中国古代数学成就之三从隙积术“到”垛积术

6/16中国古代数学成就之三——从“隙积术”到“垛积术”贾宪三角形贾宪，北宋人，约在1023-1050年间完成《黄帝九章算经细草》，原书佚失，但其主要内容被杨辉（约13世纪中）著作所抄录，因能传世.杨辉《详解九章算法》（1261）载有“开方作法本源”图，明确指出这个图“出释锁算书，贾宪用此术”.这就是著名的“贾宪三角”，或称“杨辉三角”.《详解九章算法》同时录有贾宪进行高次幂开方的“增乘开方法”.对于这种数系规律，中亚的阿尔·卡西于1423年才发表.16世纪的德国的阿披亚努斯也研究过它.17世纪的法国帕斯卡也造过这种“三角形”，被西方称之为“帕斯卡三角形”对(a+b)n的展开式的理解(1)分离系数法和递推关系(a+b)0=1,（a+b≠0）(a+b)1=a+b,(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2,(a+b)3=(a+b)(a2+2ab+b2)=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)4=(a+b)(a3+3a2b+3ab2+b3)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,(a+b)5=(a+b)(a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4)=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5,(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+5ab5+b6,……15101051151010511615201561(2)整体认识(a+b)n=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)……(a+b)(a+b)=a+na=Cn0an+对高阶等差数列求和的贡献求前n个自然数的平方和1+4+9+16+25+⋯⋯+n2=？即解决四隅(yú)垛求和，这是最常见的特殊数列求和问题.例果子以垛，下方十四个，问计几何？术曰：下方加一，乘下方为平积.又加半为高，以乘下方为高积.如三而一.解：12+22+32+⋯⋯+142=1=14×5×14.5=1015.此法用公式表示为1+4+9+16+25+⋯⋯+n2=13n(n+1)(n+12)1.杨辉的方法（作差，构造新数列）：an1，4.9.16,25,36,49,64,81,⋯⋯一次差3，5,7，9，11，13，15,17，⋯⋯（等差数列）二次差2，2,2，2，2，2，2,⋯⋯（常数列）杨辉发现：（1）原数列中的每一项，都可以用含1、3、2这三个数的算式来表示.例如：a4=16=9+7=(4+5)+(5+2)=(1+3)+(3+2)+(3+2)+2=1+3×3+3×2.a5=25=16+9=(1+3×3+3×2)+(7+2)=(1+3×3+3×2)+(5+2)+2=1+4×3+6×a6=36=25+11=1+5×3+10×2.（2）原数列中的第n+1项，比一次差数列的前n项和多1.例如：a4=16=（3+5+7）+1=15+1.a6=36=（3+5+7+9+11）+1=35+1.这时杨辉想到，如果构造一个首项为0，比原数列｛a｛bn｝0,1,5,14,30,55,91,140.204,⋯⋯｛an｝1，4.9.16,25,36,49,64一次差3，5,7，9，11，13，15,17，⋯⋯（等差数列）二次差2，2,2，2，2，2，2,⋯⋯（常数列）数列｛bb2=1=0+1=1×0+1×1,b3=5=1+4=(0+1)+(1+3)=1×0+2×1+1×3,b4=14=5+9=(1×0+2×1+1×3)+(1+2×3+2)=1×0+3×1+3×3+1×2,b5=30=14+16=(1×0+3×1+3×3+1×2)+(1×1+3×3+1×2)=1×0+4×1+6×3+4×2,b6=55=30+25=(1×0+4×1+6×3+4×2)+(1×1+4×3+6×2)=1×0+5×1+