1-3章概率论课后习题及答案

1—3章概率论课后习题及答案第一章随机大事及其概率

§1.1-2随机试验、随机大事

1.多项选择题:

⑴以下命题正确的是（）

A.()()A

BABA=；B.,ABABA?=若则；

C.,ABBA??若则；

D.,ABABB?=若则.

⑵某同学做了三道题，以iA表示“第i题做对了的大事”)3,2,1(=i，则该生至少做对了两道题的大事可表示为（）

A.123123

123AAAAAAAAA；B.122331AAAAAA；

C.12

23

31AAAAAA；D.123123123123AAAAAAAAAAAA.

2.A、B、C为三个大事，说明下述运算关系的含义：⑴A；⑵BC；⑶ABC；⑷ABC；⑸ABC；⑹ABC.

3.一个工人生产了三个零件，以iA与iA)3,2,1(=i分别表示他生产的第i个零件为正品、次品的大事.试用iA与iA)3,2,1(=i表示以下大事：⑴全是正品；⑵至少有一个零件是次品；⑶恰有一个零件是次品；⑷至少有两个零件是次品.

§1.3-4大事的概率、古典概型

1.多项选择题:

⑴下列命题中,正确的是（）

A.

BBABA=；B.BABA=；

C.CBACBA=；

D.()?=)(BAAB.

⑵若大事A与B相容，则有（）A.()()()PABPAPB=+；B.()()()()PABPAPBPAB=+-；C.()1()()PA

BPAPB=--；D.()1()()PA

BPAPB=-.

⑶大事A与B相互对立的充要条件是（）A.()()()PABPAPB=；B.()0()1PABPAB==且；

C.ABA

B=?=Ω且；D.AB=?.

2.袋中有12只球，其中红球5只，白球4只，黑球3只.从中任取9只，求其中恰好有4只红球，3只白球，2只黑球的概率.

3.求寝室里的六个同学中至少有两个同学的生日恰好同在一个月的概率.

4.10把钥匙中有三把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率.

5.将三封信随机地放入标号为1、2、3、4的四个空邮筒中,求以下概率：(１)恰有三个邮筒各有一封信；（２）其次个邮筒恰有两封信；（３）恰好有一个邮筒有三封信．

6.将20个足球球队随机地分成两组，每组10个队，进行竞赛．求上一届分别为第一、二名的两个队被分在同一小组的概率．

§1.5条件概率

1.多项选择题:

⑴已知0)(>BP且?=21AA,则（）成立.

A.1(|)0PA

B≥；B.1212(()|)(|)(|)PAABPABAB=+；

C.12(|)0PAAB=；

D.12(|)1PAAB=.

⑵若0)(,0(>>BPAP）且)(|(APBAP=），则（）成立.

A.(|)()P

BAPB=；B.(|)()PABPA=；

C.,AB相容；

D.,AB不相容.

2.已知6

1

)|(.41)|(,31)(===BAPABPAP，求)(BAP

3.某种灯泡能用到3000小时的概率为0.8，能用到3500小时的概率为0.7.求一只已用到了3000小时还未坏的灯泡还可以再用500小时的概率.

4.两个箱子中装有同类型的零件，第一箱装有60只，其中15只一等品；其次箱装有40只，其中15只一等品.求在以下两种取法下恰好取到一只一等品的概率：⑴将两个箱子都打开，取出全部的零件混放在一堆，从中任取一只零件；⑵从两个箱子中任意挑出一个箱子，然后从该箱中随机地取出一只零件.

5.某市男性的色盲发病率为7%,女性的色盲发病率为0.5%.今有一人到医院求治色盲,求此人为女性的概率.(设该市性别结构为男:女=0.502:0.498)

6.袋中有a只黑球，b只白球，甲、乙、丙三人依次从袋中取出一只球(取后不放回)，分别求出他们各自取到白球的概率.

§1.6独立性

1.多项选择题：

⑴对于大事A与B，以下命题正确的是().

A.若

BA、互不相容,则BA、也互不相容；B.若BA、相容,则BA、也相容；

C.若BA、独立，则BA、也独立；

D.若BA、对立，则BA、也对立.

⑵若大事A与B独立，且0)(,0)(>>BPAP，则（）成立.

A.(|)()P

BAPB=；B.(|)()PABPA=；

C.BA、相容；

D.BA、不相容.

2.已知CBA、、相互独立，证明CBA、、也相互独立.

3.一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为81

80

，求此射手每次射击的命中率.

*4.设CBA、、为相互独立的大事，求证BAABBA-、、都与C独立.

5.甲、乙、丙三人同时各用一发子弹对目标进行射击，三人各自击中目标的概率分别是0.4、0.5、0.7.目标被击中一发而冒烟的概率为0.2，被击中两发而冒烟的概率为0.6，被击中三发则必定冒烟，求目标冒烟的概率.

