离散型随机变数之机率分配课件

第五章離散型隨機變數及其常用的機率分配第五章15.1.1隨機變數的意義討論隨機實驗時，有時我們感興趣的，或許並不是確切的發生結果，因其結果所成的樣本空間較為抽象，真正關心的，可能是將這些確切結果經由一有意義的實數值函數轉換，進而改以函數值表示的事件。經實數值函數轉變後以數值表示的事件即稱為實數值事件(realvalueevent)，在實數裏有很多數學運算可應用，如加法、減法、積分、微分。例如觀察投擲兩枚骰子的實驗中，我們不在乎是（1,3）或（3,1）或（2,2）〔確切結果〕發生，對我們更有意義的，則是兩枚骰子總合〔函數〕為4〔函數值〕的事件。經一特定實數值函數，並以轉換後的函數值來表示事件，則此實數值函數即稱為隨機變數。5.1隨機變數5.1.1隨機變數的意義5.1隨機變數2一般而言以大寫英文字母來表示此函數，也就是隨機變數。而以小寫英文字母來表示函數值，也就是隨機變數可能值。如上述投擲兩枚骰子實驗，若定義隨機變數Ｙ〔函數〕：其面朝上點數總合。而其相對的可能值〔函數值〕Ｙ＝2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。並以｛Ｙ＝y｝來表示原樣本空間，經此函數轉變後的實數值事件。定義5.1.1

隨機變數（randomvariable）即是以樣本空間為定義域而值域為實數的實數值函數。5.1隨機變數(續)定義5.1.15.1隨機變數(續)3【例5.1】考慮投擲三枚硬幣實驗，定義隨機變數Ｙ：出現正面的次數。試著將每一樣本點所對應的函數值列出，並列出所有轉換後的實數值事件，所各自包含的樣本點。5.1隨機變數(續)【例5.1】考慮投擲三枚硬幣實驗，定義隨機變數Ｙ：出現正面的4解：上一章曾經提及，投擲三枚硬幣其樣本空間為：H：正面T：反面Ｓ＝｛HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT｝而隨機變數Ｙ定義為出現正面的次數，故其對應關係如本頁圖5-1所示。由此圖可知，隨機變數的可能值Ｙ＝0,1,2,3。也就是說，原樣本空間經由隨機變數而轉變成4個實數值事件。其各自包含的樣本點為｛Ｙ＝0｝＝｛TTT｝｛Ｙ＝1｝＝｛THT，TTH，HTT｝｛Ｙ＝2｝＝｛HHT，HTH，THH｝｛Ｙ＝3｝＝｛HHH｝5.1隨機變數(續)解：5.1隨機變數(續)55.1隨機變數(續)5.1隨機變數(續)65.1.2隨機變數的分類隨機變數可區分為兩大類：離散型隨機變數（discretetyperandomvariable）和連續型隨機變數（continuoustyperandomvariable）。當一隨機變數其可能值的個數為有限個（finite）或是可數的無限多（countablyinfinite）時，稱為離散型隨機變數。而若一隨機變數其可能值為不可數的無限多（uncountablyinfinite）時，此時稱為連續型隨機變數。下一例子將可幫助讀者進一步清楚其詳細的分類。5.1隨機變數(續)5.1.2隨機變數的分類5.1隨機變數(續)7【例5.3】1.定義隨機變數Ｘ：投擲一枚硬幣次，其出現正面的次數。則Ｘ的可能值為x＝0,1,2,3,…...〔有限個〕。Ｘ為離散型隨機變數。2.定義隨機變數Ｙ：一小時內某一路口通過之車輛個數。則Ｙ的可能值y＝0,1,2,3,……..〔可數的無限多〕。Ｙ為離散型隨機變數。3.定義隨機變數Ｔ：某一電視機之使用壽命。則Ｔ的可能值ｔ≧0〔不可數的無限多〕。Ｔ為連續型隨機變數。

5.1隨機變數(續)【例5.3】1.定義隨機變數Ｘ：投擲一枚硬幣次，其出現正面8定義5.2.1

一離散型隨機變數之機率分配（probabilitydistribution），即是以表格、圖表、或公式，將隨機變數所有可能值而成的事件之機率一一列出。定義5.2.2