10×3+10×b7=91=55+36=(1×0+5×1+10×3+10×2)+(1×1+5×3+10×=1×0+6×1+15×3+20×2,b8=140=91+49=(1×0+6×1+15×3+20×2,)+(1×1+6×3+15×2,)=1×0+7×1+21×3+35×2,⋯⋯这时，杨辉发现当数列｛bn｝的各项用0、1、3、2分别表示时，bn+1项中0、1、3、2的系数，恰好是(a+b1+4+9+16+25+⋯⋯+n2=a1+a2+a3+a4+⋯⋯+an=bn+1=C=1×0=1=13n(即1+4+9+16+25+⋯+n2=练习用杨辉的方法证明三角垛公式：1+3+6+10+15+⋯⋯+nn+1证明：构造新数列｛b｛bn｝0,1,4,10,20,35,56,84.120,｛an｝1一次差2，3,4，5，6，7，8,9，⋯⋯（等差数列）二次差1，1,1，1，1，1，1,⋯⋯（常数列）1+3+6+10+15+⋯⋯+=a1+a2+a3+a4+⋯⋯+an=bn+1=C=1×0=16=13n(即1+3+6+10+15+⋯⋯+利用图形拼接的方法直观证明下面介绍的利用图形拼接的方法直观证明某些特殊数列的和，体现了我国古代数学家独特的思想方法和聪明才智。这是对世界数学发展的又一贡献.（1）关于1+4+9+16+25+⋯+n2=16n(n+1)(2为了理解下面的拼图方法的依据，我们先把公式做一下变形：1+4+9+16+25+⋯+n2=163(1+4+9+16+25+⋯+n2)=12n(n+1)(2n+1)=拼接的第一步：设n=6.各个层分别用不同的颜色表示.拼接的第二步：先从第n层(红色的)开始，每n个一横行，分别排成n个一行，再把第n-1层(蓝色的)每(n-1)个一横行，也分别排成(n-1)个一行，依次对应放在前面已经排列好的那一横行的下面（如图所示），这样顺次摆下去⋯，到第二层(白色的)，分成两行，每行2个摆上去，最后的顶层(黑色的)一个也对应摆上去.（图1）（图2）（图3）（图4）（图5）（图6）拼接的三步把图1至图6横排列的▲变成竖排列（如图7至12），并把斜上方的第一行▲的颜色变为黄色(第二、三步相当于构造了两个辅助数列).（图7）（图8）（图9）（图10）（图11）（图12）拼接的第四步把图7至图12中的黄色排成三角阵.得到12n(n+1)拼接的第五步分别把图7至图12中余下的▲，分别与图1至图6对应拼接,再把表示(n-1)2、(n-2)2、⋯、22、12的▲方阵（蓝、绿、橙、白、黑）分别插进去，得到n个n2,再加上原来剩下的n2(红色的方阵)，一共有(n+1)个n2.这样就证明了3(1+4+9+16+25+⋯+n2)=n+1n即1+4+9+16+25+⋯+n2=16（2）关于1+3+6+10+15+⋯⋯+nn+12为了理解下面的拼图方法的依据，我们先把公式做一下变形：3(1+3+6+10+15+⋯⋯+n拼接的第一步：设n=6.各个层分别用绿色的组成三角阵来表示拼接的第二步：我们再构造与原数列相同两个辅助数列分别列用红色和蓝色表示的该数列，并把对应的图形对接成平行四边形.（图1）（图2）（图3）（图4）（图5）（图6）拼接的第三步：先从第n个图(即图6)开始，每n个一横行，分别排成n个一行，再把第n-1个图(即图5)每(n-1)个一横行，也分别排成(n-1)个一行，依次对应放在前面已经排列好的那一横行的上面（如图所示），这样顺次摆下去⋯，空缺部分用原数列（绿色的）填补，得到表示（n+2）个三角阵（1+2+3+⋯+n）的八个图.这样就证明了3(1+3+6+10+15+⋯⋯+n=即1+3+6+10+15+⋯⋯+nn+1递推叠加法递推叠加法是利用(k+1)n的展开式，构造数列求和.利用这种方法，可以依次求出自然数的平方和、立方和、四次方和、五次方和、⋯⋯，这是现在普遍采用的方法.证明：1+4+9+16+25+⋯+n2=16由(k+1)3=k3+3k2+3k+1,令k=1、2、3、4、……、n,得到n个等式：2345……n(n+1)把这n个等式相加，得(n+1)3=1+3(12+22+32+42+…+n2)+3(1+2+3+4+…+n)+n3(12+22+32+42+…+n2)=(n+1)3-3×n(n+1)=n+122(n+1)12+22+32+42+…+n2=n(n+1)(2想一想：利用(k+1)4=k4+4k3+6k2+4k+1,令k=1、2、3、4、……、n,把得到n个等式相加，如何得到13+23+33+43+…+n3=n(n+1)22.