新高考数学高频考点题型归纳14导数概念及运算（教师版）

专题14导数概念及运算一、关键能力1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义．2．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的导数．3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．二、教学建议从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测2022年高考将会涉及导数的运算及几何意义．以客观题的形式考查导数的定义，求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.三、自主梳理知识点1．导数的概念1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即.2．函数f(x)的导函数称函数为f(x)的导函数．知识点2．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)2．导数的运算法则（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（3）(g(x)≠0)．(4)复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．知识点3．函数在处的导数几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．四、高频考点+重点题型例1-1（常见函数及它们的和差积商的求导）(2020·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝eq\f(ex,x＋a).若f′(1)＝eq\f(e,4)，则a＝________.【答案】1【解析】f′(x)＝eq\f(x＋a－1ex,x＋a2)，则f′(1)＝eq\f(ae,a＋12)＝eq\f(e,4)，解得a＝1.例1-2（复合函数求导）设函数f(x)＝lneq\r(1＋2x).，则f′(x)=【解析】因为y＝lneq\r(1＋2x)＝eq\f(1,2)lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2x))，所以y′＝eq\f(1,2)·eq\f(1,1＋2x)·(1＋2x)′＝eq\f(1,1＋2x).例1-3（理解f′(x0)与f(x)区别与联系）（2021·四川攀枝花市·高三一模（文））已知函数，则（）A． B． C．6 D．14【答案】C【解析】求导，代入，求得，然后将代入原函数求得函数值.【详解】，则，则，故选：C对点训练1.(2018·天津卷)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________.【答案】e【解析】由题意得f′(x)＝exlnx＋ex·eq\f(1,x)，则f′(1)＝e.对点训练2．已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2022(x)＝()A．－sinx－cosx B．sinx－cosxC．－sinx＋cosx D．sinx＋cosx【答案】C【解析】∵f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，∴f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，∴fn(x)是以4为周期的函数，∴f2022(x)＝f2(x)＝cosx－sinx.对点训练3.(2021·天津河西区调研)已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lneq\f(1,x)，则f(1)＝()A.－e B.2 C.－2 D.e【解析】由已知得f′(x)＝2f′(1)－eq\f(1,x)，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，则f(1)＝2f′(1)＝2.考点二、求切线方程例2-1（已知切点的切线问题）（2020·新课标Ⅰ）函数的图像在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为f(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，f(1)＝－1.所以f′(1)＝－2.因此，所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.例2-1（不知切点的切线问题）（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____，切线方程为【答案】【解析】设点，则.又，当时，，点A在曲线上的切线为，即，代入点，得，即，考查函数，当时，，当时，，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.对点训练1.（2021·广西壮族自治区钦州一中高二月考（理））已知曲线在点处的切线方程为，则（）A． B． C． D．【解析】，将代入得，故选D．对点训练2．（2021·重庆高三其他模拟）曲线在点处的切线恰好经过坐标原点，则___________.【答案】1【解析】先求出的导函数，则，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，即可得出答案.【详解】，则则切线方程为，代入原点可得：，即，解得（负根舍去）故答案为：1对点训练3.（2021·湖南永州市·高三其他模拟）已知函数，点为函数图象上一动点，则到直线距离的最小值为___________.(注)【答案】【解析】求出导函数，利用导数的几何意义求出切线与已知直线平行时切点坐标，然后转化为求点到直线的距离即可求解．【详解】解：，，与直线平行的切线斜率，解得或，当时，，即切点为，此时点到直线的距离为；当时，，即切点为，此时点到直线的距离为，故答案为：.考点三、两只曲线的公切线问题例3-1.（两函数的公切线）（2021·天津耀华中学）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【解析】对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.例3-2（与圆锥曲线的公切线）（2020·全国高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【解析】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D.对点训练1.（2021·全国高三其他模拟（理））与曲线和都相切的直线与直线垂直，则b的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先求出直线的方程，再求出直线与曲线相切的切点坐标即可得解.【详解】因直线与直线垂直，则直线的斜率为3，设直线与曲线相切的切点，而，则，得，即直线过点(1，0)，方程为y=3x-3，设直线与曲线相切的切点P，有，由得，从而有点，而点P在直线：y=3x-3上，即，解得.故选：D对点训练2.