一離散型隨機變數Ｙ之機率分配則有下列性質：.0≦≦1，對每一可能值。.＝15.2離散型隨機變數之機率分配定義5.2.1定義5.2.25.2離散型隨機變數之機率分配9【例5.4】台灣某一大學，企管系大二班。班上成績前五名中，有三名為男同學，二名為女同學。由於五名同學都十分優秀，老師想以公平之標準，隨機抽取二人擔任統計學助教。定義隨機變數Ｙ：抽取二人中，女同學之人數。試以表格、圖表、或公式列出隨機變數Ｙ之機率分配。5.2離散型隨機變數之機率分配(續)【例5.4】台灣某一大學，企管系大二班。班上成績前五名中，有10解：隨機變數Ｙ定義為抽取二人中，女同學之人數。顯而易見的，Ｙ可能值y＝0,1,2。欲求Ｙ之機率分配，必先將P(Ｙ＝0)，P(Ｙ＝1)，

P(Ｙ＝2)求出。由於是採隨機抽出，此實驗之所有樣本點，發生機率皆相同。是故我們試著以古典法，求算事件機率。在解題之前，先行介紹一組合符號或。此值＝＝代表著在個不同的個體中，隨機抽取個，其各種不同可能抽取結果之總數。故就本題而言，在五名學生中，抽取二名即有個各種可能結果。也就是此實驗之樣本空間有＝10個樣本點。5.2離散型隨機變數之機率分配(續)解：5.2離散型隨機變數之機率分配(續)115.2離散型隨機變數之機率分配(續)5.2離散型隨機變數之機率分配(續)125.2離散型隨機變數之機率分配(續)5.2離散型隨機變數之機率分配(續)135.2離散型隨機變數之機率分配(續)5.2離散型隨機變數之機率分配(續)14累積機率F(x)，我們又可將之稱為累積分配函數（cumulativedistributionfunction），簡稱c.d.f.。定義5.2.3一離散型隨機變數Ｙ之累積機率（cumulativeprobability）：F()＝P(Ｙ≦)=，意即將離散型隨機變數，由Y最小的可能值的機率，累加至Ｙ＝的機率為止之值。5.2離散型隨機變數之機率分配(續)累積機率F(x)，我們又可將之稱為累積分配函數（cumul155.3期望值及變異數5.3期望值及變異數165.3.1離散型隨機變數之期望值假設考慮投擲一公平骰子36次，進而出現之點數如下：2,1,2,4,5,65,3,1,6,6,33,6,4,1,1,54,5,3,6,6,36,2,1,4,6,13,3,5,6,1,6就以上資料36個數值，我們可計算其樣本平均數為再將這些資料稍加整理之後，可得如下表所示5.3期望值及變異數(續)5.3.1離散型隨機變數之期望值假設考慮投擲一公平骰子3617

經由上表所表示各可能值之次數分配，我們可以行另一方式，求算該樣本平均數：計算法則即是為(樣本平均數)＝Σ〔點數（可能值）×相對次數〕5.3期望值及變異數(續)經由上表所表示各可能值之次數分配，我們可以185.3期望值及變異數(續)5.3期望值及變異數(續)19【例5.6】考慮投擲三枚公平硬幣，定義隨機變數：三枚公平硬幣正面朝上之個數。試求隨機變數之期望值。解：

此隨機變數Ｙ之機率分配為：

根據期望值定義Ｅ[y]＝

5.3期望值及變異數(續)【例5.6】考慮投擲三枚公平硬幣，定義隨機變數：三枚公平硬幣205.3期望值及變異數(續)5.3期望值及變異數(續)215.3.2離散型隨機變數之變異數5.3期望值及變異數(續)5.3.2離散型隨機變數之變異數5.3期望值及變異數(續225.3.3期望值及變異數之基本定理5.3期望值及變異數(續)5.3.3期望值及變異數之基本定理5.3期望值及變異數(235.3期望值及變異數(續)5.3期望值及變異數(續)24【例5.10】再以例5.6為例，並利用定理5.5，求出隨機變數之變異數。5.3期望值及變異數(續)【例5.10】再以例5.6為例，並利用定理5.5，求出隨機變25在接下來幾小節中，將介紹幾個特殊且常見的機率分配。其中有：二項分配（binomialdistribution）

