历年高中数学联赛真题分类汇编07基本初等函数

1/3历年高中数学联赛真题分类汇编专题07基本初等函数第三缉1．【2018年甘肃预赛】关于x的方程lgax+1=lgx−1【答案】−1,−【解析】解法一原方程化为fx（1）f1（2）f1=0即（3）f2=0即a=−1因此a=−1（4）Δ=0，即a=3±23时，若a=3+2若a=3−23,x解法二ax+1=−x2+3x−2a=−fx在1,又f3=3−23,f22．【2018年吉林预赛】函数y=1【答案】（1，2）∪（4，5）【解析】由题得x2-6x+8>0x+3x−1故答案为：（1，2）∪（4，5）3．【2018年天津预赛】已知函数fx=sin【答案】π【解析】将y=π2−故答案为：π4．【2018年天津预赛】若a为正实数，且fx=log【答案】7【解析】由fx+f即ax+也即2−a2x由于2x+2x2+1在（0，+∞）上递增，所以fx在（0，+∞）上是增函数，结合fx方程fx=也即2两边平方，解得x=78.因此，不等式fx故答案为：75．【2018年河南预赛】已知函数fx=−12x2+x，若f【答案】0【解析】因为fx所以有kn≤12，得n≤1进而fm=−12m故填0．6．【2018年河北预赛】若x,y∈−π6，【答案】1【解析】把已知条件变形为x3+sinx−3a=0，(3y)3+sin3y+3a=0，函数f(t)=t37．【2018年四川预赛】设函数fx=x+9x在1,4上的最大值为【答案】4【解析】因为fx在1,3上单调递减，在3,4上单调递增，所以f又f1=10,f故M−m=10−6=4.故答案为：48．【2018年四川预赛】1−2log【答案】1【解析】令a=loga=从而aa+1+b所以，原式=故答案为：19．【2018年浙江预赛】已知a为正实数，且f(x)=1a−【答案】−【解析】由f(x)为奇函数可知1a−1ax由此得f(x)的值域为−110．【2018年浙江预赛】设f(x)=x+1+x【答案】3【解析】因为f(x)=由ff(x)+1=0得到f(x)=2，或由f(x)=−2，得一个解x=−1；由f(x)=0得两个解x=−3，11．【2018年浙江预赛】设x，y∈R满足x−6y−4x−y【答案】14−2【解析】由x−6y令x−y−2=y−3=所以14−21312．【2018年江西预赛】函数y=7−x【答案】4,42【解析】显然函数定义域为x∈−9,7，在此区间内由于7−x+9+x=16故有角α0,π2于是y4因为0≤α≤π2，则在此范围内22≤sin因此4≤y≤42．（当x=7时，ymin=4；当x=−1故答案为：4,413．【2018年山西预赛】函数y=1−【答案】0,【解析】由条件知x∈−令x=cosy=sin⇒2y=sin⇒1+y因为y≥0，所以，y∈0,14．【2018年湖南预赛】如图，A与P分别是单位圆O上的定点与动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，则f(x)=__________.【答案】f(x)=|sinxcosx|【解析】对角度x进行简单的分类x∈0,y=f(x)=利用函数的周期性得到f(x)=|sin故答案为：f(x)=|sinxcosx|15．【2018年湖南预赛】如图放置的边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动，即先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B为中心顺时针旋转，如此继续，设顶点C滚动时的轨迹方程为y=f(x)，则f(x)在【答案】f(x)=1+2(x−2016)−【解析】y=f(x)=1+2x−x由于f(x)是以4为周期的周期函数，所以当x∈[2017,2018x−504⋅4=x−2016∈[此时由周期性及①式的结果得到f(x)=f(x−504⋅4)=故答案为：f(x)=16．【2018年湖南预赛】设a,b∈R,a<b，函数g(x)=maxa≤t≤b|x+t|(x∈R)（其中max表示对于x∈R，当t∈[a,b]时表达式|x+t|【答案】b−a2【解析】对于每一个x∈R，函数f(t)=x+t是线性函数.因此，在任意有限闭区间上，函数|f(t)|的最大值与最小值均在区间端点处达到，从而有g(x)=由于函数y=|x+a|,y=|x+b|图像交点的横坐标c满足−(c+b)=c+a⇒c=−a+b得到g(x)=|x+a|,x≤c,min故答案为：b−a17．