弹性力学 第四章应力和应变的关系

应力和应变的关系第四章

前面分别从静力学和几何学的观点出发，得到了连续介质所共同满足的一些方程。显然，仅用这些方程还不能解决变形固体的平衡问题，因为还没有考虑应力应变的内在联系。本章就来建立弹性体的应力应变关系或物理方程或本构关系。将应力表达为应变的函数，则函数取决于材料的物理特性。在各向同性均匀的等截面材料单向拉伸或扭转时，应力应变关系可以用实验确定。但对于复杂应力状态，很难通过实验确定。§4－1应力和应变最一般的关系广义胡克定律对于线弹性小变形问题，展成泰勒级数，并略去二阶以上高量这里的等函数表示函数对应变分量的一阶偏导数在应变分量为0时的值；而为函数在应变分量为0时的值，根据无初始应力假设，为0。均匀材料，函数对应变的一阶偏导数为常数。这是因为对物体内各点来说，承受相同的应力，必产生相同的应变；反之，物体内各点有相同的应变，必承受同样的应力。经过上面的处理后，小变形情况就可简化为称为弹性常数广义胡克定律§4－2弹性体变形过程中的功和能分析物体内任一有限部分（其体积为V,表面积为S)的功能变化，根据热力学第一定律绝热过程——加载很快，变形完成时间极短，没有热交换由于物体内各点的速度在3个坐标方向的分量为,如果以表示物体变形前的密度，则体内所取出部分的动能为现在计算在dt时间内外力对物体内所取出部分做的功。体力：面力：dt时间内的位移体力的功：面力的功：高斯公式于是有dt时间内的外力的总功为两边除以dt，得注意到右边第一项恰好为将上式代入热力学第一定律得令单位体积的内能（即内能密度）为则而代入，得由于区域V可以任意选择，故上式成立的条件为若固定x,y,z的值，则得在dt时间内的增量为，即在上式两边乘以dt由于内能密度是状态的单值函数，必须是全微分，因此有以下的关系：这是绝热过程时以能量形式表示的本构关系。等温过程——加载缓慢，物体与外界有热交换，但温度不变。引入熵这样一个状态函数。它与系统热量的增加和绝对温度的比值有关。在物体变形的过程中，热量的增加可能来至两个方面：一是从周围环境输入和内部热源产生的热量，二是由于物体自身对变形和热流的阻力所消耗的功转化成的热量。分别以和表示过程中有这两部分热量引起的熵的增加，则总的增量为其中：称为供熵称为产熵T为绝对温度热力学第二定律:自然界中发生的一切过程都不会使产熵减少，即：。对于塑性变形等不可逆过程，弹性变形等可逆过程。因此在弹性变形的情况下，变为或对于等温过程将以上代入热力学第一定律得引入自由能密度其中为单位体积的熵，则而同样可得也可得等温情况下能量形式的本构关系。上面两种情况可统一地表示为张量表示为称为格林公式，它是通过热力学第一第二导出的，因此不受变形大小和材料性能的限制，也不需无初始应力的假设。其中称为应变能密度。绝热过程：，表示自然状态下的内能密度。等温过程：，表示自然状态下的自由能密度。齐次函数的欧拉定理

若满足,则称该函数为m次齐次函数。设次齐次函数有偏微商，则有为了研究线弹性情况下的本构关系，我们先介绍例如应力应变关系是线弹性的，则为应变分量的齐二次式？根据齐次函数的欧拉定理，可得所以张量表示弹性体应变能§4－3各向异性弹性体（一）极端各向异性弹性体理论具有36个弹性常数因此而所以同理极端各向异性弹性体（完全各向异性体）有21个弹性常数因此弹性对称面弹性体内部每一点都有这样一个平面，和该面对称的两个方向具有相同的弹性性质，该平面称为物体的弹性对称面，而垂直于弹性对称面的方向，称为物体的弹性主方向。取Oyz平面为这样的弹性对称面，Ox轴与此对称面垂直，因此Ox轴为弹性主方向——垂直于弹性对称面的方向。（二）具有一个弹性对称面的各向异性弹性体一个弹性对称面取Oyz平面为这样的弹性对称面，Ox轴与此对称面垂直，因此Ox轴为弹性主方向，Ox轴旋转180。，建立新的坐标系。新坐标系与的夹角方向余弦为根据应力张量和应变张量在坐标变换下的转换公式得到由于在坐标系下本构关系依然成立，可得将代入上式得整理可得根据各项异性本构方程比较可得所以具有一个弹性对称面的各向异性材料，弹性常数由21个减少为13个。两个弹性对称面9个弹性常数相互垂直的3个平面中有两个弹性对称面，第三个必为弹性对称面拉压与剪切变形不同平面内的剪切之间正应力仅与正应变有关；切应力仅与对应的切应变有关。没有耦合作用称为正交各向异性横向各向同性弹性体：在正交各向异性的基础上，如果物体内每一点都有一个弹性对称轴，也就是说，每一点都有一个各向同性平面，在这个平面内，沿各个方向具有相同的弹性。这种材料的独立弹性系数只有5个这种材料的独立弹性系数只有2个§4－4各向同性弹性体称为拉梅常数拉梅公式张量表示体积应变体积应力§4－4弹性常数的测定各向同性体应变能密度的表达式上述应力应变关系必须包括简单拉伸和纯剪切的特殊情况。因此我们借助于同一材料的简单拉伸与纯剪实验来测定弹性常数和。首先，在简单拉伸情况下，如果将试样拉伸方向作为x轴方向，则代入另一方面，根据简单拉伸