超幾何分配（hyper-geometricdistribution）

幾何分配（geometricdistribution）

負二項分配（negativebinomialdistribution）卜瓦松分配（Poissondistribution）隨機變數的機率分配本是透過此隨機變數所定義的函數關係，由原實驗樣本空間轉換而來。所以讀者學習這些機率分配時，若能清楚各原實驗之前提條件，並了解該隨機變數所定義的函數關係，如此必能收事半功倍之效。5.4二項分配及超幾何分配在接下來幾小節中，將介紹幾個特殊且常見的機率分配。其中有：265.4.1二項分配5.4二項分配及超幾何分配(續)5.4.1二項分配5.4二項分配及超幾何分配(續)275.4二項分配及超幾何分配(續)5.4二項分配及超幾何分配(續)285.4二項分配及超幾何分配(續)5.4二項分配及超幾何分配(續)295.4二項分配及超幾何分配(續)5.4二項分配及超幾何分配(續)305.4二項分配及超幾何分配(續)5.4二項分配及超幾何分配(續)315.4二項分配及超幾何分配(續)5.4二項分配及超幾何分配(續)325.4二項分配及超幾何分配(續)5.4二項分配及超幾何分配(續)335.4.2超幾何分配5.4二項分配及超幾何分配(續)5.4.2超幾何分配5.4二項分配及超幾何分配(續)345.4二項分配及超幾何分配(續)5.4二項分配及超幾何分配(續)355.4二項分配及超幾何分配(續)5.4二項分配及超幾何分配(續)36【例5.16】在一水塘池中，計有20隻魚，其中有15隻金魚，5隻吳郭魚。今從池中抽取2隻魚，並定義隨機變數Ｙ表示抽中吳郭魚隻數。試求出：(a)隨機變數之機率分配(b)期望值E[Y]，變異數V(Y)5.4二項分配及超幾何分配(續)【例5.16】在一水塘池中，計有20隻魚，其中有15隻金魚，37解：(a)隨機變數Ｙ表示抽中吳郭魚隻數。且一次抽取2隻，如此即可視為採不放回，故Y必為超幾何隨機變數。根據定義5.4.6

N＝20，r＝5，n＝2

P(Ｙ＝ｙ)＝，ｙ＝0,1,25.4二項分配及超幾何分配(續)解：5.4二項分配及超幾何分配(續)385.4二項分配及超幾何分配(續)5.4二項分配及超幾何分配(續)395.4二項分配及超幾何分配(續)5.4二項分配及超幾何分配(續)405.4二項分配及超幾何分配(續)5.4二項分配及超幾何分配(續)415.4.3二項分配與超幾何分配的關係

實務上很多抽樣檢驗，都是以一次抽取，也就是抽取不放回方式來進行。理論上我們應以超幾何分配來求算機率，不過在例5.13中我們曾經提及，當母體所含個數與抽取樣本個數相差很大時，此時雖採不放回方式，不過試驗間還是逼近“獨立”，故依舊以二項分配來估算，為什麼呢？玆以下例說明：5.4二項分配及超幾何分配(續)5.4.3二項分配與超幾何分配的關係實務上很多抽樣檢驗，42【例5.18】科學園區某一工廠，元月份共出產產品1000件，可惜此批產品中有100件為不良品。令隨機變數Y表示抽取5件中，不良品個數。則分別以(a)超幾何分配(b)二項分配，求算機率並比較差異!解：(a)採超幾何分配求算，N＝1000，r＝100，n＝5P(Ｙ＝y)＝，y＝0,1,2,3,4,5

5.4二項分配及超幾何分配(續)【例5.18】科學園區某一工廠，元月份共出產產品1000件，435.4二項分配及超幾何分配(續)5.4二項分配及超幾何分配(續)44由上可知，當N，n差距很大時，分別用二項分配及超幾何分配求算的機率值非常接近，可是求算過程中，經由超幾何分配可比起二項分配計算繁雜的多。所以當母體所含物體個數與抽取樣本個數差距很大時，以二項分配估算b（n；p＝n/N）顯得容易的多，且又逼近超幾何分配求算值。5.4二項分配及超幾何分配(續)由上可知，當N，n差距很大時，分別用二項分配及超幾何分配求算455.4二項分配及超幾何分配(續)5.4二項分配及超幾何分配(續)465.5.1幾何分配考慮一隨機實驗，其包含著連串的伯努利試驗：每一次試驗依舊只有“成功”(S)、“失敗”(F)兩種可能，各試驗彼此獨立，“成功”的機率固定為。跟二項分配的實驗前提限制，幾乎相同，唯一不同的是，此時我們定義一新的隨機變數Ｙ為直到第一次“成功”(S)出現，所已執行試驗之總次數。由於此定義方式，使得不再像二項實驗中，確切包含著個伯努利試驗。相對的，在此實驗中可能包含著1個、2個，甚至於無限個伯努利試驗。我們稱此隨機變數Y為幾何隨機變數（geometricrandomvariable）。5.5幾何分配及負二項分配5.5.1幾何分配5.5幾何分配及負二項分配475.5幾何分配及負二項分配(續)5.5幾何分配及負二項分配(續)485.5幾何分配及負二項分配(續)5.5幾何分配及負二項分配(續)49考慮與幾何分配相同的實驗前提限制，而與幾何分配所不同的是，此時我們再改令一隨機變數Ｘ表示直到第r次“成功”出現，所已執行的試驗總次數。由於此定義方式，此實驗至少包含r個，甚至也包含了無限個伯努利試驗。此隨機變數跟幾何隨機變數相仿，都含有無限但可計數個可能值。此時我們稱此隨機變數Ｘ為負二項隨機變數(negativebinomialrandomvariable)。而當負二項隨機變數之“成功”次數r＝1時，其實就是幾何隨機變數之定義。

