中考二次函数经典例题

已知：抛物线y=-x^2+2x+8交X轴于A、B两点（A在B左侧），O是坐标原点。1、动点P在X轴上方的抛物线上（P不与A、B重合），D是OP中点，BD延长线交AP于E问：在P点运动过程中，PE：PA是否是定值？是，求出其值；不是，请说明理由。2、在第1问的条件下，是否存在点P，使△PDE的面积等于1？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。解：1.y=-x^2+2x+8=-(x-4)(x+2)所以OA=2OB=4自己画图,由△面积等于底*高/2.可以知道PE:EA=S△PDE:S△ADE由于PD=OD,那么S△PDE=S△ODE所以PE:EA=S△ODE:S△ADE由图可知△ODE和△ADE同底,则S△ODE:S△ADE=两三角形高之比OG:AH显然△BAH和△BOG相似,那么OG:AH=OB:AB=2:3所以PE:EA=2:3那么PE：PA=PE:PE+AE=2:5为定值2.设P点为(X,Y)PE：PA=2:5所以S△PDE=(2/5)*S△PDAS△AOP=Y*2/2=YS△AOD=Y/2(因为D是OP中点)所以S△ADP=S△AOP-S△AOD=Y/2则S△PDE=(2/5)*(Y/2)=Y/5当S△PDE=1时Y=5对应X=-1或2则P点坐标为(-1,5)或(2,5)2.一个横截面为抛物线的隧道底部宽12米，高6米，如图5车辆双向通行。规定车辆必须在中心线右侧，距道路边缘2米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于米的空隙，你能否据这些要求，确定通过隧道车辆的高度限制？解：先建立直角坐标系设隧道横截面抛物线的解析式为y=ax平方+6当x=6时，y=0，a=1/6解析式是y=1/6x的平方+6当x=6-2=4时，y=3/10因为顶部与。。。。有1/3的空隙所以只能达到3米（这题是要你看清题目中的条件，函数最重要的就是定义域，一定要准确把握定义域的范围）3.平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于P，连结MP。已知动点运动了x秒。（1）P点的坐标为（，）；（用含x的代数式表示）（2）试求⊿MPA面积的最大值，并求此时x的值。（3）请你探索：当x为何值时，⊿MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果。（1）（6—x,4/3x）;(2)设⊿MPA的面积为S，在⊿MPA中，MA=6—x，MA边上的高为x，其中，0≤x≤6.∴S=（6—x）×4/3x=(—x的平方+6x)=-2/3(x—3)的平方+6∴S的最大值为6,此时x=3.(3)延长NP交x轴于Q，则有PQ⊥OA①若MP＝PA∵PQ⊥MA∴MQ＝QA＝x.∴3x=6,∴x=2;②若MP＝MA，则MQ＝6—2x，PQ=4/3x，PM＝MA＝6—x在Rt⊿PMQ中，∵PM2＝MQ方＋PQ方∴(6—x)的平方=(6—2x)的平方+(4/3x)的平方∴x=108/43③若PA＝AM，∵PA＝5/3x，AM＝6—x∴5/3x=6—x∴x=9/4综上所述，x=2，或x=108/43，或x=9/4。【例1】平时同学们在跳长绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线。如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距离为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距拿绳的甲的手水平距离1米、2.5米处，绳子甩到最高处时刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，则学生丁的身高为（如图建立的平面坐标系）()（A）1.6米（B）1.625米（C）1.63米（D）1.64米【解】设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，由已知条件知，函数的图像过(-1，1)、(0，1.5)、(3，1)三点，将三点坐标代入，易求得其解析式为因为丁头顶的横坐标为1.5，代入其解析式可求得其纵坐标为1.625。故丁的身高为1.625米，答案为B。【例2】（东阳卷）如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起。据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半。⑴求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式。⑵足球第一次落