6.甲、乙、丙三人抢答一道智力竞赛题，他们抢到答题权的概率分别为0.2、0.3、0.5；而他们能将题答对的概率则分别为0.9、0.4、0.4.现在这道题已经答对，问甲、乙、丙三人谁答对的可能性最大.

7.某学校五班级有两个班，一班50名同学，其中10名女生；二班30名同学，其中18名女生．在两班中任选一个班，然后从中先后选择两名同学，求（1）先选出的是女生的概率；（2）在已知先选出的是女生的条件下，后选出的也是女生的概率．

其次章一维随机变量及其分布

§2.1离散型随机变量及其概率分布

1．填空题：

⑴当c=时()/,(1,

,)PXkcNkN===是随机变量X的概率分布，当c=时()(1)/,(1,

,)PYkcNkN==-=是随机变量Y的概率分布；

⑵当a=时)0,,1,0(!

)(>===λλkka

kYPk

是随机变量Y的概率分布；

⑶进行重复的独立试验，并设每次试验胜利的概率都是0.6.以X表示直到试验获得胜利时所需要的试验次数，则X的分布律为

；

⑷某射手对某一目标进行射击，每次射击的命中率都是,p射中了就停止射击且至多只射击10次.以X表示射击的次数，则X的分布律为

；

⑸将一枚质量匀称的硬币独立地抛掷n次，以X表示此n次抛掷中落地后正面对上的

次数，则X的分布律为.2．设在15只同类型的零件中有2只是次品，从中取3次，每次任取1只，以X表示取出的3只中次品的只数.分别求出在⑴每次取出后记录是否为次品，再放回去；⑵取后不放回，两种情形下X的分布律.

3．一只袋子中装有大小、质量相同的6只球,其中3只球上各标有1个点,2只球上各标有2个点,1只球上标有3个点.从袋子中任取3只球，以X表示取出的3只球上点数的和.⑴求X的分布律；⑵求概率(46),(46),(46),(46)PXPXPXPX?=?

的泊松分布，每位乘客在中途

下车的概率为(01),pp>???=+-yxeyxfyx.

⑴求)

|(|xyfXY；

⑵求)|(|yxfYX；⑶说明X与Y的独立性.

*5．

箱子中装有12只开关(其中2只是次品)，从中取两次，每次取一只，并定义随

机变量如下：0,1,X?=?

?若第一次取出的是正品若第一次取出的是次品

；0,1,Y?=??若其次次取出的是正品若其次次取出的是次品，试在放回抽样与不放回抽样的两种试验中，求关于X与Y的条件分布律，并说明X与Y的独立性.

*6．设随机变量),(YX的概率密度为,||,10

(,)0,

c

yxxfxy时,2

/2

()2y

Yfye-=0y<时,()0Yfy=.

5.提示：从证明)(xφ满意分布函数的性质入手证明

.

2-4

1.0.3,0.319,0.5649.

2.0,2.

3.1/3,1/18.

4.2.

5.5.33.64.

6.2231.

3.04,(,),0.5940,cFxy==??

其它.

4.2012.4(2),()0,Xxxxfx≤≤?-=??，其它201

2.4(34),()0,Yyyyyfy≤≤?-+=?

?

其它.5.???=,0,4),(yxf,),(其它Gyx∈???+=,0,48)(xxfX,05.0其它<≤-x???-=,

0,22)(yyfY

其它10<≤y.6.(1)(|)(1),0,1,

;,mm

nmnPYmXnCppnmn-===-=≤否则(|)0PYmXn===;

(2)(,)(1)/!,0,1,

;,mmnmnnPYmXnCppennmnλλ--===-=≤否则(|)0PYmXn===.

3-2

1.

4.⑴0y≥时|0

,(|)0

0,xXYxefxyx-≥?=?<?;⑵0x≥时|0,(|)00,yYXyefyxy-≥?=?<?;⑶X与Y独立.

5.⑴放回抽样

⑵不放回抽样

X的条件分布律与上相同，再结合联合分布律可以看出:放回抽样时独立，不放回抽样时不独立。

6.1c=;当10x-<<时，|1/2,||(|)0,YXxyx

fyx-<-?=??

其它;

当|

|1y<时，|1/(1||),1||

(|)0,XYyxyfxy--<<-?=?

?

其它.3-3

1.⑴(2|2)5/16,(3|0)1/5PXYPYX======；

；

3.5.(2)00,T

t≤?

00,Tt≤?7.(2)/2,02

()0,Uuufu-<<?=?

?

其它.8．0.5417.3-4

1.⑴C;⑵D.

2.⑴8/3，31/9，248/27，47/3；⑵-10，44.

3.

12/)1(,2/)1(2-+nn