一替代随机解释变量的变量为工具变量。（一）选择工具变量的要求作为工具变量，必须满足以下四个条件：第一，工具变量必须是有明确经济含义的外生变量；第二，工具变量与其替代的随机解释变量高度相关，而又与随机误差项不相关第三，工具变量与模型中的其他解释变量也不相关，以免出现多重共线性；第四，模型中的多个工具变量之间不相关。（二）工具变量的应用工具变量对随机解释变量的替代并不是“完全的”替代，即不是用工具变量代换模型中对应的随机解释变量，而是在最小二乘法的正规方程组中用工具变量对随机解释变量进行部分替代。对于一元线性回归模型（8-7）和（8-8）y=0x+ui1ii若x与u不相关，u满足所有的统计假定。应用OLS法，利用微分求极值的办法求出正规方程:「工xy=B工x28-16)J8-16)Y=B+BX=0x+u=0x+u两边,1i8-17)现采用另一种方法来导出OLS正规方程。我们以X（i=1,2,…,n）同乘以yii得n个式子，求和得:工xy=0工x2+工xuii1iii因为x与u不相关，从而可以略去工xu=0，就可以得OLS正规方程。ii如果x与u相关，则工xu丰0，不能用OLS法来估计参数。现在，我们要寻找一个变量Z,iiZ与x高度相关而与u无关，用z的离差乘以yx+u的两边，然后求和得到一个类似于olsii1ii正规方程的方程。在这里，Z就是工具变量。8-18)工zy=0工8-18)ii由于z与U无关，所以

得：1得：1nPlim工zu=0nsniZ'i=18-19)8-20)工zy=0工zx8-19)8-20)ii1ii上式称为拟正规方程，从而求得TOC\o"1-5"\h\z工zy工-Y)SL」=i」zx乙(Z-Z)(X-X)iiii0=Y-0X01因此，工具变量法的基本原理在于：用工具变量代替随机解释变量X,从而利用cov(Z,U)=0克服cov(X,U)丰0产生的对模型参数估计的不利影响，形成有效正规方程组并最终获得模型参数的估计量。从这一原理理解，OLS法也可以看作是一种工具变量法，即利用模型中的各解释变量作为他们自身的工具变量。容易证明，参数工具变量估计量是有偏的、一致的估计量。在实际经济分析中，对于工具变量的选择，一般的做法是：对于时间序列资料，如果被解释变量Y、随机解释变量X、随机误差项uL三者之间的关系有iicov(X,u)丰0,但cov(X,u)=0，cov(Y,u)=0，则可用X或Y作为乂的工具变量。iii-1ii-1ii-1i-1i(三)多元线性回归模型对于k元线性回归模型：Y=0+0X+0X+…+0X+u(8-21)i011i22ikkii其矩阵形式为：Y=XB+U(8-22)假设X和X为随机解释变量，且与随机误差项u高度相关，u满足最小二乘法的其他假定TOC\o"1-5"\h\z1ikiii条件，解释变量之间无多重共线性。寻找工具变量Z和Z。工具变量满足以下条件：他们是有实际经济意义的变量；与其对1iki应的随机解释变量(Z对应X，X对应Z)高度相关；与随机误差项u不相关；工具变量Z1i1ikikii1i和ZE,之间不相关；与£元线性回归模型中其他解释变量不相关。2）写出工具变量矩阵。Xit和X之外，5线性回归模型的工具变量矩阵为:1XX.•…X2）写出工具变量矩阵。Xit和X之外，5线性回归模型的工具变量矩阵为:1XX.•…X1121k11XXXX=1222k21XX...X1—1n2nkn除了kt8-23)将X矩阵中的X和X替换为Z和Z，其他外生变量和常数项均由其自身做工具变量，得Z1iki1iki矩阵：1ZZ1ZZ.•…Z1121k11ZZ……ZZ=1222k21ZZ...Z1n2nkn（3）求出工具变量估计量B，IV沿上述思路8-24)用Z'同乘Y二XB+U两边，由于Z和U无关,所以有plim-ZU=0n8-25)B'二(ZX)-iZY8-25)IVBiv是B的一致估计量。在EViews软件中，工具变量法是含在二阶段最小二乘法中，所以必须选择二阶段最小二乘法,在“工具变量”的提示后面，输入所有的工具变量名，即可实现工具变量法估计。四）工具变量法的缺陷从理论上分析，工具变量法可以得到渐近无偏、渐近有效的参数估计量，在解释变量为随机变量并与随机误差项相关的情况下，参数估计值达到了渐近一致。但这种方法在实际应用中会遇到一定困难，主要表现在三个方面：（1）在解释变量X与随机误差项u相关的情况下，要找寻一个既与X高度相关，又与u不相关的工作变量Z十分困难。再加上工具变量Z要具有明确的经济含义，这就更不容易。（2）在能找到符合要求的工具变量条件下，所选择的工具变量不同，模型参数估计值也不会一致，使参数估计出现随意性。工具变量选择得当，参数估计值的质量会高一点；如果工具变量选择不得当，参数估计值就会出现较大偏误。（3）由于使用了工具变量，有可能产生较高的标准差，不能保证参数估计值的渐近方差一定能达到最小。基于上述分析，到底选择何种工具变量，还需要通过实践掌握工具变量选择的技巧。二、含有随机解释变量的实例分析见教材及上机操作。本章小结解释变量是随机变量，叫做随机解释变量，产生随机解释变量的原