2021年中考数二次函数解答题题型全归纳-04 三角形存在性问题（教师版）

专题04三角形存在性

等腰三角形

【例1】如图1,在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是(3,0),并且。1=OC=3O3,动

点P在过A,B,C三点的抛物线上，

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线上是否存在点P,使得AACP是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出所

有符合条件的点尸的坐标；若不存在，说明理由；

OA=3，

•,OA=OC=3OB^

OC=3»OB=1,

.,.点C(0,3),点8(-1,0),

设抛物线的解析式为：y=a(x+l)(x—3),

3=—3ci，

:.a=-\，

抛物线解析式为：y=—(X+1)(元-3)=-X2+2x+3；

(2)・.・AACP是以AC为底的等腰三角形，

：.AP=CP,

又・.O4=OC,

:.OP是AC的垂直平分线，

­.OA=OC,ZA(9C=90°.OP是AC的垂直平分线,

.•.O尸平分NAOC，

二直线。尸解析式为y=x,

联立方程组可得：[y=X,,

[y=-x2+2x+3

1+7131-V13

x=-------x=-------

.2T2

心〒p,=-

，点P坐标为(印，印)或(哽，印)；

【变式训练1】如图，关于X的二次函数卜=/+云+。的图象与x轴交于点4(1,0)和点3,

与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.

(1)求二次函数的表达式；

(2)在y轴上是否存在一点P,使AP8C为等腰三角形？若存在.请求出点P的坐标；

(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在上向点5运动，另一个点N从

点£＞与点/同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点3

时，点“、N同时停止运动，问点A/、N运动到何处时，面积最大，试求出最大

面积.

【解答】解：(1)把A(l,0)和C(0,3)代入y=d+，x+c,

+/?+c=0

[c=3

解得：Z?=-4,c=3,

・••二次函数的表达式为：y=f-4x+3；

(2)令y=0,则f-4x+3=0,

解得：x=l或x=3,

8(3,0),

BC=3叵,

点P在y轴上，当APBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1,

①当CP=CB时，PC=3近,:.OP=OC+PC=3+3>y/2HS.OP=PC-OC=3y/2-3

..耳(0,3+3衣,丁(0,3-3衣;

②当3P=8c时，OP=OC=3,

•・・£(0,-3);

③当尸3=PC时，

.OC=OIi=3

此时尸与。重合，

.,.^(0,0)；

综上所述，点P的坐标为：(0,3+3夜)或(0,3-3人)或(0,-3)或(0,0)；

(3)如图2,设A运动时间为/,由AB=2,得AM=2-r,则0V=2r，

S&MNB=-x(2-t)x2t^-t2+2t=-(t-\)2+1,

即当”(2,0)、N(2,2)或(2,-2)时&MNB面积最大,最大面积是I

图2

【变式训练2】如图，抛物线y=-；x2+,nr+”与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,

抛物线的对称轴交x轴于点。，已知A(-1,O),C(0,2).

(1)求抛物线的表达式;

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使APCD是以S为腰的等腰三角形？如果存在,

直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由;

(3)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运

动到什么位置时，四边形尸的面积最大？求出四边形83斤的最大面积及此时E点的

+〃四+〃经过4(一1,0),C(0,2).

3

m=一

解得:2，

n=2

二抛物线的解析式为：y=--x2+-x+2：

22

1-Q

(2),/y=——x~+二x+2,

22

1,3、225

z2o

抛物线的对称轴是x=3.

2

3

.・.O£)=二.

2

vC(0,2),

.\OC=2.

在RtAOCD中，由勾股定理，得

CD=-.

2

・・•AC。?是以C。为腰的等腰上角形,

/.CPX—DR=DPy=CD.

作C/W_Lx对称轴于M,

.,.MR=MD=2,

,DP.=4.

(3)当y=0时，0=--X2+-X+2

22

Xj=­1,Xj=4,

.­.3(4,0).

设直线5c的解析式为y="+3，由图象，得

(2=b

[0=4k+b'

L=_l

解得；2-

b=2

.・.直线8c的解析式为：y=--x+2.

