历年高中数学联赛真题分类汇编46平面解析几何

1/3历年高中数学联赛真题分类汇编专题46平面解析几何第六缉1．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】在椭圆中，F为一个焦点，A、B为两个顶点若|FA|=3，|FB|=2，求AB的所有可能值.【答案】答案见解析【解析】不妨设平面直角坐标系中椭圆Γ的标准方程为x2并记c=a2−b2易知F到Γ的左顶点的距离为a+c，到右顶点的距离为a－c，到上下顶点的距离均为a.分以下情况讨论:(1)A、B分别为左、右顶点.此时a+c=3，a－c=2，故|AB|=2a=5(相应地，b2=(a+c)(a－c)=6，Γ的方程为4x(2)A为左顶点，B为上顶点或下顶点.此时a+c=3，a=2，故c=1，进而b2所以|AB|=a2+b2(3)A为上顶点或下顶点，B为右顶点.此时a=3，a－c=2，故c=1，进而b2所以|AB|=a2+b2综上可知，|AB|的所有可能值为5,72．【2018年福建预赛】已知△DEF三边所在的直线分别为l1:x=－2，l2：x+3y－4=0，l3：x－3y－4=0，⊙C为△DEF的内切圆.（1）求⊙C的方程；（2）设⊙C与x轴交于A、B两点，点P在⊙C内，且满足PC2=PA⋅PB.记直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，求k【答案】（1）x2+y2=4.（2）(－1，0]【解析】（1)解法一：设C(a，b)，⊙C半径为r，则a+2=结合点C(a，b)在△DEF内，可得a+2=−(a+解得a=b=0，r=2.∴⊙C的方程为x2+y2=4.解法二：设C(a，b)，⊙C半径为r.如图，由条件知，l2、l3的倾斜角分别为150°和30°，且它们关于x轴对称，同时l1⊥x轴.因此，△DEF为正三角形.∴点C在x轴上，且a=－2+r，b=0.由l2、l3交x轴于点D(4，0)，知△DEF的高为6.∴r=13×6=2∴⊙C的方程为x2+y2=4.（2）由（1）知，C(0，0)，A(－2，0)，B(2，0).设P(x，y)，则x2+y2<4.∵PC2∴x2化简得，x2－y2=2.∴k1由x2+y2<4，以及x2－y2=2，y2≥0，得2≤x2<3.∴k1k2∈(－1，0].∴k1k2的取值范围为(－1，0].3．【2018年江苏预赛】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O的方程为x2+y2=4，过点P(0,1)的直线l与圆O交于点A，B，与x【答案】见解析【解析】当ABx轴垂直时，此时点Q与点O重合，从而当点Q与点O不重合时，直线AB的斜率存在，设AB:y=kx+1，A(x由题设得：x1+1将y=kx+1代入x2+y则Δ>0，所以λ+μ=2+−2k−3k=834．【2018年江苏预赛】如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，ΔABD与ΔABC的内心分别为I1和I【答案】见解析【解析】因为I1，I2分别为故∠AI1B=180°−12(∠DAB+∠DBA)，∠AI2B=180°−因此∠I1I同理，∠PNM=12(∠CAB+∠DBA).所以∠PMN=∠PNM5．【2018年贵州预赛】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率e=22，直线y（1）求椭圆C的方程；（2）过点M(2，0)的直线l（斜率不为零）与椭圆C交于不同的两点E、F（E在点F、M之间），记λ=SΔOMES【答案】（1）x22+y2【解析】（1）由e=22由x所以Δ=64−36(2−2由AB=895所以椭圆C的方程为x2（2）设l：x=my+2，且E（x1，y1）、F（x2，y2）由x2+2所以由Δ>0解得m2>2，且y1+由λ=SΔOMESΔOMF=12由①②得λ所以18<λ(1+λ)26．【2018年浙江预赛】已知动直线l与圆O：x2+y2=1相切，与椭圆x29【答案】4【解析】依題意可设l：y=kx+m(k≠0).