新课预习讲义选修2-1第二章双曲线(3)双曲线的几何性质(2)(教师版)

新课预习讲义选修2－1：第二章§2.3双曲线（三）§2.3.2双曲线的简单几何性质（2）●学习目标1.掌握直线与双曲线的位置关系．2.掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．3.了解双曲线的第二定义及其焦点弦、焦半径等问题.4.了解与双曲线有关的应用问题.●学习重点：直线与双曲线的位置关系及其弦长、中点等问题是本节的重点●学习难点1.双曲线的第二定义、焦半径公式及其应用.2.本课时内容常与方程、函数、不等式以及平面向量结合命题，而且命题形式灵活，各种题型均有可能出现.一、自学导航●知识回顾：复习1：说出双曲线的几何性质?复习2：怎样求已知双曲线的渐近线方程？已知双曲线的渐近线方程怎样求双曲线方程？●预习教材：第59页——第63页的内容。●自主梳理：1、预习教材P59例5.（1）结合椭圆的第二定义，归纳双曲线的第二定义（2）结合椭圆的焦半径公式，导出双曲线的焦半径公式2、预习教材P60例6，总结直线与双曲线的位置关系的相关问题●预习检测：a1．点过P－1，－b的直线l与双曲线ax－2＝1有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶2y22b点，则双曲线的实半轴长等于()A．2B．4C．1或2D．2或4b－a解析：依题意知，过点P的直线l与双曲线相切或与双曲线的渐近线bay＝－x平行，所以a＝1或－1＋a＝－ab，解得a＝1或a＝2.所以实半轴长等于1或2，故选C.2．如图，ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是()1解析：ax－y＋b＝0可化为y＝ax＋b，x2y2bx2＋ay2＝ab可化为＋＝1.ab若ab>0，则A中曲线错误，B中曲线不存在．若ab<0，则D中曲线错误，故选C.3．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是________．62－y2＝x解析：，y＝kx＋2x2－(kx＋2)2＝6，(1－k2)x2－4kx－10＝0有两个不同的正根．Δ＝40－24k2>0，4kx＋x＝>0，解得－315<k<－1.1－k122则－10xx＝>0.1－k122153答案：－，－1y24．已知双曲线x－＝1，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A、B两点．若P为AB的中点，23(1)求直线AB的方程；(2)求弦AB的长．解析：(1)易知直线AB的斜率存在．设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入双曲线方程3x－y＝3，得23x－y＝3,3x－y2＝3，22121222两式相减得：3(x－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，1y－yy＋y2＝3.x－xx＋x即12·11212所以直线AB的斜率x＋x3×y－y3x＋x＝＝＝1223×21k＝1x2＝126.－xy＋yy＋yAB1212122所以直线AB的方程为6x－y－11＝0.(2)将y＝6x－11代入3x2－y2＝3，得33x－132x＋124＝0.2由弦长公式|AB|＝1＋k|x－x2|21＝1＋k2[x＋x－4x1x2]2211322－4·33·124332得|AB|＝1＋36×，4所以|AB|＝2442.33●问题与困惑：2二、互动探究●问题探究：探究1：由教材第59页例5，可导出以下结论：F(c,0)的距离和它到定直线l:xaM(x,y)与定点1）双曲线的第二定义：若动点2的距离的比是c（MFM的轨迹是一个双曲线，即e（其中，d是双曲线上任意一点到双曲线的d常数e(e1)，则动点准线xac2的距离，e是双曲线的离心率.）a2a22）双曲线的准线方程：若焦点在x轴上，则左准线是x；右准线是；x（ccM（x,y)的焦半径（其中，F为左焦点，F为右焦点）：（3）双曲线上任意一点0012＋MFexaMFexa，1020（注意：①动点到相应焦点的距离比上到相应准线的距离；②注意与椭圆的焦半径公式的不同.）探究2：由教材第60页例6，可导出直线与双曲线的位置关系.：（1）直线与双曲线的位置关系一般地，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)①xy2C：－b2＝1(a>0，b>0)②a22双曲线把①代入②得(b－ak)x＝0.b22k＝±时，直线－2amkx－am－a2222222b（i）当b－a＝0，即2kl与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点．