高中数学第1章空间向量与立体几何1.1.2空间向量的数量积运算课件新人教版选修1

1.1.2

空间向量的数量积运算课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练素养•目标定位目标素养1.了解空间向量的夹角的概念及表示方法.2.掌握空间向量的数量积的概念、性质、计算与运算律.3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.4.能用向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题.5.通过本节课学习,提升学生直观想象、数学运算的核心素养.知识概览课前·基础认知微拓展1.当<a,b>=0时,a与b共线同向;当<a,b>=π时,a与b共线反向;反之,若a∥b,则<a,b>=0或π.2.<a,-b>=<-a,b>=π-<a,b>,<-a,-b>=<a,b>.2.空间向量的数量积(1)定义:已知两个非零向量a,b,则

|a||b|cos<a,b>

叫做a,b的数量积,记作a·b.即a·b=

|a||b|cos<a,b>

.特别地,零向量与任意向量的数量积为

0

.

(2)性质:①a⊥b⇔

a·b=0

;

②a·a=|a||a|cos<a,a>=

|a|2

.

(3)运算律:①(λa)·b=λ(a·b),λ∈R;②a·b=b·a(交换律);③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).答案:A3.空间向量的投影(1)向量在向量上的投影向量如图,在空间,向量a向向量b投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=___________________,向量c称为向量a在向量b上的投影向量.

(2)向量在直线上的投影向量如图,类似于向量a向向量b投影,可以将向量a向直线l投影.微训练2已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则向量e1在向量e2上的投影向量为

.

课堂·重难突破一

空间向量的数量积运算典例剖析1.如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为1,E,F分别为AB,AD的中点,计算:规律总结求空间向量数量积的方法

(1)定义法:若向量的模和夹角已知或可求,可直接套用定义求解.

(2)分解法:

①将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式;

②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积;

③代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.学以致用1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,计算:二

利用数量积证明空间中的垂直关系典例剖析2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥平面B1AC.规律总结利用向量证明线线垂直,先将线线垂直转化为向量垂直,进而转化为向量的数量积为0,再根据已知条件,通过向量的线性运算及数量积运算,得到所求向量的数量积为0即可.学以致用2.正四面体OABC的棱长为2,点G是△OBC的重心,点M是线段AG的中点.三

利用数量积求向量的夹角与投影向量典例剖析

规律总结求两个非零向量夹角的两种途径

(1)转化求角:把空间向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解.

(2)利用向量的数量积求夹角的余弦值,方法步骤如下:学以致用3.如图,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求:四

利用数量积求线段的长度典例剖析

规律总结用向量求线段长度的方法

(1)将要求的线段长度转化为某一向量的模.

(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量.

(3)利用

,通过计算求出向量的模,进而得到所要求的线段长度.学以致用4.如图,在空间四边形OABC中,OA,OB,OC两两成60°角,且OA=OB=OC=2,E为OA的中点,F为BC的中点,求点E,F之间的距离.

随堂训练1.(多选题)对于向量a,b,c和实数λ,下列说法错误的是(

)A.若a·b=0,则a=0或b=0B.若λa=0,则λ=0或a=0C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若a·b=a·c,则b=c答案:ACD答案:B3.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于1,且彼此的夹角都是60°,则此平行六面体的对角线AC1的长为(

)答案:D5.已知向量a,b满足|a|=1