因为直线l与圆O相切，所以，O到直线l的距离为1，即m1+这样的直线必与椭圆交于不同的两点A(x1，得(1+9k2)所以AB的中点坐标为(−9kmAB的中垂线方程为y−m1+9kO到直线中垂线的距离d=8km将m1+k2由均值不等式，1+9k2≥6k，故所以，当k=原点到AB的中垂线的最大距离为437．【2018年重庆预赛】设椭圆C的左、右顶点为A，B(a,0)，过右焦点F(1,0)作非水平直线l与椭圆C交于P，Q两点，记直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，试证：【答案】k【解析】证明：设l：x=ty+1，代入椭圆方程x2a设Pxy1两式相除得y1由题意知k1从而k1=a因为a所以k18．【2018年陕西预赛】如图，圆C与x轴相切于点T2,0，与y轴的正半轴相交于A,B两点（A（1）求圆C的方程；（2）设过点B的直线l与椭圆x28+y24=1【答案】（1）x−22【解析】（1）易知AC=52，故圆方程为（2）由（1）可知A0,4,B0,1，且直线PQ的斜率必存在，可设l设Px2k∴k9．【2018年陕西预赛】如图，圆C与x轴相切于点T2,0，与y轴的正半轴相交于A,B两点（A（1）求圆C的方程；（2）设过点B的直线l与椭圆x28+y24=1【答案】（1）x−22【解析】（1）易知AC=52，故圆方程为（2）由（1）可知A0,4,B0,1，且直线PQ的斜率必存在，可设l设Px2k∴k10．【2018年陕西预赛】如图，圆C与x轴相切于点T2,0，与y轴的正半轴相交于A,B两点（A（1）求圆C的方程；（2）设过点B的直线l与椭圆x28+y24=1【答案】（1）x−22【解析】（1）易知AC=52，故圆方程为（2）由（1）可知A0,4,B0,1，且直线PQ的斜率必存在，可设l设Px2k∴k11．【2018年湖南预赛】已知抛物线C1的顶点(2−1,1)，焦点(2−34【答案】C2过定点，该定点的坐标为2【解析】C1中的p=12，方程(y−1)设交点为(x0,y0即2(y同理可得，C2y0即(2y由题意知二者垂直，从而可得1×(−1)+2(y整理得4y02由y02y02①-②×2得4b=2a−1−22.③代入C22y即2y由方程组2y2+2x−2即对任何满足③的a、b，点2−12,1在曲线C212．【2018年湖南预赛】如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD.分别过点C、D作边BC、AD的垂线，设两条垂线的交点为P.过点P作PQ⊥AB与Q.求证：∠PQC=∠PQD.【答案】见解析【解析】如图，连结PA、PB，分别取PA、PB的中点E、F，连结EM、ED、FM、FC，则四边形PEMF为平行四边形，从而∠PEM=∠PFM.由ME=1所以△DEM≌△MFC，即∠DEM=∠MFC，所以∠PED=∠DEM-∠PEM=∠MFC-∠PFM=∠PFM.又∠PED=2∠PAD,∠PFC=2∠PBC,得∠PAD=∠PBC.由于∠PQA=∠PDA=90°，∠POB=∠PCB=90°，则P、Q、A、D和P、Q、B、C分别四点共圆.故∠PQD=∠PAD,∠PQC=∠PBC,所以∠PQC=∠PQD.13．【2018年贵州预赛】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率e=22，直线y（1）求椭圆C的方程；（2）过点M(2，0)的直线l（斜率不为零）与椭圆C交于不同的两点E、F（E在点F、M之间），记λ=SΔOMES【答案】（1）x22+y2【解析】（1）由e=22由x所以Δ=64−36(2−2由AB=895所以椭圆C的方程为x2（2）设l：x=my+2，且E（x1，y1）、F（x2，y2）由x2+2所以由Δ>0解得m2>2，且y1+由λ=SΔOMESΔOMF=12由①②得λ所以18<λ(1+λ)214．