22ab(ii)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，aΔ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．（2）弦长公式斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k|x－x2|21＝1＋k2x＋x2－4xx＝1＋|y－y|＝1＋y＋y2－4yy.11k212k212121212●典例导析：题型一例1、已知直线、直线与双曲线的位置关系y＝kx－1与双曲线－y＝4.x223(1)若直线与双曲线的右支有两个相异的公共点，求(2)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围．1，k的取值范围；＝－ykx[解题过程](1)联立方程组消去y22－y＝4，得方程(1－k)x＋2kx－5＝0，22x由题意得，此方程有两个不等的正根．4k2＋201－k2>0，－25<k<25，2k1－k－>0，2∴即k>1或－1<k<0，－5>0.k>1或k<－1.1－k2解得1<k<25.＝－ykx1(2)由得(1－k2)x2＋2kx－5＝0(*)＝4x2－y2易知此方程无解．1－k≠02得k>25或k<－，52由Δ＝4k2＋201－k2<0则k的取值范围为k>25或k<－25.[题后感悟]直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程，要注意根与系数的关系，根的判别式的应用．若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解．变式训练：y42P(1,1)的直线l的斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相切，符合题意；1.已知双曲线x－＝1，过点l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k的值．2解析：①当直线②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程得(4－k)x－(2k－2k)x－k＋2k－5＝0.22l与双曲线的22当4－k2＝0，即k＝±2时，渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；5令Δ＝0，所以k＝.2当4－k≠0时，2综上所述，52当k＝或k＝±2或斜率不存在时满足题意．题型二、弦长问题F，作倾斜角为π6的弦AB，求|AB|的长．y2例2、过双曲线x2－＝1的左焦点31[思路点拨]写出直线方程，代入双曲线方程．消去y得x的一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式求得．33[规范作答]双曲线焦点为F1(－2,0)、F2(2,0)，将直线AB的方程y＝(x＋2)代入双曲线方程，得8x2－4x－13＝0.4设A(x1，y1)、B(x2，y2)，∴x＋x＝，xx＝－138.121212∴|AB|＝1＋k2·x＋x－4xx122211113＝1＋·－4×－＝32328[题后感悟]如何求解与弦长有关的问题？(1)列直线方程与曲线方程构成的方程组；(2)化为一元二次方程后，据韦达定理求出x＋x，x1·x2的表达式；12(3)据弦长公式|AB|＝1＋k2[x＋x2－4xx12]求解．12变式训练：2.已知斜率为2的直线被双曲线x－＝1所截得的弦长为4，求直线l的方程．2y232解析：设直线l方程为y＝2x＋m设l与双曲线x－＝1的交点为A(x1，y1)B(x2，y2)2y232x2y2－＝132由得10x2＋12mx＋3(m＋2)＝023m2＋2y＝2x＋m则x＋x＝－65m，x1·x2＝1012|AB|＝1＋22[x＋x2－4xx12]126m53m＋22＝5－2－4×＝410＝703，∴m＝±2103∴m2∴所求直线l的方程为y＝2x±2103.题型三、中点弦问题例3、已知双曲线方程为2x－y＝2.过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，当点P(2,1)是弦P1P222的中点时，求此直线方程．[思路点拨][解题过程]若直线斜率不存在，即PP⊥Ox，则由双曲线的对称性知弦P1P2中点在x轴上，不可能12是点P(2,1)，所以直线l斜率存在．