2019年襄阳四中、五中自主招生模拟试题四

2019年襄阳四中、五中自主招生模拟试题四1.襄阳四中、五中自主招生考试数学模拟试题四，考试时间为120分钟，试卷满分为150分。2.选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。3.第一题：函数自变量的取值范围是（▲）A.x≤1/2B.x<1/2C.x≥1/2D.x≤1/2且x≠-14.第二题：设a,b∈R，现给出下列五个条件：①a+b=2②a+b>2③a+b>-2④ab>1⑤(a-1)(a-1)>0，其中能推出：“a,b中至少有一个大于1”的条件有（▲）个。A.1B.2C.3D.5.第三题：已知一组数据a,b,c的平均数为5，方差为4，那么数据a-2,b-2,c-2的平均数和方差分别是（▲）A.3,2B.3,4C.5,2D.5,46.第四题：已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足方程a^2x^2-(c^2-a^2-b^2)x+b^2=0，则方程根的情况是（▲）A.有两相等实根B.有两相异实根C.无实根D.不能确定7.第五题：定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F(n)=3n+1；②当n为偶数时，F(n)=2k（其中k是使F(n)为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n=24，则：若n=13，则第2018次“F”运算的结果是（▲）A.1B.4C.2018D.420188.第六题：我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”.设该问题中的金杖由粗到细是均匀变化的，则其重量为（▲）A.6斤B.10斤C.12斤D.15斤9.第七题：已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周。设点A运动的时间为x，线段AP的长为y。表示y与x的函数关系的图象大致如右图所示，则该封闭图形可能是（▲）10.第八题：已知关于x的不等式xa<6的解也是不等式2x-5a3>a2-1的解，则a的取值范围是（▲）A.-6/11≤a＜B.a＞-66/11C.a≥-11D.以上都不正确11.第九题：如图，A、B两点在双曲线y=4/x上，F为双曲线上一点，且AF与BF的斜率相等，过A的直线交双曲线于C、D两点，过B的直线交双曲线于E、F两点，若AC=CE=3，则BE的长为（▲）上，分别经过点A、B向坐标轴作垂线段，已知阴影部分面积为1，则S1+S2=（▲）A.4B.5C.6D.710．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为40mm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径为（单位：mm）（▲）A．802B．4010C．2517D．100二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在答题卡相应的位置上。11．因式分解：16x3-x=____________.答案：x(4x+1)(4x-1)12．如果a，b，c是正数，且满足a+b+c=1，那么abc的最大值为___________。答案：1/2713．如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．答案：314．已知函数y=x2-4x+5在闭区间[0,m]上有最大值5，最小值1，则实数m的取值范围是_______。答案：[1,2]15．李老师告知高二文数周考的附加题只有6名同学A、B、C、D、E、F尝试做了，并且这6人中只有1人答对了。同学甲猜测：D或E答对了；同学乙猜测：C不可能答对；同学丙猜测：A，B，F当中必有1人答对了；同学丁猜测：D，E，F都不可能答对。若甲、乙、丙、丁中只有1人猜对，则此人是______________。答案：丁16．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”。根据“杨辉三角”请计算(a+b)10的展开式中第三项的系数为_______________。答案：45三、解答题：本大题共8小题，共70分。解答题应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内。17．（本小题满分6分）已知-1<a<1，化简：(a+1)2-4+(a-1)2/(aa+4)解答：将(a+1)2-4化简得到a2+2a-3，将(a-1)2化简得到a2-2a+1，将分母aa+4化简得到(a+2)(a-2)，则原式化简后为(a2+2a-3)+(a2-2a+1)/(a+2)(a-2)。