（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）过引抛物线的切线，切点分别为A，.若的斜率等于2，则（）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】先设切点，根据导数的几何意义求切线方程，再代入点M，得到A，均满足得到一元二次方程，即得到直线的方程和斜率，结合斜率为2解得参数即可.【详解】抛物线，即，则由切线斜率，设切点，则，又，所以切线方程为，即，同理切线方程为，两切线均过点，故，即，所以点均满足方程，即均在直线上，即直线的方程为，所以斜率为，故.故选：C.考点四、切线的探究例4-1（探究切点）（2021·全国高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（）A． B．C． D．【答案】D【解析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.例4-2（探究参数取值或范围）（2020届山东省青岛市三模）【多选题】已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（）A． B．3 C． D．【答案】AC【解析】由题可知，，则，可令切点的横坐标为，且，可得切线斜率，由题意，可得关于的方程有两个不等的正根，且可知，则，即，解得：，的取值可能为，.故选：AC.对点训练1．已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2【答案】B【解析】因为x1＜x2＜0，f(x)＝x2＋2x，所以f′(x)＝2x＋2，所以函数f(x)在点A，B处的切线的斜率分别为f′(x1)，f′(x2)，因为函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，所以f′(x1)f′(x2)＝－1.所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0，所以x2－x1＝eq\f(1,2)[－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥eq\r(－（2x1＋2）（2x2＋2）)＝1，当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－eq\f(3,2)，x2＝－eq\f(1,2)时等号成立．所以x2－x1的最小值为1.故选B.对点训练2.（2021·梁河县第一中学高二期中（文））函数的图象存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是()A． B．C． D．【答案】B【解析】函数的图象存在与直线平行的切线，即在上有解.在上有解，则.因为，所以，所以的取值范围是.考点五、切线的综合应用例5-1.（与解析几何的综合考察）（2021·河北唐山市·唐山一中高三其他模拟）在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，，三点的圆的圆心为，若直线与抛物线相切于点，则点的坐标是___________.【答案】【解析】设出M的坐标，求出切线斜率，利用斜率公式求出的坐标，根据圆的性质建立方程进行求解即可.【详解】设，抛物线的焦点坐标，如图，过，，三点的圆的圆心为，圆心的纵坐标为，设，直线与抛物线相切于点，导数，即在处的切线斜率，即的斜率，即，即，得，即，，，，即，得，得或（舍，解得．，，，，即的坐标为，，故答案为：，．例5-2.（与数列的综合考察）（2021·江西省新余一中高二月考（文））设曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·x3·x4·…·x2017＝A． B． C． D．【答案】D【解析】由f(x)＝xn＋1得f′(x)＝(n＋1)xn，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得xn＝，故x1·x2·x3·x4·…·x2017＝.选D.对点训练1.（2021·广东高三其他模拟）焦点为的抛物线：的准线与轴交于点，点在抛物线上，则的取值范围是___________.【答案】【分析】作垂直准线于，根据抛物线的定义可得，当与抛物线相切时，最小，再运用导函数，求得切线的斜率，由此可得范围.【详解】作垂直准线于，，不妨在第一象限取点，当与抛物线相切时，最小，设切点为，由得，可知，又，得，得，又，所以，，所以切线，，所以，所以；故答案为：.对点训练2.（2020·广西蒙山中学高三月考（理））已知函数，记是的导函数，将满足的所有正数从小到大排成数列，，则数列的通项公式是A． B．C． D．【答案】C【分析】先求导数，解出f'（x）=0的所有正数解x，求得数列{xn}．从而可证明数列{f{xn}}为等比数列．进而求出数列的通项公式．【详解】f'（x）=-e-x（cosx+sinx）+e-x（-sinx+cosx）=-2e-xsinx．

由f'（x）=0，得-2e-xsinx=0．

解出x=nπ，n为整数，从而xn=nπ，n=1，2，3，．

所以数列{f{xn}}是公比q=-e-π的等比数列，且首项f（x1）=q=-e-π．其通项公式为．故选C.【点睛】本小题主要考查．函数求导，等比数列证明．是对知识的综合性考查，能力要求较高．考点六：导数的概念例6.（2021·河南新乡市·高三三模（文））已知函数，若，则（）A．36 B．12 C．4 D．2【答案】C【解析】根据函数在处的导数的定义将变形为即可求解.【详解】解：根据题意，，则，则，若，则，则有，即，故选：C.对点训练1.若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】法一（注重导数概念的应用的解法）：因为，所以，选B；法二（注重导数定义中各变量的联系的解法）：因为，所以（其中：），故选B.巩固训练一、单选题1．（2021·全国高三零模（理））记函数的导函数为.若，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出函数的导数，再求得导函数在处的函数值.【详解】因为，则，所以，故选：A.2．（2020·全国高三其他模拟（文））曲线在点处的切线方程是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出函数的导函数，进一步求出，则切线斜率可求，由点斜式写出切线方程.【详解】因为点在曲线上，解得，，所以，所以，曲线在点处的切线方程为.即.故选：D3．（2020·四川省武胜烈面中学校高三月考（理））设函数的导函数是.若，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知式求导数，令，求得，得的解析式，再求得可得结论．【详解】解：，，，从而，，，，故选:B.【点睛】本题考查导数的运算，掌握导数运算法则是解题基础，解题时要注意是常数．4．（2021年全国高中名校名师原创预测卷新高考数学（第三模拟））已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同，则（）A．-1 B．-2 C．1 D．2【答案】B【分析】分别表示出两条切线方程，然后比较系数，再进行代换即可.【详解】已知曲线在点处的切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为，即，由题意得，得，，则.