故可设直线l方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋1.2x2－y2＝2，由消y并化简，得(2－k2)x2＋2k(2k－1)x－4k＋4k－3＝0.22y＝kx－2k＋15设直线l与双曲线的交点P(x，y1)，P2(x2，y2)，112k2k－1k当2－k≠0，即≠2时，有x＋x＝－.222－k1222k2k－1P(2,1)是弦PP的中点，∴－＝2，解得k＝4.2－k12又点2当k＝4时，Δ＝4k(2k－1)－4(2－k)(－4k＋4k－3)＝56×5>0，2222当k＝2，即k＝±2时，此时，与渐近线的斜率相等，2即k＝±2的直线l与双曲线不可能有两个交点．综上所述，所求直线方程为y＝4x－7.[题后感悟]如何解决中点弦问题？(1)与弦中点有关的问题：①中点弦所在直线方程问题，如本例；②弦中点轨迹问题．(2)如何处理弦中点问题？①用待定系数法．设直线方程与双曲线方程，联立解方程组，化为一元二次方程后，据韦达定理(不需求出方程的根)，结合中点坐标公式，求出待定系数，这也是解决直线与曲线位置关系问题常用方法．②用“点差法”求斜率．即设该端点坐标，代入双曲线方程，通过作差，分解因式，结合中点坐标，可求y－y.这是解决与中点有关问题的简便而有效的方法．求弦中点轨迹问题，此方法依然有效．斜率k＝12x－x12(3)注意：待定系数法要考虑k不存在和k＝±2情况，用点差法求出了k，但要检验是否正确．变式训练：3.过点P(8,3)的直线与双曲线9x2－16y2＝144相交于A，B两点，求弦AB中点M的轨迹方程．解析：设动点M(x，y)，弦AB端点A(x，y1)，B(x2，y)，129x21－16y＝144，21x＋xy＋y则12＝x，12＝y，即x＋x＝2x，y＋y＝2y.且2212129－16＝144.x2y222两式作差，得9(x－x)－16(y)＝0，∴9(x1＋x2)(x1－x2)－16(y1＋y2)(y1－y2)＝0.22y－y－y222121①当x≠x时，9(x＋x2)－16(y1＋y)·＝0.12x－x121212又∵弦AB过点P(8,3)，且中点为M(x，y)．3y－2y－3x－8x－41222∴可得9×2x－16×2y·＝0.化简－＝1，274②当x＝x时，弦AB中点M(8,0)满足方程要求．123y－12x－41222综上，弦AB中点M的轨迹方程为－＝2746●直通高考题：A(1,0)、B(2,0)构成1.►(2012年高考四川卷理科21)(本小题满分12分)如图，动点M到两定点MABMBA2MAB，且，设动点的轨迹为。MC（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线y2xm与y轴交于点|PQ||PR|，P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PR|求的取值范围.|PQ|7xy2yC:x21有公共的焦点，C的一条渐近线与以2412C:21(a＞b＞0)与双曲线2.►已知椭圆1a2b2A,B两点，若C的长轴为直径的圆相交于1C恰好将线段AB三等分，则1131a13bb22（A）a（B）（C）（D）22222【答案】Cy2＝1知渐近线方程为，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，x2【解析】由双曲线y2x4b5y＝b5b22，联立直线与椭圆方程消y得，∴椭圆方程可化为b2x2＋22b5bb5b2a2222x2，又∵C将线段AB三等分，∴12225b203，5b20212解之得b21.2x1x3x，由C恰好将线段AB三等分得x31解法二、【解析】由AAy2xxax155a,y525a(5a25a)在椭圆上,,1515x2y2a2515A(5a)2(25a)21512，故选151225,ba11b2又ab22a2b2题型四、双曲线的第二定义、焦半径及其应用x221(a0,b0)y例4、已知双曲线的左、右焦点分别是、，点在双曲线的右支上，且FFP12a2b2PF4PF,则此双曲线的离心率e的最大值为12843573A.B.C.2D.3[思路点拨]1.若设P（x，y），再由两点间的距离公式代入等式0PF4PF并代入双曲线方程联解求P的坐标012则解题较繁，解法不可取.x有关，使解题简化2.若由双曲线的第二定义及焦半径公式，则只与P点的横坐标.03.得出0x的关系式后，再由0x的范围转化为不等式进而求最值.(a)exae(xa)解析：PFex222exa10c0c0c0aexae(xa)PFex222exa0同理20c0c0c4()5a3exx5aexaexa0由题意03e005a55∵xa，∴即.∴e的最大值为，故选Bae3e330[题后感悟]凡涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形等问题，常常用第二定义及焦半径公式解决往往会更简变式训练：便.x2y24.双曲线的左、右焦点分别是、，在双曲线的右支上求点1FFPF3PFP，使1691212a4，b3，∴c5，离心率e5.