三、沈括的隙积术我国宋代科学家沈括（1031—1095）在他的巨作《梦溪笔谈》卷18第四条中写到：算术求积尺之法，如刍甍(méng)、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马之类，物形备矣，独未有隙积一术.堑堵鳖臑阳马冥谷方锥和方亭刍甍和刍童古法：凡算方积之物，有立方，谓六幕皆方者，其法再自乘则得之.有堑堵，谓如土墙者，两边杀，两头齐.其法并上下广折半以为之广，以直高乘之.又以直高为股，以上广减下广，余者半之为勾，勾股求弦，以为斜高.(即s=l上+l有刍童，谓如覆(fù)斗者，四面皆杀.其法倍上长加入下长，以上广乘之，倍下长加入上长，以下广乘之，并二位，以高乘之，六而一.即V=hA现在用分割的方法，证明如下：如图，设MN=a,NC=b,EF=A,FG=B,高=h,则IF=A-a2,FJ=B-b2V=abh+2×(12∙+4×(=abh+12ah(B-b)+1=1=1=hA即V=hA例应用举例：《九章算术》卷第五商功22题今有冥谷，上广二丈，袤（mao）七丈，下广八尺，袤（mao）四丈，深六丈五尺。问积几何.（答曰：五万二千尺.）解：v==65×70×2×20+8=65×（70×8+40×6问题：能否用前面求刍童的体积公式，计算下面球垒成的球垛？如图所示，有n层圆球，各层都紧靠呈矩形，从下层到上层的长和宽上的球，依次各减少一个，若底层长有A个球、宽有B个球，顶层长有a个球、宽有b个球，问共有多少个球？沈括曰：隙积者，谓积之有隙者，如累棋、层坛及酒家积罂之类。虽似覆斗，四面皆杀，缘有刻缺及虚隙之处，用刍童法求之，常失于数少。予思而得之：用刍童法为上位，下位别列，下广以上广减之，余者以高乘之，六而一，并入上位。设共有S个球，沈括给出的隙积术公式表示为：S=AB+(A-1)(B-1)+(A-2)(B-2)+……+(a+1)(b+1)+ab=n即s=n6下面给出这个公式的一个证明:由题意，A=a+(n-1),B=b+(n-1).S=nab+n(A-a)b2+n(B-b)a2+02+12+22+=nab+n(A-a)b2+=nab+n(Ab+Ba-2ab)2=n=n6=n6沈括曰：假令积罂(yīng)：最上行纵横各二罂，最下行各十二罂，行行相次。先以上二行相次，率至十二，当十一行也。以刍童法求之，倍上行长得四，并入下长得十六，以上广乘之，得之三十二，又倍下行长得二十四，并入上长，得二十六，以下广乘之，得三百一十二，并二位得三百四十四，以高乘之，得三千七百八十四。重列下广十二，以上广减之，余十，以高乘之，得一百一十，并入上位，得三千八百九十四。六而一，得六百四十九，此为罂数也。刍童求见实方之积，隙积求见合角不尽，益出羡(xiãn)积也。N1=2×2+12罂数N=N1沈括也是一位卓越的数学家，在数学的许多领域内都取得了辉煌的成就，其中《隙积术和会圆术》就是他的两大重要研究成果。会圆术是计算圆弧的弦、矢（弧的高）与孤长间数量关系的数学公式.如图，设CD=h，AO=BO=r，则弦AB=2r2-(r-h)2.在我国数学史上，沈括第一个利用弦、矢求出了孤长的近似值.这一公式为元代郭守敬创制《授时历》提供了直接的数学依据.隙积术是用来计算诸如累棋、层坛、积罂（堆砌的酒坛子）一类堆垛物体的体积公式，它发展了自《九章算术》以来关于等差级数的研究，成为中国研究高阶等差级数的开端，而且这种研究一直延续到十九世纪。“创始之功，断推沈氏”即沈括的研究开了中国垛积术研究的先河。南宋时期的数学家杨辉发展了这一成果，创造了垛积术公式。在他的《详解九章算法》（1261年）和元朝的朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）中又给出许多新的级数和公式，这些结果统称为垛积术．垛积术是隙积术成果的发展．