2

如图2,过点。作CW_LE产于M,设E(a,-4a+2),F(a,--a2+-a+2),

222

[31i

EF=——a1+二。+2—(——。+2)=——a2+2a(0<a<4).

2222

S四边形COM=5瓯口+S»CEF+S曲EF=5BD•℃+—EF-CM+—EF-BN，

=—x二X2H—u(—a~+2a)H—(4—tz)(—cr+2a),

222222

=-a2+4。+g(0vav4).

=-(a-2)2+葭

•_oibl-c_13

a=2H'J,3四边膨coBFfl勺面积最大=­，

【变式训练3】如图，已知抛物线y=-；f+/zr+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交

于点C,若已知8点的坐标为8(8,0).

(1)求抛物线的解析式及其对称轴方程；

(2)连接AC、BC,试判断AAOC与ACOB是否相似？并说明理由；

(3)M为抛物线上3c之间的一点，N为线段3c上的一点，若MN//)，轴，求的最

大值;

(4)在抛物线的对称轴上是否存在点。，使AACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件

的。点坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)•.•点8(8,0)在抛物线)，=-1*2+笈+4上,

4

.」x64+8b+4=0，

4

解得6=3，

2

二抛物线的解析式为＞=-*+3+4,

3

对称轴为直线x=--工厂=3；

2x(--)

(2)WOCS&COB.

理由如下：令y=0,贝1」一1'2+』1+4=0,

42

即W-6X-16=0,

解得x,=-2>x2=8>

.,.点A的坐标为(-2,0).

令x=O,则y=4,

.,.点C的坐标为(0,4),

:.OA=2.08=8,OC=4,

・・•一=—=2,ZAOC=ZCOB=90°,

OAOC

.-.AAOC^ACOB；

(3)设宜线3c的解析式为y=履+。,

则产+。=。，

[b=4

L=_l

解得21

%=4

/.直线BC的解析式为y=~x+4,

・.・MN7/y轴，

1.3/1/

=——x+—x+4+—%—4,

422

=—+2x，

4

2

=-1(%-4)+4,

.•.当x=4时，MN的值最大，最大值为4；

(4)由勾股定理得，AC=yj22+42=2^,

过点C作a>J_对称轴于。，则C£>=3,

①AC=CQ时，DQ=y]CQ2-CD2=7(2>/5)2-32=717.

点Q在点D的上方时，点Q到x轴的距离为4+JTT,

此时点2(3,4+JFT),

点。在点。的下方时，点。到x轴的距离为4-JTT,

此时点。式3,4-而)，

②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ=5,

C2=J32+42=5,

AQ=CQ,

此时，点Q3(3,0),

③当AC=A。时，:AC=26，点A到对称轴的距离为5,2更＜5,.•.这种情形不存在.

综上所述，点Q的坐标为(3,4+ViI)或(3,4-而)或(3,0)时，AAC。为等腰三角形时.

直角三角形

【例1】如图，直线y=x+2与抛物线y=+云+6(。#0)相交于A(；,g)和8(4,〃?)，点

产是线段AB上异于A、5的动点，过点P作尸c_Lx轴于点。，交抛物线于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)是否存在这样的P点，使线段尸C的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存

在，请说明理由；

(3)求APAC为直角三角形时点P的坐标.

【解答】解：(1),.•8(4,加)在直线丫=犬+2上，

・=4+2=6,

5(4,6),

15,

•/A(-,期、8(4,6)在抛物线y=以-+桁+6上,

-=(—)2a+-h+6q[a=2

，＜252，解得4a1，

6=16Q+4/7+6'

抛物线的解析式为y=2/—8x+6.

(2)设动点尸的坐标为(％〃+2),则C点的坐标为(几21-8〃+6),

/.PC=(n+2)-(2/-8〃+6),

=-2n2+9〃-4,

〜以49

=-2(/2----)H-----，

48

・・・PC>0,

.•・当〃=2时，线段PC最大且为丝.

48

(3)♦.・Afi4c为直角三角形，

i)若点尸为直角顶点，则NAPC=90。.

由题意易知，尸C//y轴，NAPC=45。，因此这种情形不存在；

H)若点A为直角顶点，则44c=90。.