设P（x，y）解析：由题意400PFex()exe(x)exa54x4a2a2a210c0c0c00PFexexe(x)exa54x4a2a2a220c0c0c00PF3PF得4x43(54x4)x，532由51200032323323将x代入双曲线方程得－y01y39∴P(,39)251625955500●直通高考题：1.►(2012年高考全国卷理科8)已知F,F为双曲线C:xy22的左右焦点，点P在C上，212|PF|2|PF|cosFPF，则1212143B．53C．44D．5A．9x2y212.►(2011年高考四川卷理科)双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准6436线的距离是.解析：由双曲线第一定义，|PF|-|PF2|=±16，因|PF|=4，故|PF|=20，（|PF|=-12舍去），设P到左准线的距12112010离是d，由第二定义，得，解得d16.d8答案：163.►（2010年高考全国卷I理科9）已知F、F为双曲线C:xy21的左、右焦点，点p在C上，212∠FpF=600，则P到x轴的距离为1236(B)236(A)(C)(D)2(x,y)P在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得00【解析】不妨设点aa22|PF|e[x()]aex12x|PF|e[x)]exa2x1.由余弦定理得，10c0020c00|PF|2|PF|2|FF|(12)2(2x0x1)(22)2022cos∠FPF=1212,即cos600,2|PF||PF|2(12)(2xx1)012120536，故P到x轴的距离为解得xyx21|y|20,所以2222000【答案】B4.►如图，B地在A的距离比到A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流PQ（曲线）上任意一点到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头向B、C转运货物，经测算，从M到B、C两地修建公路的费用都是a万元/km，那么修建这两条公路的总费用的最低值是10北东PCA、(71)a万元B、(272)a万元MC、27a万元AB所在的直线为x轴，以P（x，y）(71)a万元D、AB【解析】以AB的中点为原点建立坐标系Q设曲线（河流）上任意一点则由题意知，PAPB2AB,∴曲线是双曲线的右支，焦点为A（－2，0），B（2，0）实轴22ax21.y∴双曲线方程为23CA，则CACMMA,而由双曲线的定义知，MA2MB,连接∴CACMMB2,当且仅当A、M、C三点共线时，等号成立.又，由题意可求得C（3，3）CA2∴CMMB的最小距离是,而CA＝（3＋2）2＋（3－0）2＝2727－2（27－2）a∴CMMB的最小距离等于，∴修建这两条公路的总费用的最低值是万元【答案】B[疑难解读]1．如何理解直线和双曲线的位置关系以过原点的直线和过焦点的直线为例．xy22(1)设直线y＝kx，双曲线－＝1(a>0，b>0)．a2b2bb①当－<k<时，直线和双曲线的两支相交，有两个交点．aabk或k≤－时，直线和双曲线没有交点．ba②当≤axy22(2)设过焦点F(c,0)的直线y＝k(x－c)，双曲线－＝1.a2b2b①当k＝±时，直线和双曲线相交，有一个交点．abb<k<时，直线和双曲线两支相交，有两个交点．a②当－abbk<－或k>时，直线和双曲线一支相交，有两个交点．aa③当2．如何求弦长及中点弦的问题（1）求弦长可采取两种方法．一种是求交点坐标，另一种是利用弦长公式．（2）中点弦的问题可以采用“点差法”先求其斜率．（3）由于双曲线不同于圆或椭圆是封曲闭线，所有还必须用二次方程的判别式来检验中点是否存在（祥见下面误区警示，亦即教材第62页习题2.3B组第4题）11[误区警示]y2－＝1，过点B(1,1)是否能作直线m，使它与所给的双曲线交于两点Q1及Q2，且点2◎给定双曲线x2B是线段Q1Q2的中点？这样的m如果存在，求出它的方程，如果不存在，说明理由．【错解】假设存在m过B与双曲线交于Q、Q，且B是Q1Q2的中点，当m斜率不存在时，显然只与双曲线有一个交点；当m斜率存在时，设12m的方程为y－1＝k(x－1)，－1＝kx－1y由y22x2－＝1得(2－k)x＋(2k－2k)x－(k－2k＋3)＝0，2222设该方程的两根为x，x.由根与系数的关系，122k－2k2得x＋x＝＝2，解得k＝2.k2－212故存在m，其方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.【错因】对于圆、椭圆这种封闭的曲线，以其内部一点为中点的弦是存在的，而对于双曲线，这样的弦就不一定存在，故求出k值后需用判别式判定此时直线是否与双曲线有交点．