2023年中考数学常见几何模型全归纳(全国通用版)：专题07 角平分线的基本模型（一）全等类（原卷版）

专题07角平分线的重要模型（一）全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。模型1.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段等）【模型解读与图示】已知如图1，为的角平分线、不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在上截取，连结即可.即有≌，利用相关结论解决问题.图1图21．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．

（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．2．（2022·山东烟台·九年级期末）已知在中，满足，(1)【问题解决】如图1，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，求证：．(2)【问题拓展】如图2，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．(3)【猜想证明】如图3，当为的外角平分线时，在的延长线上取一点使得，连接，线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．3．（2022·浙江·九年级期中）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）（2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．（3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．4．（2022·北京九年级专题练习）在四边形中，是边的中点．（1）如图（1），若平分，，则线段、、的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）；（2）如图（2），平分，平分，若，则线段、、、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．模型2.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】已知如图1，为的角平分线、于点时，辅助线的作法大都为过点作即可.即有、≌等，利用相关结论解决问题.图1图2图3邻等对补模型：已知如图2，AP是∠CAB的角平分线，EP=DP辅助线：过点P作PG⊥AC、PF⊥AB结论：①（四点共圆）；②；③1．（2022·北京·中考真题）如图，在中，平分若则____．2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°3．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，分别平分，交于点．(1)求证：；(2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积．4．（2022·河北·九年级专题练习）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．模型3.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】已知如图1，为的角平分线，于点时，辅助线的作法大都为延长交于点即可。即可构造△PON≌△POM，有是等腰三角形、是三线等，利用相关结论解决问题.常见模型如图2。图1图21．（2022·安徽合肥·一模）如图，中，AD平分，E是BC中点，，，，则DE的值为（

）A．1 B．2 C． D．2．（2022·绵阳市·九年级期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF．（2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系．3．（2022·福建·厦门九年级期中）如图，在中，，，（1）如图1,平分交于点，为上一点，连接交于点．（i）若，求证：垂直平分；（ii）若,求证：．（2）如图2，平分交于点，，垂足在的延长线上，试判断线段和的数量关系，并说明理由．（3）如图3，为上一点，，，垂足为，与交于点，写出线段和的数量关系．（不要求写出过程）4．（2022·安徽黄山·九年级期中）如图，在中，，，是边上一动点，于．（1）如图（1），若平分时，①求的度数；②延长交的延长线于点，补全图形，探究与的数量关系，并证明你的结论；（2）如图（2），过点作于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想．课后专项训练1．（2022·江苏常州·一模）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点C作于E，则的值为（

）A． B．9 C．6 D．7．22．（2021·四川成都·二模）已知，如图，BC=DC，∠B+∠D=180°．连接AC，在AB，AC，AD上分别取点E，P，F，连接PE，PF．若AE=4，AF=6，△APE的面积为4，则△APF的面积是（

）A．2 B．4 C．6 D．83．（2022·福建·福州立志中学一模）如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点B，交CD于点F，H是BC边的中点，连接DH交BE于点G，现给出以下结论：①△ACD≌△FBD；②AE=CE；③△DGF为等腰三角形；④S四边形ADGE=S四边形GHCE．其中正确的有_________（写出所有正确结论序号）．4．（2020·重庆市松树桥中学校八年级月考）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为______cm2．5．（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级月考）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD＝4，则CE＝________．6．（2021·四川眉山市·八年级期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF．（2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系．7．（2022·北京西城·二模）在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如图1，当点E与点C重合时，AD与的位置关系是______，若，则CD的长为______；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示与之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．8．（2022·重庆·二模）已知：如图1，四边形ABCD中，，连接AC、BD，交于点E，．(1)求证：；(2)如图2，过点B作，交DC于点F，交AC于点G，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，若，求线段GF的长．9．（2022·陕西西安·一模）如图，△ABD和△BCE都是等边三角形，∠ABC＜105°，AE与DC交于点F．（1）求证：AE＝DC；（2）求∠BFE的度数；（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．10．（2021·安徽·九年级期末）如图，在中，，平分．（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的度数；（3）如图3，若，求证：．11．（2022·自贡市九年级月考）根据图片回答下列问题．(1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180