第6章 数列 第4节　数列求和及综合应用

索索引引第六章数列第4节 数列求和及综合应用考试要求1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列，非等比数列求和的几种常见方法.知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层训练巩固提升知识诊断

基础夯实ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI1知识梳理1.特殊数列的求和公式(1)等差数列的前n项和公式：索引(2)等比数列的前n项和公式：2.数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.索引(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.索引(4)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.常用结论索引4.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.索引√诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)√索引×√解析

(3)要分a＝0或a＝1或a≠0且a≠1讨论求解.BA.50B.75C.100D.125索引CA.7B.8C.9D.10索引A索引解析

S20＝4·1＋5·21＋6·22＋…＋23·219，2S20＝4·2＋5·22＋6·23＋…＋23·220，两式相减，得－S20＝4＋2＋22＋…＋219－23·220.5.(易错题)数列{(n＋3)·2n－1}前20项的和2为2·220－2索引故S20＝22·220－2.解析

由f(x)＋f(1－x)＝4，可得f(0)＋f(1)＝4，…，an＝2(n＋1)即an＝2(n＋1).索引考点突破 题型剖析KAODIANTUPOTIXINGPOUXI2考点一 分组转化求和例1

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且关于x的不等式a1x2－S2x＋2＜0的解集为(1，2).(1)求数列{an}的通项公式；解

设等差数列{an}的公差为d，因为关于x的不等式a1x2－S2x＋2＜0的解集为(1，2)，又S2＝2a1＋d，所以a1＝d，所以数列{an}的通项公式为an＝n.索引n(2)若数列{bn}满足bn＝a2n＋2a

－1，求数列{bn}的前n项和Tn.n解

由(1)可得，a2n＝2n，2a

＝2n.nn

2n

n因为b

＝a

＋2a

－1，所以b

＝2n－1＋2n，索引感悟提升索引训练1

已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n项和Sn.解

Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln

2－ln

3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln

3，所以当n为偶数时，当n为奇数时，索引综上所述，索引考点二 裂项相消法求和解

已知Sn＝2an－a1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－a1，两式相减得an＝2an－1，n≥2，所以数列{an}是公比为2，首项为1的等比数列，所以{an}的通项公式为an＝2n－1.索引证明

由Sn＝2an－a1＝2n－1，索引感悟提升索引训练2

设数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝2，an＋1＝Sn＋2.(1)证明：{an}为等比数列；证明

由已知，得a1＝S1＝2，a2＝S1＋2＝4，当n≥2时，an＝Sn－1＋2，所以an＋1－an＝(Sn＋2)－(Sn－1＋2)＝an，所以an＋1＝2an(n≥2).所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列.索引解

由(1)可得an＝2n，所以bn＝n.索引所以λ的取值范围为[20，＋∞).索引考点三 错位相减法求和解

设{an}的公比为q，则an＝qn－1.因为a1，3a2，9a3成等差数列，索引①－②得索引索引1.如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时常采用错位相减法.2.错位相减法求和时，应注意：要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.感悟提升索引解

选①，即Sn＝2an＋1.①当n＝1时，S1＝2a1＋1，故a1＝－1；当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，②①②两式相减得an＝2an－1，所以{an}为等比数列，其中公比为2，首项为－1.所以an＝－2n－1.索引选②，即a1＝－1，log2(anan＋1)＝2n－1.所以当n≥2时，log2(anan＋1)－log2(an－1an)＝2，所以{a2k－1}(k∈N*)为等比数列，其中首项为a1＝－1，公比为4，所以a2k－1＝－1×4k－1＝－2(2k－1)－1；由a1＝－1，log2(a1a2)＝1，得a2＝－2，同理可得，a2k＝－2×4k－1＝－22k－1(k∈N*).综上，an＝－2n－1.索引所以{an}为等比数列，设其公比为q，又因为{an}为单调数列，所以q＞0，索引(2)求数列{－nan}的前n项和Tn.索引注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解

由(1)知，－nan＝n·2n－1，所以Tn＝1＋2×2＋3×22＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1，2Tn＝2＋2×22＋…＋(n－2)·2n－2＋(n－1)·2n－1＋n·2n，两式相减得－Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－2＋2n－1－n·2n＝(2n－1)－n·2n.所以Tn＝(n－1)·2n＋1.考点四 数列的综合问题[规范解答]解