【正解】假设存在直线m过B与双曲线交于Q、Q，且B是Q1Q2的中点，当直线m的斜率不存12在时，显然只与双曲线有一个交点；m的斜率存在时，设直线m的方程为y－1＝k(x－1)，当直线－1＝kx－1y由知(2－k)x＋(2k－2k)x－(k－2k＋3)＝0，2222y22－＝12x设该方程的两根为x、x，由根与系数的关系，122k－2k2得x＋x＝＝2，解得k＝2.k2－212当k＝2时，Δ＝(2k因此不存在满足题意的直线－2k)＋4(2－k)(k－2k＋3)＝－8＜0，2222.12三、巩固拓展●必做：教材第62页，习题5、6A组第3、4题，B组第3、4题●补充作业：一、选择题(每小题5分，共20分)y21．已知双曲线方程为x－＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为()24A．4C．2B．3D．1解析：数形结合知，过点P(1,0)有一条直线l与双曲线相切，有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线只有一个公共点．答案：B2．设双曲线的一个焦点为()F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为A.23＋1B.35＋1D.C.22解析：设双曲线方程为ax2－by2＝1(a，b>0)，不妨设一个焦点22为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB＝－bc.又渐近线的斜率为±ba，所以由直线垂直关系得－bc·ba＝－1(－显然不符合)，ba即b2＝ac，又c2－a2＝b222，故c－a＝ac，两边同除以a2，得方程e－e－1＝0，25＋12或e＝1－5(舍)．解得e＝2答案：Dx2y23．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有a2b2且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是()B．(1,2)D．(2，＋∞)F且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个交点，说明其渐近A．(1,2]C．[2，＋∞)解析：根据双曲线的性质，过右焦点c2－a2＝e－1≥3，故有≥4，e≥2.故e22b线的斜率的绝对值大于或等于tan60°＝3，即≥3，则aa2选C.答案：C13x2y24．P是双曲线－＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|916－|PN|的最大值为()A．6B．7D．9C．8解析：设双曲线的两个焦点分别是F(－5,0)与F2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P1与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝6＋3＝9.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)xy225．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B，若2a2b2∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．解析：∵∠AOB＝120°⇒∠AOF＝60°⇒∠AFO＝30°⇒c＝2a，∴e＝＝ac2.答案：2x2y21的右焦点为6．已知双曲线－＝124F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________．解析：由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±33x，当过F点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知，－33≤k≤33.3333答案：－，三、解答题(每小题20分)10分，共l过右焦点7．已知双曲线3x－y2＝3，直线F，且倾斜角为45°，与双曲线交于A、B两点，试问A、22B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．∵a＝1，b＝3，c＝2，l过点F(2,0)，且斜率k＝tan45°＝1，解析：又直线2∴l的方程为y＝x－2，＝－yx2由消去y并整理得2x2＋4x－7＝0，3x－y＝32214设A(x1，y1)，B(x2，y2)，7∵x1·x2＝－<0，2∴A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上．72∵x＋x＝－2，x·x＝－，1212∴|AB|＝1＋1