如答图3—1,过点A(1,2)作AN_Lx轴于点N,则ON=J,AN=~.

2222

过点A作A〃_L直线相，交x轴于点/，则由题意易知，AAAW为等腰直角三角形,

:.MN=AN=-,,-.OM=ON+MN=-+-=3,

222

设直线AM的解析式为：y=kx+b,

则」如遇，解得广

的=0回3

二直线AM的解析式为：y=-x+3①

又抛物线的解析式为：y=2f-8x+6②

联立①②式，解得：x=3或x=L(与点A重合，舍去)

2

C(3,0),即点C、M点重合.

当x=3时，y=x+2=5,

1.1y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2,

••・抛物线的对称轴为直线x=2.

如答图3-2,作点A(g,-)关于对称轴x=2的对称力C,

则点C在抛物线上，且eg,-).

当x=?时，y=x+2=—■

22

•.•点6(3,5)、/>(1.段)均在线段Afi上，

综上所述，为直角三角形时，点尸的坐标为(3,5)或(7'，-11).

22

【变式训练1】如图，已知抛物线y=ox2+bx+c(axO)的对称轴为直线x=—l,且抛物线经

过A(1,O),C(0,3)两点，与x轴交于点B.

(1)若直线y=,nr+〃经过5、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴x=-l上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最

小，求出点M的坐标；

(3)设点P为抛物线的对称轴x=-l上的一个动点，求使ABPC为直角三角形的点P的坐

标.

2a

【解答】解：(1)依题意得：,a+〃+c=O,

c=3

a--\

解之得：，〃=-2,

。=3

抛物线解析式为y=-2x+3

•.•对称轴为x=-l,且抛物线经过A(1,O),

把8(-3,0)、C(0,3)分别代入直线y=w+〃,

得1〃=31

解之得：卜=：,

[n=3

直线y=+〃的解析式为y=x+3；

(2)设直线BC与对称轴x=-l的交点为M,则此时AM+MC的值最小.

把x=-1代入直线y=x+3得，y=2,

即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(-1,2)；

(3)设尸(T,t),

又•.•8(-3,0),C(0,3),

BC2=18,而=(-1+3)2+/=4+/,PC2=(-1)2+(z-3)2=z2-6r+10,

①若点B为直角顶点，贝IJ8C2+PB2即：i8+4+f2=*_6r+io解之得：/=-2；

②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+尸一6r+10=4+»解之得：f=4,

③若点P为直角顶点，则P/+pc2=8C2即：4+/+/一61+10=18解之得：t,=3+-,

2

‘2一2’

综上所述P的坐标为(-1,-2)或(-1,4)或(-1,巴叵)或(-1,三叵).

22

【变式训练2】如图，在矩形Q4BC中，点O为原点，点A的坐标为(0,8),点C的坐标为

(6,0).抛物线丫=-1%2+汝+。经过点人、。，与Afi交于点

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)点P为线段8c上一个动点(不与点C重合)，点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP,

连接PQ,设CP=〃z,ACPQ的面积为S.

①求S关于，”的函数表达式；

②当S最大时，在抛物线y=-1f+bx+c的对称轴/上，若存在点尸，使A£>FQ为直角三

角形，请直接写出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)将A、C两点坐标代入抛物线，得

c=8

<4，

——x36+6b+c=0

I9

解得：3，

c=8

抛物线的解析式为y=+：x+8；

(2)©v<M=8.OC=6,

AC=y/OA2+0C2=10,

过点。作QEL8C与£点，则sinNAC8=2£=4^=3,

QCAC5

.QE_3

"\0-m~51

3

/.(2E=-(10-/n),

ii33

/.S=—»CP»QE=—-ni)=--m2+3〃z;

i]33315

②•「S=一・CP・QE=—/nx—(10—m)=--nV+3m=---(m-5)2H，

22510102

.•.当利=5时，S取最大值；

在抛物线对称轴/上存在点尸，使ATOQ为直角三角形，

抛物线的解析式为y=-ix2+-X+8的对称轴为X=3,

932

D的坐标为(3,8),2(3,4),

当NF£)Q=90。时，f；(1,8),

当NFQD=90。时，则F2(~,4),

当NDFQ=90。时，设/f1,

则FD-+FQ2=DQ1,

QQ

即—F(8—n)~H---卜("一4)~=16»

