例说新课程理念下的数学探究教学概要

#例说新课程理念下的数学探究教学东山一中林辉清关键词：新课程 数学探究内容提要：数学探究是新高中数学课程中引入的一种新的学习方式， 是改变传统的教学模式，培养学生探究创新的能力的一条有效途径。 数学探究可以以课堂教学为载体通过在课堂教学中创设问题情境， 营造合作的氛围进行探究， 重新展示知识的形成、发展过程；也可以利用课外时间对实际生活和生产中的问题进行探究。1、数学探究的概念和要求数学探究的概念：数学探究即数学探究性课题学习，是指围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探究适当的数学结论或规律，给出解释或证明。《课标》要求：数学探究是新高中数学课程中引入的一种新的学习方式， 《课程标准》要求将数学探究贯穿于整个高中数学课程中， 改革传统的教学模式， 着眼于学生学习方式的改变，注重学生的学习过程和亲身体验。2、数学探究的开展2.1课堂上的数学探究2.1课堂上的数学探究高中学生的大多数学习时间在课堂，载体，选择教材中的知识点为探究课题，合作氛围进行探究， 重新展现知识的形成过程。理、公式、法则，让学生自己去发现、检验、论证，甚至推广，让学生亲身经历因此课堂教学应是数学探究学习的主要通过在课堂教学中创设问题情境， 营造探究内容可以选择某些定义、 定知识的形成过程。有些数学结论、 规律在教材没明确提出，握的或者说属于考试范畴的，需要老师在课堂上拓宽引申的，但又属于学生应该掌可作为探究性课题。知识的形成过程。有些数学结论、 规律在教材没明确提出，握的或者说属于考试范畴的，需要老师在课堂上拓宽引申的，但又属于学生应该掌可作为探究性课题。课例1课例1探究抛物线的标准方程IMFI与M,一个定点F,一条定直线IMFI与M,一个定点F,一条定直线IMFI与IMNI。我们开始操作，请大家IMNI保持相等，口出了M点的轨迹。l,定学生：不可能！因为双曲线的点到定点（焦点）距离大于它到定直线（相应准线）的距离教师：很好！我们将这条曲线叫抛物线,现在我们能不能给抛物线下个定义呢？学生：平面内，到定点的距离等于到定直线的距离的动点的轨迹叫抛物线教师：很好！类比椭圆和双曲线第二定义，这个定点叫抛物线的焦点， 这条定直线叫抛物线的准线， 同学们，刚才我们得出了抛物线的定义， 接下来干什么呢？学生：求出抛物线的方程，研究抛物线的几何性质教师：同学们回想一下，求曲线方程的步骤是什么？学生：□□□□□□□□□；□□□ x,y）表示曲线上任一点的坐标；③寻找动点满足的几何条件； ④化简方程。教师：很好！，求曲线方程的步骤，简单讲就是建系、设点、列式、化简这四个步骤。如何建立直角坐标系呢？前面我们接触过建立直角坐标系的问题，我们曾研究过，建立直角坐标系要遵循简单、和谐的原则，即使已知点的坐标、已知直线的方程表达简单化，要充分注意利用图形的对称性。下面请同学们讨论如何建立直角坐标系？（学生讨论）学生 1：过点 F作KF口1,垂足为 K,以直线KF为x轴，以 K□□□□□□□□面直角坐标系学生 2：我也这样选定 x轴,但我认为可以选 F为坐标原点学生3：□□□□□□□□□,□□ KF的中点也在抛物线上，考虑到数学的对□,□□□□□□□ KF的中点为坐标原点（老师在黑板上分别画出这三种坐标系）教师：以上三位同学的回答都很好, 都遵循了建立直角坐标系简单、 和谐的原则,那么, 选择哪个坐标系能使抛物线方程更加简洁呢？下面我们分组实践一下, 一组用第一种方法, 二组用第二种方法, 三组用第三种方法, 四组随便选择一种方□□□□,□□□□□□ F到准线1的距离为p（p为常数，p口0）（做完后,各小组推选一名代表,将结果写在黑板上）教师：同学们请看,哪种建系方法好？学生：第三种方法最好！师；□□□□□ 产二2px（p0）□□□□□□ x□□□□□□□□□□□□□A，焦点 F（p,0）,准线方程为 x=—p□□□□□□□ p□□□□□ 2 2焦点到准线的距离。 同学们, 通过刚才的不同坐标系下得出抛物线方程的体验你有什么体会？