5.5幾何分配及負二項分配(續)考慮與幾何分配相同的實驗前提限制，而與幾何分配所不同的是，550負二項隨機變數Ｘ，其可能值x＝，r＋1，r＋2，……。若令Ｘ＝x，意指第r次“成功”(S)出現時，總試驗次數已達次，換句話說，第次試驗，也就是最後一次試驗，必發生“成功”(S)，而前面的x－1次試驗中，必發生了x－1次“成功”(S)，x－r次“失敗”(F)。若考慮其一排列方式：因“成功”(S)的機率為，且各試驗之間彼此獨立。如上述之排列方式，其發生的機率為其中5.5幾何分配及負二項分配(續)負二項隨機變數Ｘ，其可能值x＝，r＋1，r＋2，……。若令5515.5幾何分配及負二項分配(續)5.5幾何分配及負二項分配(續)525.5幾何分配及負二項分配(續)5.5幾何分配及負二項分配(續)535.5幾何分配及負二項分配(續)5.5幾何分配及負二項分配(續)545.6.1卜瓦松分配的意義考慮一隨機實驗，此實驗特色為，在某一特定區間內（一段時間、一段距離、一部分面積、體積），觀察某特定“稀少”事件發生的次數。所謂“稀少”，意指該事件發生的機率低，故發生的次數少，不過理論上而言，此稀少事件發生的次數，也可能至無限次，只不過其可能性非常的低。若令隨機變數Ｙ表示在此實驗中，此特定事件發生的次數。則此觀察過程，我們稱之為卜瓦松實驗（Poissonexperiment），隨機變數Ｙ稱為卜瓦松隨機變數（Poissonrandomvariable），其可能值y＝0,1,2,…..為無限但可數。5.6卜瓦松分配5.6.1卜瓦松分配的意義5.6卜瓦松分配55卜瓦松實驗有下列特性：1.在一單位區間，如單位時間或單位面積內，此特定稀少事件發生平均次數（λ），通常為已知且固定。2.此事件在單位區間內發生平均次數（λ），通常與區間大小（t）

成正比。3.不管此事件在該區間中何點發生，發生的機率必皆相同。4.假設此實驗可分割成極小的區間，每一區間至多可發生一件此特定事件(成功)，或是無該事件發生(失敗)。換句話說，每一小區間，可能發生結果只有兩類。5.事件在各小區間中發生與否，相互獨立。

5.6卜瓦松分配(續)卜瓦松實驗有下列特性：5.6卜瓦松分配(續)565.6卜瓦松分配(續)5.6卜瓦松分配(續)57【例5.23】台北市每天平均一小時內，發生一次搶案。若令Ｙ表示一小時內，發生搶案次數。假設Ｙ符合卜瓦松分配，試問：(a)一小時內，完全無搶案發生的機率。(b)一小時內，發生搶案超過兩次的機率。(c)兩小時內，恰巧只發生一次搶案的機率。

5.6卜瓦松分配(續)【例5.23】台北市每天平均一小時內，發生一次搶案。若令Ｙ表58解：(a)由題目可知，Ｙ符合卜瓦松分配，λ＝1

一小時內，完全無搶案發生，即Ｙ＝0

P(Ｙ＝0)＝

(b)一小時內，發生搶案超過兩次，即Ｙ＞2

P(Ｙ＞2)＝1－P(Ｙ＝0)－P(Ｙ＝1)－P(Ｙ＝2)5.6卜瓦松分配(續)解：5.6卜瓦松分配(續)59