【2018年广西预赛】已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为32的椭圆过点(2,【答案】（0，1）【解析】设椭圆方程为x2a2解得a=2b=1，故椭圆方程为x由题设可知直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+mm≠0令P（x1,y1），Q（由y=kx+m,x2+4则有Δ=64k且x1y1由直线OP、PQ、OQ的斜率构成等比数列可得y1从而−8k由m≠0得由Δ>0及x1设d为点O到直线l的距离，则S=1所以SΔOPQ15．【2018年安徽预赛】设O是坐标原点，双曲线C：x2⑴求证：△AOB的面积S是定值；⑵求△AOB的外心P的轨迹方程.【答案】（1）见解析（2）a【解析】⑴双曲线在M（x0,y得A（x1,y1）=ax从而S=1⑵由⑴可设A（λa,λb），B（aλ由AP=OP=从而有ax+by=λ上述两式相乘，得P的轨迹方程为a216．【2018年山东预赛】已知圆O:x2+y2=4与曲线C:y=3x−t，Am,n，Bs,p【答案】t=【解析】设Px,y为圆O上任意一点，则由题意知PAPB=k于是x−m2整理得x2因此点P的轨迹是一个圆．因为Px,y所以此圆与圆O:x于是有−2k整理得k2所以m2因为s，p∈N∗，所以又因为k>1，所以s=p=1，因此将A2,2，B1,1，代入17．【2018年湖北预赛】已知O为坐标原点，N1,0，点M为直线x=−1上的动点，∠MON的平分线与直线MN交于点P，记点P的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）过点Q−12,−12作斜率为k的直线l，若直线【答案】（1）y2=x【解析】(1).设Px,y,M−1,t因为OP平分∠MON，所以MP=x+1=1+ty−t=1+t由①②可得t=2y1−x，代入①得到x+11−x=1+(2).记A1,1,B1,−1直线l的方程为y+12=kx+1k当直线l与抛物线y2=x相切于点T时，Δ=1−2kk−1当k=k1=1+32时，当k=k2=1−32时，若直线l与曲线E恰好有一个公共点，则有kQB<k≤kQA或18．【2018年甘肃预赛】已知椭圆C:x2a2+（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l与椭圆C交于A,B两点，交y轴于点P．若PA=mAF,（3）在（2）的条件下，若点P不在椭圆C的内部，点Q是点P关于原点O的对称点，试求三角形QAB面积的最小值．【答案】（1）x28【解析】（1）由题意b=2，c=2，所以a2=8，椭圆C的方程为(2)设A、B、P的坐标分别为x1由PA=m又点A在椭圆C上，则2m1+m整理得2m由PB=n2n由于A、B不重合，即m≠n，故m、n是二次方程2的两根，所以m+n=-4，为定值。（3）依题意，直线l的方程为x2+y2+tΔ=16t所以x1SS==t=32由已知，点P不在椭圆C的内部，得t⩾2，即t2⩾4，所以SΔQAB219．【2018年吉林预赛】如图，已知抛物线y=ax2过点P（-1，1），过点Q（−12，0）作斜率大于0的直线l交抛物线与M、N两点（点M在Q、N之间），过点M作x轴的平行线，交OP于A，交ON于B.△PMA与△OAB的面积分别记为S1【答案】S【解析】如图，抛物线y=ax2过点P（-1，1），得a=1，所以抛物线的方程为设直线l的方程为y=kx+12设M（x1,y1），N（x2,y又ON的方程为y=y2x2x有AB===可得AB由题意知−12=又因为S1=120．【2018年天津预赛】如图，F1、F2是双曲线x2−【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】⑴若直线AB的斜率不存在，即切点位于实轴的顶点，则A、B的坐标分别为（1，2）、（1，-2）.这时OA=若直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为y=kx+b.由于AB与双曲线相切，所以关于x的方程x2即Δ=1整理得k2由于A、B的横坐标x1、x我们有x1注意A、B的坐标分别为（x1,2x可知OA=因此OA⋅⑵在ΔOAF1与ΔOF所以ΔOAF1这样，我们有∠===∠BF即四边形F121．