学生：不同的建系方法, 不仅计算结果不同, 而且对计算过程及计算结果的简洁性有一定影响, 所以, 在做题时应考虑建立恰当的坐标系, 平日要积累这方面的经验。评注： 在当前的高中数学课堂中, 教师舍不得在概念、 定义的发生发展过程中花时间, 认为这样太虚, 不如让学生多做几道题目实在, 因而概念教学常常用 “一个定义三项注意”的方式, 告诉定义的内容, 强调几个注意事项, 然后就讲例题,做练习。实践表明这样做得不偿失。 《课程标准》要求教师在课堂教学中应设法激发学生的积极性和主动性, 要求教师向学生提供充分从事数学活动的机会, 帮助他们在自主探究和合作学习交流中掌握基本的数学技能、 思想和方法, 获取广泛的活动经验。 本节课对抛物线标准方程的得出, 让学生充分动手动脑, 始终注

□□□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□□□□□□□□ □□□ □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 2 □□□□t=<1+x+ 口□□□ 1：口1 1口口口口口口口口口口 12=2+2J1-x2□□□ 0<J1—x2<1□□ 2<t2<4□□t□□□□□□ -2,-&]u[江2]□：□□□□□□□□□□□□ 1：口■口 t>0口■为 [72,2□：□□□ t>0□□ t□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□口口2：(口□2)□口口(<1+x)2+(<1-I)2=2,□□□□□□□□□0，”t=&cosa+走sina=2sin(a+：)□□□:<a+4<：，30，”t=&cosa+走sina=2sin(a+：)□□□:<a+4<：，3<Sin(Y)<1，□t□□□□□□ ”,2□:□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ -1<x<1□□□□□□□□□□□□口口2 ：口口2,□□□□□□x=cos0口口口TOC\o"1-5"\h\z——TT ，——TT 0 0t=<1+cos0+11-cos0=、；2cos20+%：2sin20=\；2(lcosI+1sinI)21 ^2□：□□□□□□□□□□□□□0 0□ 3：口 0e[0,兀]□□□xecos0e[-1,1]□□□ t=<'2(cos-+sin-)□□□2 2□ 2□□□, 「兀兀r□：□□□□□□ □□x=sin①口中e[——，一]口□□□□□□□□ □□□□□□22□□□□□□□□□□□□□□a<1+<1+x=u,<1—x=v□□口X1口u2+v2=2□□□□□□□□□□□□□u+v=tIu2+v2=20<u<立,0<v<2条□□□□□□□□ t□□□□□□□□□□u+v=t[□口 u2+v2=2(0<u<<2,0<v<、J2)□□□□□□ □t□□□□□□□□□□□□□□□□口教师：太好了！数形结合的方法是重要的数学方法，它开阔我们的思路，大家想一想还有其他方法吗？比如数列方法、向量方法？TOC\o"1-5"\h\z学生5：（方法四）变t的表达式为<1+x+%1—x=2x2,可知Ji+x,—,11-x2 2\o"CurrentDocument"一、.……、一.t■ t 12成等差数列。设<1+x=_-d,J1-x=一+d，消去x得2=一+2d2,12=4-4d2,2 2 2以下就好解了教师：学生5,根据你的表达式，你能得出t的取值范围［点,2］吗？学生5：由d2>0知—2=4-4d2<4，得t<2，但t>旌我无法得到教师：这仍然决定于d的取值范围，谁能得出d的取值范围？是否能从 与厂的取值范围考虑？学生6：老师，我想好了，由于\；irx与的最大值、最小值分别为、/2，0,可知-%■■,2<2d<\/2既-或<d<m，所以2=上+2d2<上+2xl,12>2从而有2 2 2 2 2、辽<t<2学生7：（方法五）：我用向量的方法解，设向量p=（1,1）,q=G./1+I,<1-7），两向量的夹角为P，贝11=pq=<1+1V（1+x）+（1-x）cosP=2cosP，可知t的最大值为2,但我无法求其最小值教师：谁能帮帮他？