历年高中数学联赛真题分类汇编21高斯函数

1/3历年高中数学联赛真题分类汇编专题21高斯函数1．【2019年内蒙古预赛】方程x2−8[x]+7=0的解为 【答案】4−【解析】∵x≤[x]=x2+72．【2019年新疆预赛】记x为不超过实数x的最大整数｡若A=78+728+⋯+72019【答案】40【解析】注意到72k−1按定义72k−1所以对任意正整数k均有7=7⋅(49)从而A≡7⋅1010⋅(1−1)−1010≡40( 3．【2018年山东预赛】函数fx=2sinx⋅【答案】−2,−1,1,2【解析】因为fx+2所以fx以2所以只需讨论x∈π4,易得，当x=π4时，fx取得最大值2；当x∈3π所以fx的值域为−2,−4．【2018年天津预赛】对于实数α，用α表示不超过α的最大整数，例如3=3，2【答案】1【解析】注意当x∈0,1时，log因此log2x为偶数当且仅当也即x∈这些区间的长度之和为12因此，x是幸运数的概率为13故答案为：15．【2018年河北预赛】规定：对任意x∈R，当且仅当n⩽x<n+1n∈N∗时，x【答案】x【解析】由已知得52⩽x⩽92，那么6．【2016年安徽预赛】记x表示不超过实数x的最大整数.则集合{x【答案】67【解析】设fx则fx+1当0≤x<1时，fx因此，fxS={6k,6k+1,6故S∩{1,27．【2016年湖北预赛】记[a]表示不超过实数a的最大整数.则方程x7【答案】104【解析】设x=8j+ℎj∈Z,ℎ∈代入题给方程得8j+ℎ当r=6，h=0时，x的值最大．综上，原方程的最大正整数解为56+8×6−0=104.8．【2016年北京预赛】记x表示不超过实数x的最大整数.设A=78+【答案】42【解析】因为72k−18、所以，对于任意的k∈Z7≡7−1则A≡1−1+1−1+⋯+1−19．【2019年北京预赛】设x表示不超过x的最大整数,则方程2x(A)4. (B)3. (C)2. (D)1.【答案】B【解析】因为方程2x−2[x]−1=0的根的个数等价于函数y=2x−1的图象与函数y=2x的图象的交点个数.在同一个平面直角坐标系中,分别画出函数10．【2018年北京预赛】已知x表示不超过x的最大整数，若x+0.1+x+0.2+A．11.5.B．10.5.C．9.5.D．8.5.【答案】A【解析】因为0<0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9所以，11<x<12，因为104=11×4+12×5，即x+0.1=x+0.5=由x+0.5=12可推知12≤x+0.5<13，即11.5≤x<12.5由x+0.9=12可推知12≤x+0.9<13，即11.1≤x<12.1所以，11.5≤x<12.5.因此x的最小值是11.5.选A.11．【2018年陕西预赛】已知数列an满足a1=1,an+1=n+1+aA．1B．2C．3D．2018【答案】B【解析】∵k=1∴k=112．【2018年陕西预赛】已知数列an满足a1=1,an+1=n+1+aA．1B．2C．3D．2018【答案】B【解析】∵k=1∴k=113．【2018年陕西预赛】已知数列an满足a1=1,an+1=n+1+aA．1B．2C．3D．2018【答案】B【解析】∵k=1∴k=114．【2017年贵州预赛】设x表示不超过实数x的最大整数,则方程2x−2x−(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【答案】C【解析】提示:因为方程2x−2x−分别画出函数y=2x故选C.15．【2017年湖南预赛】对任意正整数n与kk≤n,用fn,k表示不超过nk且与n互质的正整数的个数(其中x表示不超过x(A)11 (B)13 (C)14 (D)19【答案】C【解析】提示:由1003先去掉所有的偶数,还剩下17个奇数,再去掉其中5的倍数(共3个),于是所求为14.16．【2016年浙江预赛】记x表示不超过实数x的最大整数。若集合S=x,yx+y+A．52B．3C．9【答案】A【解析】（1）当0≤x+y<1时，x+y=0，则x−y（2）当1≤x+y<2时，x+y=1，则x−y（3）当−1≤x+y<0时，x+y=−1，则x−y作出满足上述条件的区域，知所求面积为5217．【2016年四川预赛】对任意正整数n与kk≤n，fn,k表示不超过A．l1B．13C．14D．19【答案】C【解析】由100318．【2016年湖南预赛】规定：对于x∈R，当且仅当n≤x<n+1(n∈Z+)时，[x]=n【答案】x【解析】由4[x]2−36[x]+45<0，得32<[x]<从而2≤x<8．故所求不等式的解集为x2≤x<819．【2016年江苏预赛】某台函数计算器上有一个显示屏和两个操作键．若按一下第一个操作键，则将原显示屏上的数变为x2（x（1）是否可以经过有限次操作，显示屏上出现整数2000？说明理由．（2）小于2000的整数中有多少个数可以经过有限次操作在显示屏上出现？【答案】（1）见解析；（2）233【解析】（1）不可能．将数化成二进制．则按第一个操作键表示将显示屏上的数的最后一位去掉；按第二个操作键表示将显示屏上的数后面加上01．当初始数为1时，经过以上两种操作后得到的数没有两个1相邻，而2000化成二进制为111110100002（2）若先进行第二种操作，后进行第一种操作，则相当于在原数后加一个0．故任意一个二