【2018年河南预赛】已知方程17x【答案】对称中心为1,0，对称轴为y=【解析】易知点A1,1设椭圆的对称中心为a,b，则点A'故有172a−12172a−12①−②化简得b=2a−2．代入①并化简得4a解得a=1．从而，b=0．故对称中心为1,0．又对称轴经过对称中心，故可设对称轴方程为y=kx−1设点A1,1关于直线y=kx−1的对称点为y0+1又A0在曲线上，则有17将③代入上式并化简得k8k=0不合题意，故8k因此，对称轴方程为y=13±522．【2018年河北预赛】如图，椭圆x2（1）求该椭圆的离心率；（2）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D、E两点.记△GDF的面积为S1，△OED（O坐标原点）的面积为S2.求【答案】（1）e=12【解析】（1）依题意，当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60°.设F(−c,0)，则bc=tan60∘=3.将b=（2）由（1）知，椭圆方程可设为x24c2+y23c则x1所以G(−4c因为GD⊥AB，所以3ck4因为△GFD∽△OED，所以S1所以S1S223．【2018年四川预赛】已知双曲线x24−y23=1，设其实轴端点为A1、A2，点P【答案】见解析【解析】由已知可设A1−2,0、A2因为直线PA1的方程为y=y0所以M设以线段M1M2为直径的圆C上的任意一点Qx,y，那么由M令y=0，代入上述圆方程，得x−1由x024−y02所以，以线段M1M24．【2018年浙江预赛】已知动直线l与圆O：x2+y2=1相切，与椭圆x29【答案】4【解析】依題意可设l：y=kx+m(k≠0).因为直线l与圆O相切，所以，O到直线l的距离为1，即m1+这样的直线必与椭圆交于不同的两点A(x1，得(1+9k2)所以AB的中点坐标为(−9kmAB的中垂线方程为y−m1+9kO到直线中垂线的距离d=8km将m1+k2由均值不等式，1+9k2≥6k，故所以，当k=原点到AB的中垂线的最大距离为4325．【2018年辽宁预赛】如图所示，在平面直角坐标系xOy，设点M(x0,y0)是椭圆C:x(1)设直线MF1、(2)当k1·k【答案】（1）x+32【解析】1.由椭圆定义：MF所以，AF1+则AF1=a=2，故点A因为0<r<1，则点Ax,yx+3综上，点A的轨迹方程为x+32.令直线OP的方程是y=k1x即x又直线OQ与圆相切，设直线OQ的方程是y=kx则k1、kk又k1⋅kk即c+由于M为椭圆上的点，且c为定值，因此必有c=−14，故k1设点Px1,x1同理x2O==4故OP⋅OQ的最大值为26．【2018年江西预赛】若椭圆x225+y29=1上不同的三点Ax1【答案】25x−20y=64【解析】用a、则a=5，b=3，c=4，右焦点为由AFa2c根据等差性质，AF+CF=2BF，而BF=95，即所以x1+设线段AC的中点为D，则其坐标为D4,又设点T的坐标为Tx0,0，则AC的中垂线DT因Tx0,0即x0−4=又根据A、B在椭圆上，得所以y1据①，即有y12再据②③得x0=6425，即点于是直线BT的方程为25x−20y=64．27．【2018年湖南预赛】设曲线C:|x（1）求区域D的面积；（2）设过点M(0,−16)的直线与曲线C交于两点P、Q，求|PQ|的最大值.【答案】（1）512（2）16【解析】（1）由题设，由256−16|y|≥0，因此−16≤y≤16.若|x2−16y|=|此时x=±16(0≤y≤16)，图象时两条直线段.当−16≤y≤0时，|x若|x2−16y|=16y−x2，则当0≤y≤16当−16≤y<0时，|x2−16y|=16y−综上所述，区域D的集合为：D={(x,y)|−16≤x≤16,x由区域D上函数图象性质，知区域D的面积为S=32×16=512.（2）设过点M(0,−16)的直线为l，为了求|PQ|的最大值，由区域D的对称性，只需考虑直线l与D在y轴右侧图像相交部分即可.设过点M(0,−16)的直线l方程为y=kx−16，易知此时l与D相交时有l≤k<∞.28．【2018年福建预赛】已知F1、F2分别为椭圆C:x2a2+（1）求椭圆C的方程；（2