四、杨辉的垛积术杨辉在《详解九章算法》中，把的《九章算术》商功篇中方锥、方亭、刍甍、刍童、鳖臑等求体积的变通成垛积术(其中，他的高阶等差数列求和方法已经在前面介绍).四隅(yú)垛1+4+9+16+25+⋯⋯+n2=13方垛p2+(p+1)2+(p+2)2+⋯⋯+(n-1)2+n2=13刍甍垛P+2(p+1)+3(p+2)+4(p+3)+⋯⋯+=1刍童垛例长方形立体垛,上面长p个,宽q个,高n层，问：计几何?令a=p+(n-1),b=q+(n-1),则Pq+(p+1)(q+1)+(p+2)(q+2)+(p+3)(q+3)+⋯⋯+p+(n-1)q+(n-1)=16na2b+q+p2q+b三角垛例三角垛下广一面十二个，上尖，高十二个，问：计几何?术曰：下广加一，乘下广。平积，下广加二乘之，立高方积，如六而一。解：1+3+6+10+15+⋯⋯+=用公式表示为1+3+6+10+15+⋯⋯+即1+3+6+10+15+⋯⋯+四、朱世杰的垛积术朱世杰的《四元玉鉴》成书于1303年，共三卷，24门，288问.在卷中《菱草行段》、《如象招数》和卷下《果垛迭藏》门中，他主要研究三角垛、四角垛这两个基本的垛积系统以及由此产生的岚峰形垛系统.另外，书中记述的四元术——多元高次方程组列式及消元法，在欧洲到18-19世纪才进行研究.而招差术——高次内插法，在欧洲1670年以后才由格里高利、牛顿等提出.1.三角垛中的高次方程例今有三角垛果子一所，值钱一贯三百二十文，只云从上一个值钱二文，次下层层每个累贵一文，问底子每面几何？答曰：九个术曰：立天元一为每个底子，如积求之，得三万一千六百八十为益实十为从方，二十一为从上廉，一十四为下廉，三为从隅，三桀方开之，得每个底子，合问。解：三角垛自上而下，每边的果子数是：1，2，3，4，5，6，7，⋯，自上而下，每层的果子数是：1，3，6，10，15，21，28，,⋯，nn+1自上而下，各层每个果子值钱：2，3，4，5，6，7，8，⋯(n+1).三角果子垛价值Sn由下列级数表示Sn=2+9+24+50+90+147+224+⋯⋯+｛bn｝0，2，11，｛an｝2，9，24，50，90，7,15，26，40，57，⋯8，11，14，17，⋯3，3，3，⋯Sn=bn+1=Cn=2n+=1这是一个已知级数和，倒求n的数学问题.朱世杰利用他的”天元术”,解高次方程.令Sn=1320得：3n(n-9)(3n3+41n2+390n+3520)=0,n-9=0或3n3+41n2+390n+3520=0，（无正数根）得n=9. 检验，V9=2+9+24+50+90+147+224+324+450=1320..朱世杰研究的级数举例我们通过用现在的代数方法进行的证明，来体验当年我国古代数学家用“筹算”建立的算法体系的伟大成就，及进行计算、推理的艰辛.（1）岚峰形垛2+12+36+80+⋯+证明：ak=k2(k+1)=k3+k2，令k=1、2、3、4、⋯、n,得Sn=（13+23+33+⋯+n3）+(12+22+32+⋯+n2)=n(n+1)=1=112=112（2）三角落—形垛1×2×3+2×3×4+3×4×5+⋯+n证明：ak=k(k+1)(k+2)=k2(k+1)+2k2+2k，令k=1、2、3、4、⋯、n,得Sn=1=1=1=1=1（3）四角落—形垛1×2×3+2×3×5+3×4×7+⋯+n证明：ak=k(k+1)(2k+1)=2k2(k+1)+k2+k，令k=1、2、3、4、⋯、n,得S=2×=1=16n=12n（4）三角岚峰形垛6+48+180+480+⋯+证明：ak=k2(k+1)(k+2)=k3(k+1)+22(k+1)=k4+k3+2k2(k+1)，令k=1、2、3、4、⋯、n,得S=1+2×=1=1=1=1=1=120=1=1=（5）四角岚峰形垛6+60+252+720+⋯+=证明：ak=k2(k+1)(2k+1)=k2(k+1)(2k+4–3)=2k2(k+1)(k+2)–3k2(k+1)，令k=1、2、3、4、⋯、n,得Sn=2×-3×=1=120想一想，下面的关系式如何证明？（6）撒星更落—形垛1+5+15+55+70⋯+（7）三角撒星更落—形垛1+6+21+56+126+⋯+=1附：沈括的“会圆术”:履亩之法，方圆曲直尽矣，未有会圆之术