【高中数学】圆的标准方程（教学设计） 高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

.4.1圆的标准方程（教学设计）课时教学内容1.建立圆的标准方程；2.运用坐标法判断点与圆的位置关系；3.利用待定系数法及结合图形几何性质确定圆的标准方程.课时教学目标1.通过掌握圆的标准方程及其推导过程,发展学生直观想象、数学抽象和数学逻辑推理的学科素养.2.通过掌握点与圆的位置关系的判定方法，进一步发展学生利用坐标法解决问题的能力，加深对数形结合思想的理解.3.通过求圆的标准方程并应用,发展学生数学建模和数学运算的学科素养.教学重点、难点1.教学重点：圆的标准方程及其推导过程；2.教学难点：确定圆的标准方程.教学过程设计环节一创设情境，引入课题多边形和圆是平面几何中的两类基本图形．建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题．类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程．类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要素．问题1：在平面中，圆的定义是什么？如何用集合语言描述？我们知道，圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合．在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了．由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程．如图2.4-1，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，就是以下点的集合．【预设的答案】平面上，到定点的距离等于定长的点的集合，称为圆；其中，定点称为圆心，定长称为半径．设圆心为点，半径为，则圆就是以下点的集合：．【设计意图】开门见山，引出课题“圆”．这是完成圆的标准方程的数学抽象第一阶段，即完成对现实世界中图形的抽象，得到圆的图形，获得圆的基本概念，此时是从感性具体上升到理性思维的过程，并引导学生用符号化的集合语言表示圆．环节二观察分析，感知概念问题2：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？【预设的答案】设圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，则根据两点间的距离公式有，两边平方得到（1）显然，若点在圆上，则点的坐标就满足方程(1)；反过来，若点的坐标满足方程(1)，就说明点与圆心间的距离为，点就在圆上．如此，我们就可以通过方程(1)，在平面直角坐标系中确定一个圆．环节三抽象概括，形成概念问题3：圆的特征是什么？通过哪些要素刻画圆？由上述过程可知，若点在上，点的坐标就满足方程（1）；反过来，若点的坐标满足方程（1），就说明点与圆心间的距离为，点就在上．这时，我们把方程（1）称为圆心为，半径为的圆的标准方程(standardequationofcircle)．【预设的答案】圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，通过圆心和半径这两个要素来刻画圆．所以，在平面直角坐标系中，确定一个圆的方程，核心就是确定它的圆心坐标以及半径大小．我们把方程(1)称为圆心为，半径为的圆的标准方程．【设计意图】问题2和问题3是完成圆的标准方程的数学抽象第二阶段．第二阶段是基于逻辑的抽象，通过问题2和问题3，引导学生用符号化的语言表示圆的标准方程，从理性具体上升为理性一般的思维过程．这两个阶段同时也是学生完成直观想象的过程．环节四辨析理解深化概念问题4：例1求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上．分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上．解：圆心为，半径为5的圆的标准方程是把点的坐标代入方程的左边，得，左右两边相等，点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上．把点的坐标代入方程的左边，得，左右两边不相等，点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上（图2.4-2）．【设计意图】例1（1）的设计有两个目的，一是加深学生对圆的方程结构特点的认识，二是已知圆的标准方程能获取圆心坐标和半径大小；方程②需要考虑是否为0，考察学生思维的严密性．（2）是课本上的例1，目的是引出（3），让学生学会判断点与圆的位置关系．这里有两种方法可以使用：一是根据点的坐标与圆的方程的关系判断（代数法），二是根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断（几何法）．最后引导学生发现几何法与代数法的内在联系，渗透数形结合思想．探究点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？问题5：例2的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程．的外接圆的圆心是的外心，即三边垂直平分线的交点．分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．显然巳知的三个点不在同一条直线上．只要确定了，，，圆的标准方程就确定了．解：设所求的方程是①因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是即观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去，，，得到关于，的二元一次方程组解此方程组，得代入，得．所以，的外接圆的标准方程是．环节五概念应用，巩固内化问题6：例3已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程．分析：设圆心的坐标为．由已知条件可知，，且．由此可求出圆心坐标和半径．另外，因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB的中点与圆心C的连线垂直于AB，由此可得到另一种解法．解法1：设圆心的坐标为．因为圆心在直线上，所以．因为，是圆上两点，所以．根据两点间距离公式，有，即．由①②可得，．所以圆心的坐标是．圆的半径．所以，所求圆的标准方程是．解法2：如图2.4-3，设线段的中点为．由，两点的坐标为，，可得点的坐标为，直线的斜率为．因此，线段的垂直平分线的方程是，即．由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组的解．解这个方程组，得所以圆心C的坐标是．圆的半径．所以，所求圆的标准方程是．环节六归纳总结,反思提升问题7：通过本节课，你学到了哪些知识？师生活动：教师引导学生积极思考，学生画出思维导图.设计意图：让学生梳理数学知识、感悟数学思想、体会数学研究方法。环节七 目标检测，作业布置完成教材：课本P85练习题1，2，3，4练习（第85页）1．写出下列圆的标准方程：（1）圆心为，半径是；（2）圆心为，且经过点．1．解析：（1）因为圆心为，半径是．所以圆的标准方程为．（2）因为圆心为，且经过点．所以圆的半径，所以圆的标准方程为．2．已知圆的标准方程是，借助计算工具计算，判断下列各点在圆上、圆外，还是在圆内．（1）；（2）；（3）．2．解析：将点，，的坐标代入圆的方程的左边可得：（1），在圆内；（2），在圆外；（3），在圆上．3．已知，两点，求以线段为直径的圆的标准方程，并判断点，，在圆上、圆内，还是在圆外．3．解析：因为线段为圆的直径，所以圆心为线段的中点，半径，已知