又，所以，所以，所以.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题需要表示出两条切线方程，然后比较系数，再进行代换，在代换过程中要尽量去消去指数和对数，朝目标化简.5．（2020·安徽马鞍山市·马鞍山二中高三月考（理））已知函数的导函数为，记，．若，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过计算、、、、，可得、、、，最后计算可得结果.【详解】解：，则，，，，，所以猜想：，，，，由，，所以，，，故选：D．【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，属于中档题.6．（2020·安徽高三其他模拟（文））记分别为函数的导函数.若存在x0∈R，满足f(x0)=g(x0)且，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“真实点”，若函数与有且只有一个真实点"，则实数a的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】与有且只有一个真实点"，则f(x0)=g(x0)且的方程只有一个解，即，结合即可求解．【详解】由函数，，得，，设x0为f(x)与g(x)的“真实点”，由f(x0)=g(x0)且，得，即，得，由于函数与有且只有一个“真实点”，从而只有一解，故，解得b=0，此时，．故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键在于由与有且只有一个真实点"，转化为方程有唯一解问题．7．武汉炼油厂某分厂将原油精练为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时时，原油温度（单位：为，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（）A．8 B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：，当时，，即原油温度的瞬时变化率的最小值是．故选C．考点：导数的概念点评：导数表示的是瞬时变化率．本题的函数是稳定关于时间的函数，故导数表示的是温度的瞬时变化率．8．（2021·辽宁）已知函数．若曲线存在两条过点的切线，则a的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】对函数求导，设切点坐标，写出切线方程，将点（2,0）代入得到，由题意存在两条切线，可得方程有两个不等实数根，由判别式大于0可得答案.【详解】，设切点坐标为（），则切线方程为，又切线过点（2,0），可得，整理得，曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足，解得或，故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查过某点的切线方程的求法和切线的条数问题，运用了转化思想，将切线的条数转化为方程的根的个数.二、多选题9．（2020·山东高三二模）已知，，记，则A．的最小值为 B．当最小时，C．的最小值为 D．当最小时，【答案】BC【分析】将视为曲线上的点到直线上的点的距离的平方，利用曲线在点上的切线平行于直线可求得点的坐标，利用点到直线的距离公式可求得的最小值，联立过点且与直线垂直的直线与直线的方程，可求得的值，综合可得出结论.【详解】由，得：，的最小值可转化为函数图象上的点到直线上的点的距离的最小值的平方，由得：，与直线平行的直线的斜率为，则令，解得：，切点坐标为，到直线的距离.即函数上的点到直线上的点的距离的最小值为.的最小值为，过与垂直的直线为，即.由，解得：，即当最小时，.故选：BC.【点睛】本题考查曲线上一点到直线距离最值的计算，考查导数几何意义的应用，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.10．（2021·广东江门·高三其他模拟）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm．由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t（分钟）之间存在函数关系，其中（R为常数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0．5ppm为正常，人就可以安全进入车库了，则（）A．B．C．排气12分钟后，人可以安全进入车库D．排气32分钟后，人可以安全进入车库【答案】BD【分析】由题意可设，再由已知列关于，的方程组，求出判断A与B；进一步求出的解析式，由求得的范围判断C与D．【详解】由题意可设，则，此时为常数，由，得，则，即，，故A错误，B正确；把代入，得，又，，由，得．至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态，则C错误，D正确．故选：BD三、填空题11．（2020·全国高三一模（理））已知为任意的实数，则函数的最小值为____.【答案】2【分析】将问题转化为点与直线上点之间的距离的平方，对曲线求导，求出与直线平行的切线斜率，进而求出切点，然后利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】就是曲线上点与直线上点之间的距离的平方，对曲线求导：，与直线平行的切线斜率，解得或（舍去），把代入，解得，即切点，则切点到直线的距离为，所以，即的平方最小值为2.即的最小值为2.故答案为：2【点睛】本题考查了导数的几何意义、基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，两点间的距离公式、点到直线的距离公式，考查了转化与化归的思想，属于中档题12．（2021·江苏连云港·高三月考）已知曲线在，，两点处的切线分别与曲线相切于，，则的值为【答案】2【分析】根据相切得到切点的横坐标满足的代数式，据此构建方程，从而得到两根的关系，故可得正确的选项.【详解】由题设有，化简可得即，整理得到，同理，不妨设，令，因为当时，均为增函数，故为增函数，同理当时，故为增函数，故分别为在、上的唯一解，又，故，故为在的解，故即.所以，【点睛】用导数求切线方程常见类型：(1)在出的切线：为切点，直接写出切线方程：；(2)过出的切线：不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标，再写出切线方程：四、解答题13．设函数f(x)＝ax－eq\f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．【解析】(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝eq\f(7,4)x－3.当x＝2时，y＝eq\f(1,2).又f′(x)＝a＋eq\f(b,x2)，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))故f(x)＝x－eq\f(3,x).(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋eq\f(3,x2)，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0)，即y－eq\b\l