44

解得：72=6±，

2

满足条件的点F共有四个，坐标分别为

【变式训练3】如图，已知抛物线与x轴交于A（-1,O）、3（3,0）两点，与y轴交于点C（0,3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点。是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、8不重合），过点。作轴于

点、F,交直线3c于点E,连接班）、CD.设点。的横坐标为相，ABC£＞的面积为S.求

S关于用的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值；

（3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若AM8c是以3c为直角边的直角三角形，请直接

写出点〃的坐标.

【解答】解：（1）抛物线解析式为尸。。+1）（》-3）=。（/-2工一3）,

即—3a=3»解得：a=—1,

抛物线解析式为y=-/+2x+3；

（2）设直线8c的函数解析式为丫=心+从

直线3c过点3(3,0),C(0,3)，

解得

[3=h[h=3

：.y=-x+3,

设D(m,-m2+2"?+3),E(m,-m+3),

DE=(-w2+2m+3)-(-m4-3)=-tn2+3m,

i3393327

/.S=—OB•DE=—(—m2+3m)二一2-/十一m二一二。九一二尸---(0<w<3),

2222228

v--<0,

2

二当初=3时，S有最大值，最大值s=2；

28

(3)设点M(1,M,

则MB?=>+4,MC2=l+(m-3)2,BC2=18；

①当MC是斜边时，

1+(7一3/=m2+4+18；

解得：/«=-2;

②当MB是斜边时，

同理可得：772=4,

故点用的坐标为：(1,-2),(1,4).

等腰直角三角形

【例1】已知：如图，抛物线丫=加+版+c与坐标轴分别交于点4(0,6),8(6,0),C(-2,0),

点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点尸运动到什么位置时，的面积有最大值？

(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点。，再过点P做正〃》轴交抛物线于点E,连

结DE,请问是否存在点。使APDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存

在，说明理由.

【解答】解：(I)♦.•抛物线过点3(6,0)、C(-2,0),

二设抛物线解析式为y=a(x-6)(x+2),

将点A(0,6)代入，得:—12a=6>

解得：a=--,

2

所以抛物线解析式为尸一*一6)*+2)=-9+2犬+6：

(2)如图1,过点P作尸与点〃，交于点N，作AG_L尸A/于点G,

设直线AB解析式为y=丘+A,

将点40,6)、8(6,0)代入，得:

b=6

6女+6=0

k=-\

解得:

b=6

则直线AB解析式为y=-工+6,

设+2r+6)其中0<r<6,

则N(f,T+6),

:.PN=PM-MN=--t2+2t+6-(-t+6)=--t2+2t+6+t-6=--t2+3t，

222

-S少AB=S居AN+S刖BN

=—PN・AG+—PN・BM

22

=；PN・(AG+BM)

=LpN・OB

2

=-x(——1~+3/)x6

22

32n

=——t+9t

2

3小小227

=­[(，-3)+—,

22

・•.“3时，尸位于喧)时，APM的面积有最大值:

x轴于点”，作PG，y轴于点G,

则尸“=-'*+2/+6，PG=t，

2

^^PAB=S"AO+S»BO_

=—x6xr+—x6x(--/2+2r+6)-—x6x6

2222

32八

=一一r+9r

2

=-1(r-3)2+^,

22

.•.当f=3时，即尸位于(3,£)时，AE4B的面积有最大值

(3)如图3,

lo\H\i

1图3

若APDE为等腰直角三角形，

则PD=PE,

设点P的横坐标为“，点E的横坐标为b，

PD=­cr+2a+6-(―a+6)=—/+3。,=：-，

2222x(-1)

贝1J0=4-a,

.-.PE=]a-(4-a)|=|2a-4|=2|2-«|,

:.--a2+3a=2|2-a|，

解得：a=4或a=5-折，

所以尸(4,6)或P(5-A/T7,3折-5).

