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1/2历年高中数学联赛真题分类汇编专题17三角函数与解三角形第四缉1.【2016年新疆预赛】函数fx【答案】3【解析】依题意知f=−2sin又sinx∈0,1,故当sinx=2.【2016年新疆预赛】设△ABC的∠A、∠B、∠C的对边分别为【答案】9【解析】由余弦定理得a⋅⇒a从而,由正弦定理得tanA3.【2016年四川预赛】若实数α、【答案】−【解析】设β=2a,由sin⇒⇒cos若cosα=1,则sin从而,cosα=−4.【2016年江西预赛】如图,P为正方形ABCD内切圆上的一点,记∠APC=α,∠BPD=β则【答案】8【解析】如图,建立直角坐标系.设圆方程为x则正方形顶点坐标分别为A若Prcosθ,rsinθ,则直线PA、PB、PC、PD的斜率分别为kPA=1+sinθ1+故tantan因此tan25.【2016年江西预赛】设x为锐角.则函数y=sin【答案】4【解析】由y=si⇒当cos26.【2016年湖南预赛】方程16sin【答案】{1【解析】当x>0时,16x+18≥8又16sinπ当且仅当x=14+k(k∈Z)于是,当x>0时,方程只有解x=1由奇函数的性质,知x=−1故方程的解集为{17.【2016年甘肃预赛】已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R,若函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增,且函数f(x)的图像关于直线【答案】π【解析】由f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增,且f(x)的图像关于直线x=ω对称,可得2ω≤πω,且f(ω)=考点:本题主要考查三角函数的性质.视频8.【2016高中数学联赛(第01试)】设函数f(x)=sinkx104+coskx104,其中k是一个正整数.若对任意实数a【答案】16【解析】由条件知,f(x)==1−1其中当且仅当x=5mπk(m∈Z)时,f根据条件知,任意一个长为1的开区间(a,a+1)至少包含一个最大值点,从而5πk<1,即k>5反之,当k>5π时,任意一个开区间(a,a+1)均包含f(x)的一个完整周期,此时{f(x)|a<x<a+1}={f(x)|x∈R}成立.综上可知,正整数k的最小值为[5π]+1=16.9.【2015年全国】若,则__________.【答案】2【解析】由有,而,求出(负值舍去),所以。10.【2015年全国】设ω为正实数.若存在a、b(π≤a<b≤2π【答案】ω∈[【解析】由sinωa+而[ωa,ωb]⊆[ωπ,2ωπωπ≤2k当ω≥4时,区间[ωπ,2ωπ]的长度不小于4π当0<ω<4时,注意到,[ωπ故只要考虑如下几种情形:(1)ωπ≤π2<(2)ωπ≤5(3)ωπ≤9综上,并注意到ω≥4也满足条件,知ω∈[9故答案为:ω∈[11.【2015年浙江预赛】若16sin2x【答案】−【解析】设t=16则16cos代入原方程得t+16解得sin2从而,cos4x=−12.【2015年上海预赛】已知cosθ+π4<3sin【答案】−π,−【解析】注意到,cos⇔2由fxf⇔⇔−π≤θ<−13.【2015年上海预赛】有一个单摆,在夏季摆的周期T=1秒,到了冬季,摆长缩短了0.01厘米.在冬季这只单摆在24小时中比在冬季大约快______秒(精确到1秒).注:单摆周期公式为T=2πlg,其中,周期T的单位为秒,摆长l的单位为厘米,重力加速度g=980厘米/秒【答案】17【解析】将T=1秒代入公式得夏季摆长l=T冬季摆长l'=l−0.01≈24.814厘米,冬季摆的周期T'=2πl'故24小时内冬季摆比夏季的快约为24×60×T−T'14.【2015年新疆预赛】已知n为正整数.则lg12【答案】5【解析】由三角不等式得lgnlgn则7512由n为整数,知n2故7≤n于是,n的取值可以为4,5,⋯,12注意到,函数fn=n故f4从而,fn因此,lg1215.【2015年新疆预赛】已知α、β均为锐角,且1+tanα1+【答案】π【解析】由已知得tan⇒tan因为α、β∈0,π216.【2015年四川预赛】设x+sinx⋅cos【答案】−1【解析】由x+sinx⋅cosx−1=0由2cosy−2y+π+4=0,得设fx=x+sin故fx由式①、②得f⇒2x−y=−π17.