2022-2023学年高一数学人教A版2019题型讲义第12讲解三角形与平面向量结合问题

第12讲解三角形与平面向量结合问题【例1】在中，已知，，则的最小值为（）A．-1B．C．D．【答案】D【分析】先求得三角形外接圆的半径，结合数量积的定义以及二次函数的性质求得的最小值.【详解】设三角形外接圆半径为，则，所以的外接圆半径为1，为钝角时，取到负值；如图，为的中点，在上的投影向量为；由可知当在上的投影长最长时，即与圆相切时，可取到最小值；，当时，，所以的最小值为.故选：D【例2】在中，，边的中点为D，且，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由已知可求，两边平方，利用平面向量数量积的运算，基本不等式可求的最大值．【详解】解：如图，在中，边的中点为D由，可得：，，可得：，，，可得：，（当且仅当时等号成立）则的最大值为4.故选：D.【例3】在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，，且.若函数f(m)(m∈R)的最小值为，则的最小值为（）A．1B．C．D．【答案】C【分析】由题意可得||的最小值为AB边上的高，由函数f(m)＝|－m|的最小值为，即点A到BC边的距离为，可求出∠ACB＝120°，即可求出||的最小值.【详解】法一：由＝x＋y，且x＋y＝1，可知A，O，B三点共线，所以||的最小值为AB边上的高，又AC＝BC＝1，即O为AB的中点，且函数f(m)＝|－m|的最小值为，即点A到BC边的距离为.又AC＝1，所以∠ACB＝120°，在中，，从而可得||的最小值为.故选：C.法二：由＝x＋y，且x＋y＝1，可知A，O，B三点共线，所以||的最小值为AB边上的高.设的夹角为，所以依题，可得，因为是钝角，所以.在中，，从而可得||的最小值为.故选：C.【例4】在平面四边形中，，，.若点为线段上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】取中点为，结合极化恒等式以及余弦定理，即可求得结果.【详解】根据题意，连接，取中点为，作图如下：，在三角形中，由余弦定理可得：，即，则，故，显然当且仅当时，取得最小值，故，的最小值为.即的最小值为.故选：【例5】在中，角、、的对边分别是、、，且满足．(1)求角的大小；(2)若，求的面积的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平面向量数量积的定义以及正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出，求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.（1）解：由可得，所以，，由正弦定理得，，、，则，所以，，故.（2）解：由正弦定理可得，则，，，，则，所以，，故.【例6】在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足.(1)求∠B的值；(2)已知D在边AC上，且，，求△ABC面积的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理可得，从而可求.（2）利用向量可得，平方后结合基本不等式可得，从而可求面积的最大值.【详解】（1），由三角形正弦定理可得即，，，，故，是的内角，，，而为三角形内角，.（2）因为，所以，所以，所以，故，由基本不等式可得，故，当且仅当时等号成立，故面积的最大值为【例7】在中，.(1)求；(2)D在边BC上，，，求面积的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）将已知条件两边平方得到，结合三角形内角性质求得，进而可求.（2）由，根据已知模长及向量数量积的运算律可得，结合基本不等式求得，进而求面积最大值，注意等号(最大值)成立条件.(1)由题设，所以，又，故，所以，故.(2)，所以，则，故，所以面积，当且仅当时等号成立，故面积的最大值为.【题型专练】1．的内角的对边分别为，，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据数量积的定义可得,根据正弦定理边角互化即可求解.【详解】因为，所以，即，由正弦定理可得，且，所以，且，则，，所以.故选:B2．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】设，根据平面向量线性运算及平面向量基本定理求出、的值，依题意可得为等边三角形，求出，再由余弦定理求出即可；【详解】解：设，则，，解得．因为，所以，又，，所以为等边三角形，所以，，由余弦定理，所以；故选：B3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则（）A．2B．C．D．【答案】D【分析】根据向量的数量积以及余弦定理即可求解.【详解】由，得．又，故，由余弦定理，得，故．故选:D．4．在中，角的对边分别为，若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由向量数量积运算法则及正弦定理得，求出，，再利用余弦定理求出.【详解】由题意得：，因为，所以，由正弦定理得：，即，因为，所以，故，即，则，由余弦定理及得：，即，解得：.故选：B5．已知满足，则的形状为（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用向量数量积将原式化简，再利用正弦定理和三角恒等变换判断出的形状为等腰三角形.【详解】，则，由正弦定理可得，则，即，即，所以，的形状为等腰三角形，故选：C.6．在中，内角的对边分别是，.(1)求角的大小；(2)若点满足，且，求面积的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理把边化为角，再结合三角恒等变换即可求解；（2）由题意得，进而利用三角面积可转化，从而有，再由面积公式与基本不等式求解即可（1）因为，所以.因为，所以.因为，所以.又因为，所以.（2）因为，所以点D在线段上，且.因为，所以，即为的角平分线.由（1）得，所以.由，得，即，得，当且仅当时，等号成立，.故面积的最小值为.7．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，___________．①；②；③．请在以上三个条件中任选一个补充在横线处，并解答：(1)求角C的值；(2)若且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）若选①，由正弦定理及正弦的两角和可得，若选②，由正弦定理及余弦定理可得，若选③，由余弦的二倍角公式可得；（2）由平面向量的数量积及余弦定理可求解.（1）若选①，由已知有，又因为，在△ABC中，有,所以有，化简得，由于，所以，所以有，于是有，因，所以得.若选②，由，得，因，所以.若选③，由，有,从而有，解得或（舍）(因为)，所以.（2）由，可得点为的中点，且有，所以有，若，则,又,所以,从而可得，所以有，可得.8．在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若，.(1)求；(2)若，D为上靠近A的一个三等分点，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知条件结合余弦定理可得，