【2018年福建预赛】已知定义在R上的奇函数fx，它的图象关于直线x=2对称．当0<x≤2时，fx=x+1【答案】2【解析】由fx为奇函数，且其图象关于直线x=2知f−x=−fx所以fx+4fx又f3所以f−10018．【2018年福建预赛】已知整系数多项式fx=x5+【答案】24【解析】设x0=3于是x0所以23所以x0=3又x0所以gx整除fx．故所以f1由f1+f3所以fx19．【2018年福建预赛】已知函数fx满足：对任意实数x、y，都有fx+y=f【答案】43【解析】在fx+y=fxf0令x=−1，y=1，得又f−1⋅f1f1又f2f1所以f1故f120．【2018年全国】设f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上严格递减，且满足f(π)=1,f(2π)=2，则不等式组1≤x≤21≤f(x)≤2的解集为 【答案】[π−2,8−2π]【解析】由f（x）为偶函数及在[0，1]上严格递减知，f（x）在[-1，0]上严格递增，再结合f（x）以2为周期可知，[1，2]是f（x）的严格递增区间.注意到f(π−2)=f(π)=1,f(8−2π)=f(−2π)=f(2π)=2.所以1≤f(x)≤2⇔f(π−2)≤f(x)≤f(8−2π).而1<π−2<8−2π<2，故原不等式组成立当且仅当x∈[π−2,8−2π].21．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上严格递减，且满足f(π)=1，f(2π)=2，则不等式组1⩽x⩽21⩽f(x)⩽2的解集为 【答案】[π−2,8−2π]【解析】由f(x)为偶函数及在[0，1]上严格递减知，f(x)在[－1，0]上严格递增，再结合f(x)以2为周期可知，[1，2]是f(x)的严格递增区间注意到f(π−2)=f(π)=1,f(8−2π)=f(−2π)=f(2π)=2，所以1⩽f(x)⩽2⇔f(π−2)⩽f(x)⩽f(8−2π)，而1<π−2<8−2π<2，故原不等式组成立当且仅当x∈[π−2,8−2π].22．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[1，2]上严格递减，且满足f(π)=1,f(2π)=0，则不等式组0⩽x⩽10⩽f(x)⩽1的解集为 【答案】[2π−6,4−π]【解析】由f(x)为偶函数及在[1，2]上严格递减知，f(x)在[－2，－1]上严格递增，再结合f(x)以2为周期可知，[0，1]是f(x)的严格递增区间.注意到f(4−π)=f(π−4)=f(π)=1,f(2π−6)=f(2π)=0，所以0⩽f(x)⩽1⇔f(2π−6)⩽f(x)⩽f(4−π)，而0<2π−6<4−π<1，故原不等式组成立且当仅当x∈[2π−6,4−π].23．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x有f(x+3)⋅f(x−4)=−1.又当0≤x<7时，f(x)=log2(9−x)，则f(－100)的值为 【答案】−【解析】由条件知，f(x+14)=−1所以f(−100)=f(−100+14×7)=f(−2)=−124．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】若实数x、y满足x2+2cosy=1，则x−cos【答案】[−1,【解析】由于x2=1−2cos由cosy=1−x因此当x=－1时，x－cosy有最小值1(这时y可以取π2当x=3时，x－cosy有最大值3+1(这时y可以取由于12(x+1)2从而x－cosy的取值范围是[−1,325．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的函数，若f(x)+x2是奇函数，f(x)+2x是偶函数，则f(1)的值为 .【答案】−【解析】由条件知，f(1)+1=−f(−1)+(−1)2两式相加消去f(－1)，可得2f(1)+3=−12，即26．【2017年山西预赛】函数y=sin2x−3【答案】2【解析】提示:y=因为−2≤sin27．【2017年吉林预赛】若∀x∈−∞,−1,不等式m−m2【答案】−【解析】记a=m−m2当a≥0时,显然满足条件;当a<所以必有一负根,只需t=于是14a+12+128．【2017年山东预赛】已知px=ax3+bx2+cx