【2015年安徽预赛】设a为实数,且关于x的方程a+cosxa−【答案】−1−【解析】设u=a+cos方程有实根⇔双曲线uv=1与圆u−a2注意到,圆心位于直线y=x之上,只需找到圆与双曲线相切时圆心的位置即可.当圆与双曲线切于点A1,1时,a=1+当圆与双曲线切于点B−1,−1时,a=−1±因此,a的取值范围是−1−218.【2015年陕西预赛】已知sinα+3sin【答案】0【解析】将已知两式平方相加得:4+2319.【2015年陕西预赛】在△ABC中,若tanA2+【答案】3【解析】由题设知tanC当且仅当tanA故tanC2的最小值为20.【2015年山西预赛】若sinα+cosα=【答案】7【解析】由条件得2sin⇒sin⇒sin21.【2015年山东预赛】方程sin【答案】x=kx+【解析】由方程得:sin⇒cosx=0,sinx=±1,⇒x=kπ+π22.【2015年山东预赛】在△ABC中,∠A<∠B<∠C,sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC=3【答案】π【解析】由已知得:sinA−3⇒sina+sinβ+sinγ=0,其中,a=∠A−π则2sin⇒4sin故∠A、∠B、∠C中至少有一个为π3又∠A<∠B<∠C,从而,∠B=π23.【2015年江西预赛】求值=【答案】【解析】解:因为24.【2015年江苏预赛】函数fx【答案】−【解析】注意到f2当且仅当3−3sinx=1+sin从而,当sinx=12当sinx=12故函数fx的值域为−25.【2015年江苏预赛】设△ABC的外心为O,内心为I,∠B=45°.若OI∥BC,则cosC的值为_________.【答案】1−【解析】设△ABC的外接圆半径、内切圆半径分别为R,r.记BC的中点为M,D为由点I向BC所作垂线的垂足.因为OI∥BC,所以,ON=ID=r.由∠BOC=2∠A,⇒r⇒cosA=4sin26.【2015年吉林预赛】已知函数fx=sinωx+π2⋅【答案】0,【解析】由题意可得:fx由最小正周期公式可得:2π2ω=π,则ω=1,函数的解析式为∵x∈0,函数的值域fx27.【2015年湖南预赛】已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍.则该三角形的周长为__________.【答案】15【解析】设ΔABC的三边长AB=n+1,BC=n,AC=n−1,边AC所对的角θ,边据正弦定理、余弦定理,分别有n−1sinθcosθ=n+1由①、②得n+1n−1故三角形的周长为15.28.【2015年湖北预赛】已知顶角为20°的等腰三角形的底边长为a,腰长为b.则a3【答案】3【解析】由已知得a=2bsin故a⇒a29.【2015年湖北预赛】已知点P在RtΔABC所在的平面内,∠BAC=90°,∠CAP为锐角,且AP【答案】2【解析】设∠CAP=α.由题意知∠BAP=π由AP⇒⇒AB=sin≥2cos当且仅当cos2α4sin2α=30.【2015年黑龙江预赛】已知x、y∈−π4,π【答案】1【解析】联立方程,消去a得31.【2015年河南预赛】设f(x)=sin【答案】8【解析】由已知得f'接下来证明6−则6−π2易知,p't在区间0,π2上递增,在区间π又p0=0,p'0>0,从而,fx为区间0,1由琴生不等式,知当x∈0,1时,故gx≥8,等式根号成立当且仅当因此,所求gx32.【2015年甘肃预赛】已知△ABC的外接圆半径为R,且2Rsin2A−sin2C【答案】45【解析】题设等式结合正弦定理得:a2⇒a⇒cos⇒∠C=45°.33.【2015年福建预赛】若sinπ9+【答案】4【解析】注意到,2⇒tan⇒n=9k+4k∈Z故正整数n的最小值为4.34.【2015高中数学联赛(第01试)】若实数α满足cosα=tanα,则1sinα【答案】2【解析】由条件知cos2α=sin得1sin35.【2015高中数学联赛(第01试)】设ω为正实数,若存在a,b(π⩽a<b⩽2π),使得sinωa+sinωb=2,则ω的取值范围是 【答案】9【解析】由sinωa+sinωb=2知sin故题目条件等价

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