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文档简介
已知:抛物线y=-x^2+2x+8交X轴于A、B两点(A在B左侧),O是坐标原点。1、动点P在X轴上方的抛物线上(P不与A、B重合),D是OP中点,BD延长线交AP于E问:在P点运动过程中,PE:PA是否是定值?是,求出其值;不是,请说明理由。2、在第1问的条件下,是否存在点P,使△PDE的面积等于1?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由。解:1.y=-x^2+2x+8=-(x-4)(x+2)所以OA=2OB=4自己画图,由△面积等于底*高/2.可以知道PE:EA=S△PDE:S△ADE由于PD=OD,那么S△PDE=S△ODE所以PE:EA=S△ODE:S△ADE由图可知△ODE和△ADE同底,则S△ODE:S△ADE=两三角形高之比OG:AH显然△BAH和△BOG相似,那么OG:AH=OB:AB=2:3所以PE:EA=2:3那么PE:PA=PE:PE+AE=2:5为定值2.设P点为(X,Y)PE:PA=2:5所以S△PDE=(2/5)*S△PDAS△AOP=Y*2/2=YS△AOD=Y/2(因为D是OP中点)所以S△ADP=S△AOP-S△AOD=Y/2则S△PDE=(2/5)*(Y/2)=Y/5当S△PDE=1时Y=5对应X=-1或2则P点坐标为(-1,5)或(2,5)2.一个横截面为抛物线的隧道底部宽12米,高6米,如图5车辆双向通行。规定车辆必须在中心线右侧,距道路边缘2米这一范围内行驶,并保持车辆顶部与隧道有不少于米的空隙,你能否据这些要求,确定通过隧道车辆的高度限制?解:先建立直角坐标系设隧道横截面抛物线的解析式为y=ax平方+6当x=6时,y=0,a=1/6解析式是y=1/6x的平方+6当x=6-2=4时,y=3/10因为顶部与。。。。有1/3的空隙所以只能达到3米(这题是要你看清题目中的条件,函数最重要的就是定义域,一定要准确把握定义域的范围)3.平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A、B的坐标分别为(6,0),(6,8)。动点M、N分别从O、B同时出发,以每秒1个单位的速度运动。其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC,交AC于P,连结MP。已知动点运动了x秒。(1)P点的坐标为(,);(用含x的代数式表示)(2)试求⊿MPA面积的最大值,并求此时x的值。(3)请你探索:当x为何值时,⊿MPA是一个等腰三角形?你发现了几种情况?写出你的研究成果。(1)(6—x,4/3x);(2)设⊿MPA的面积为S,在⊿MPA中,MA=6—x,MA边上的高为x,其中,0≤x≤6.∴S=(6—x)×4/3x=(—x的平方+6x)=-2/3(x—3)的平方+6∴S的最大值为6,此时x=3.(3)延长NP交x轴于Q,则有PQ⊥OA①若MP=PA∵PQ⊥MA∴MQ=QA=x.∴3x=6,∴x=2;②若MP=MA,则MQ=6—2x,PQ=4/3x,PM=MA=6—x在Rt⊿PMQ中,∵PM2=MQ方+PQ方∴(6—x)的平方=(6—2x)的平方+(4/3x)的平方∴x=108/43③若PA=AM,∵PA=5/3x,AM=6—x∴5/3x=6—x∴x=9/4综上所述,x=2,或x=108/43,或x=9/4。【例1】平时同学们在跳长绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线。如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距离为4米,距地面均为1米,学生丙、丁分别站在距拿绳的甲的手水平距离1米、2.5米处,绳子甩到最高处时刚好通过他们的头顶,已知学生丙的身高是1.5米,则学生丁的身高为(如图建立的平面坐标系)()(A)1.6米(B)1.625米(C)1.63米(D)1.64米【解】设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c,由已知条件知,函数的图像过(-1,1)、(0,1.5)、(3,1)三点,将三点坐标代入,易求得其解析式为因为丁头顶的横坐标为1.5,代入其解析式可求得其纵坐标为1.625。故丁的身高为1.625米,答案为B。【例2】(东阳卷)如图,足球场上守门员在O处开出一高球,球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上),运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约4米高,球落地后又一次弹起。据实验测算,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半。⑴求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式。⑵足球第一次落
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