【变式训练1】如图,在平面直角坐标系中，已知抛物线y=d+6x+c•与直线钻相交于A,

B两点,其中A(l,2),8(-3,-2).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点E为直线A8下方抛物线上任意一点，连接AE,BE,求AE4B面积的最大值及此

时点E的坐标；

(3)点。为抛物线对称轴上的一点，当以点A,B,。为顶点的三角形为等腰三角形时，

直接写出点。的坐标.

【解答】解：⑴将点人5的坐标代入抛物线表达得：『；亡二’解得

故抛物线的表达式为y=f+3x-2；

(2)由点A、8的坐标得，直线AB的表达式为)，=x+l,

过点E作y轴的平行线交直线ABF点H.

设点E(x,x2+3x-2),则点H(x,x+1),

则^EAB面积

11,,

=5_AEHA+S_A£HB=-£'W-(X_A-X_B)=-X(1+3)(X+1-X2-3X+2)=-2X2-4X+6,

•.--2<0,故面积有最大值，

当x=-l时，AE43面积的最大值为8,此时点E(-l,-4)：

（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x=-3,设点。（-3,m）,

22

由点A、B、。的坐标得：AB2=32,AD2=（1+-）2+（/M-2）2,BD2=（1）2+（nz+2）2,

当A5=AD时，即32=（l+g）2+G*-2）2,解得加=2±普^：

当的=必时，同理可得：加=-2土晅；

2

当AD=BD时,同理可得：m=~,

2

故点。的坐标为（-1，2+孥）或（一|,2一孥）或（一|,一2+邛）或（一|,一2一邛）

或46

【变式训练2】如图，在平面直角坐标系X。），中，抛物线y=-x?+2x+3与x轴交于点A,B

（点A在点5的左侧），与y轴交于点C,抛物线顶点为点。.

（1）求区，C,。三点坐标；

（2）如图1,抛物线上有£,尸两点，且£F//x轴，当AD£F是等腰直角三角形时，求线

段斯的长度；

（3）如图2,连接8C,在直线5C上方的抛物线上有一动点P,当AP8C面积最大时，点

P坐标.

图1图2

【解答】解：（1）对,于y=—炉+2x+3,令y=+2x+3=0,解得x=3或一1,令％=0,

则y=3,

故点A、B、C的坐标分别为（一1,0）、（3,0）、（0,3）,

函数的对称轴为％=1，当x=l时，y=~x2+2x+3=4,

故点。的坐标为(1,4),

故8,C,。三点坐标分别为(3,0)、(0,3)、(1,4)；

(2)♦.•ADEF是等腰直角三角形，EF//x轴，

则根据函数的对称性，只有ZEDF为直角一种情况，

设点E(x,-/+2x+3),点F和点“关于函数对称轴对称，故点F(2-x,-/+2x+3),

图1

过点。作。〃_LEF与点、H,

•.•ADEF是等腰直角三角形，故ADHF为等腰直角三角形,

故HF=DH'即;斯=(%-»),

贝U；(2-x-x)=(4-丁-2x-3)，解得x=l(舍去)或0,

故x=O,

贝ljEF=2-x-x=2i

(3)过点P作"//y轴交8c于点H，

由点8、C的坐标得，直线5c的表达式为y=-x+3,

设点尸的坐标为(x,-x2+2x+3),则点H(x,-x+3),

1139

22

则APBC面积=S"此+S"HB=-PH-OB=-X3X(-X+2x+3+x-3)=-^x+-x,

■.---<0,故AP8C面积存在最大值，此时x=3,

22

故点尸(3,—).

24

【变式训练3】如图，抛物线丫=4。-|尸+/7经过点A(l,0),C(0,3).

(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

(2)如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点尸，使得四边形%OC的周长最小？若存在，

求出此时P点坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图②，点。是08上一动点，连接BC,在线段BC上是否存在这样的点M,使M：QM

为等腰三角形且ABQM是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

图①图②

【解答】解：(1)由抛物线表达式知，函数的对称轴为x=g,

2

而点41,0)，

根据点的对称性，则xB=l+2xg-l)=4,

故点8的坐标