分子可以化简为2(a-1)(a+3)，因此原式可以化简为2(a-1)(a+3)/(a+2)(a-2)。18．（本小题满分6分）为迎接“全民阅读日”系列活动，某校围绕学生日人均阅读时间这一问题，对八年级学生进行随机抽样调查。如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）本次共抽查了八年级学生多少人；解答：从图中可以看出，每个小正方形代表10人，共有6个小正方形，因此共抽查了6×10=60人。（2）学生日人均阅读时间的中位数是多少？解答：将所有数据从小到大排列，中间的数据即为中位数。从图中可以看出，共有30个数据，将其从小到大排列得到：15,16,18,20,21,22,23,24,25,25,26,26,27,28,28,28,28,29,29,29,30,30,31,31,32,33,34,35,36,38。中间的两个数据为29和29，因此中位数为29。（3）学生日人均阅读时间的众数是多少？解答：从图中可以看出，出现次数最多的数据为28，因此众数为28。（4）学生日人均阅读时间的平均数是多少？解答：从图中可以看出，共有30个数据，将其求和得到：15+16+18+20+21+22+23+24+25+25+26+26+27+28+28+28+28+29+29+29+30+30+31+31+32+33+34+35+36+38=841。因此平均数为841/30=28.03（保留两位小数）。19.(1)由于AC是切线，所以∠ACD=∠A，又∠ACD=∠DPC，所以∠DPC=∠A。又∠DPC=2∠D，所以∠D=2∠A。(2)设AC=x，由于∠D=2∠A，所以∠A=(180-∠D)/2=60°。又DE=AD=2，所以AE=2√3。由于三角形AEC为等腰三角形，所以CE=AE=2√3。又∠ACH=90°，所以AH=AB+BC=2+2√3。由于三角形AFH与三角形AEC相似，所以AH/AC=AF/AE，即(2+2√3)/x=AF/(2√3)，解得AF=x/2。又三角形ABF为等腰三角形，所以BF=AB=2。由余弦定理可得：$cosD=\frac{AD^2+BD^2-AB^2}{2\cdotAD\cdotBD}=\frac{(x+2)^2+4^2-2^2}{2\cdot(x+2)\cdot4}=\frac{x^2+8x+20}{16(x+2)}$又由题意可得cosD=3/5，解得x=10。所以AC=10，答案为10。20.(1)小圆板压在塑料板的边上，必须是掷在正方形内，且小圆板的圆心在正方形的边上，如图：因此，小圆板压在塑料板的边上的概率为：$P=\frac{\text{圆弧的长度}}{\text{正方形的周长}}=\frac{4\pi}{36+4\pi}\approx0.376$(2)小圆板压在塑料板顶点上，必须是掷在正方形内，且小圆板的圆心在正方形的顶点上，如图：因此，小圆板压在塑料板顶点上的概率为：$P=\frac{\text{正方形顶点的个数}}{\text{正方形的面积}}=\frac{4}{81}\approx0.0494$21.(1)由已知可得：当x=-2时，y=0，代入二次函数可得4a-2b+c=0；当x=0时，y=4，代入二次函数可得c=4；当x=8时，y=0，代入二次函数可得64a+8b+4=0。解得a=-1/8，b=3/2，c=4，因此二次函数的表达式为y=-x^2/8+3x/2+4。(2)设N的坐标为(x,0)，则△AMN与△ABC相似，设AM=kAC，则AN=k(AC-2)，MN=k×2√3，所以：$S_{\triangleAMN}=\frac{1}{2}\cdotAM\cdotMN=\frac{1}{2}\cdotkAC\cdotk\cdot2\sqrt{3}=k^2\sqrt{3}S_{\triangleABC}$又$S_{\triangleAMN}=\frac{1}{2}\cdotAN\cdotMN=\frac{1}{2}\cdotk(AC-2)\cdotk\cdot2\sqrt{3}=k^2\sqrt{3}(S_{\triangleABC}-S_{\triangleADE})$因此，$S_{\triangleABC}-S_{\triangleADE}=2S_{\triangleADE}$，即$S_{\triangleABC}=3S_{\triangleADE}$。又$S_{\triangleADE}=\frac{1}{2}\cdotDE\cdotAD=2$，所以$S_{\triangleABC}=6$。设N点的坐标为(x,0)，则AM=kAC=k(x+2)，由于△AMN与△ABC相似，所以AN=k(AC-2)=kx，由于MN∥