学生8：我觉得还应该从两向量的坐标非负入手，它们对应的点都在第一象限，用数形结合的方法可知，当点（\；一，。=工）位于坐标轴上时，cosP取最小值，从而t值取最小值。故令<1-x=0，既x=1,得t=<2,令<1+x=0,即x=-1,也得t=<2。教师：你们讲得很好。上述五种方法有一个共同特点,都是从函数式的结构特征出发,或变更形式,或巧妙换元,或数形结合,或构造向量,都是数学转化的应用。但对比五种方法,不难看出,方法一最为简洁,究其原因,仍是平方后的结构简洁的特点所致,因此,函数结构特征决定求解方法。评注：①本节课注意引导对数学思想方法的应用，如：数形结合、等价转换、换元等数学思想方法。在例题的深化中,充分发挥这些数学思想对解题途径的定向、联想和转化功能，体现了数学思想方法对解题的指导作用②引导学生从不同角度来观察问题、分析问题，培养学生思维的变通性、灵活性、发散性和创新能力，老师为学生搭建了一个自主学习的平台，学生通过交流，根据已有的知识，相互研究，共同提高。以上两例是纯数学问题的探究，当然，还可选择高中生实际生活密切相关的数学探究课题。比如：课例3： 探究酒杯中的解析几何问题1：张华同学家中有两种酒杯，一种酒杯的轴截面是等腰直角三角形，称之为直角酒杯，另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线，杯口宽4cm,杯深8cm,称之为抛物线酒杯。一次，张华在游戏中注意到一个现象，若将一些大小不等的玻璃球依次放进直角酒杯中,则任何玻璃球都不能触及酒杯的杯底,但若将这些玻璃球放进抛物线酒杯中,则有些小玻璃球能触及酒杯的杯底,张华想用所学的数学知识研究一下，当玻璃球的半径r多大时，玻璃球一定会触及酒杯的杯底，你能帮张华解决一下这个问题吗？问题2：张华在酒店里又见到了一种轴截面近似椭圆的椭圆酒杯,测量后得知杯口宽4cm，杯深9cm，中间最宽处距杯底5cm，，请你帮张华一下，如果将一个玻璃球放入杯中，玻璃球的半径r多大时，玻璃球一定触及这种椭圆酒杯的杯底？问题3：设想在张华家中的抛物线酒杯中，放入一根粗细均匀、长度为2的细棒，假设细棒的端点与酒杯之间的摩擦可以忽略不计，那么当细棒最后达到平衡状态时，细棒在酒杯中的位置如何？，如果细棒的长度为1，那么对于不同的l值，细棒的平衡状态有差异吗？问题4：在直角酒杯中和椭圆酒杯中各放入一根粗细均匀、长度为1的细棒，假设细棒的端点与酒杯壁之间的摩擦可以忽略不计，那么当细棒最后达到平衡时，细棒在酒杯中的位置如何？评注：选择这样的课题接近学生生活实际，定能激起学生的兴趣，不仅培养学生对问题深层次的认识，而且增进学生的反思意识和自控能力，提高学习效果。2.2课外的数学探究这种探究主要是利用课外的时间对某一数学问题进行探究,个人独立或小组合作地开展探究活动，用几周或几月完成。这种探究教师应为学生提供丰富的背景材料，帮助和引导学生提出探究课题，成立课题组，指导学生收集信息、分析

材料、探究结果，帮助学生完成探究报告或论文并进行交流。课例4 涂色问题探究（1）课题背景某城市在中心广场建造花圃，花圃为6个部份（如图2—1），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种，且相邻部分不能栽种同一种颜色的花，不同的栽种方法有多少种？图2—1（2）提出问题请同学生们到阅览室查找资料，或上网查询有关涂色问题（3）收集信息并分类处理查阅资料时教师应指导学生解决涂色问题的数学知识是排列组合，因此可以在目录或索引中查找排列组合的应用。学生用一周时间发现了很多涂色问题，最后归类，提出了以下问题：问题1：如图（如图2—2），某地区共有四个行政区域，画地图时要给四个行政区域涂上颜色加以区分，先给定五种颜色，相邻区域不能涂同种颜色，问有多少种不同的涂色方案。图2—2 问题2：如图（2—3）：两条对角线把矩形分为四部分，有5种不同颜色可用来涂色，相邻区域不能涂同种颜色，问有多少种不同的涂色方案。图2—3若区域作如下变化，结果如何？问题3：用5种不同颜色给图2—4中五块区域涂色，相邻区域不能涂同种颜色，共有多少种不同的涂色方案