由b1＋b2＝6b3，得1＋q＝6q2，索引由an＋1－an＝4n－1，索引证明

依题意设bn＝1＋(n－1)d＝dn＋1－d，[规范解答]索引由b1＝1，d＞0，得bn＋1＞1，索引第一步 分析题意，弄清题目给出的各数列之间的关系第二步 根据题目条件求得基本量，从而利用累加法确定数列{an}的通项公式第三步第四步第五步利用累乘法求得数列{cn}的通项公式求数列{cn}的前n项和，并利用放缩法证明不等式反思回顾解题过程，规范答题步骤答题模板索引解

由a2＋a7＋a12＝－6，得a7＝－2，∴a1＝4，训练4

已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；索引(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有Sn＜Tm＋λ恒成立，求实数λ的取值范围.解

由题意知b1＝4，b2＝2，b3＝1，索引∴{Tm}为递增数列，得4≤Tm＜8.故(Sn)max＝S4＝S5＝10，若存在m∈N*，使对任意n∈N*总有Sn＜Tm＋λ，则10＜8＋λ，得λ＞2.即实数λ的取值范围为(2，＋∞).索引数列中的奇偶项问题微点突破数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列.数列中的奇、偶项问题的常见题型①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；②含有(－1)n的类型；③含有{a2n}，{a2n－1}的类型；④已知条件明确奇偶项问题.对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.索引一、含有(－1)n的类型例1

已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且数列{an＋1－an}是以2为公比的等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；解

依题意可知数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3－1＝2为首项，以2为公比的等比数列，所以an＋1－an＝2×2n－1＝2n，等式两边同时除以2n得，索引所以an＝2n－1.索引(2)令cn＝(－1)n＋1an，求数列{cn}的前n项和Sn.解

由(1)得，cn＝(－1)n＋1(2n－1)，当n为偶数时，Sn＝(21－1)－(22－1)＋(23－1)－(24－1)＋…＋(2n－1－1)－(2n－＝21－22＋23－24＋…＋2n－1－2n当n为奇数时，n－1为偶数，索引解

法一 当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)索引索引∴S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)索引综上所述，索引放缩法的注意事项以及解题策略：对于“和式”数列不等式，若能够直接求和，则考虑先求和，再放缩证明不等式；若不能或很难求和，则可考虑先放缩后求和证明不等式.而对于“和式”数列不等式，放缩的最主要目的是通过放缩，把原数列变为可求和、易求和的数列.明确放缩的方向：是放大还是缩小.若要证明小于某值，则放大；若要证明大于某值，则缩小.数列中的简单放缩微点突破索引放缩的项数：不一定对所有项进行放缩，有时从第一项开始，或从第二项，或从第三项等开始.常见的放缩方法有：①增加(减少)某些项；②增大(减少)分子(分母)；③增大(减小)被开方数；增大(减小)底数(指数)；④利用不等式的性质或基本不等式；⑤利用函数的单调性等.索引一、先求和再放缩例1

已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S4＝24，S10＝120.(1)求Sn；解

设等差数列{an}的公差为d，则得a1＝3，d＝2.∴Sn＝3n＋n2－n＝n2＋2n.索引索引又S1＝a1＝1，所以a2＝4.索引(2)求数列{an}的通项公式；整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，故数列{an}的通项公式为an＝n2.索引索引索引3

分层训练 巩固提升FENCENGXUNLIAN

GONGGUTISHENGA级基础巩固A.－200

B.－100

C.200

D.100解析

S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.索引12345678910111213141.数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为D(

)2.(2021·成都诊断)已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋n，若数列{an}的前n项和索引1234567891011121314)为Sn，则S8＝(A.546B.582C.510D.548AA.2

019B.2

020C.2

021D.2

022C索引12345678910111213144.(2022·郑州模拟)已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋索引1234567891011121314B.15

C.18D.30解析

由题意知{an}是以2为公差的等差数列，又a1＝－5，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.|a6|＝(C

)A.9索引5.在数列{an}中，若a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则该数列的前100项B.8

C.5解析

由an＋2＝an＋1－an＝(an－an－1)－an＝－an－1＝－(an－2－an－3)＝－(an－3－an－4)＋an－3＝an－4，得{an}是周期为6的周期函数，又a3＝a2－a1＝3－1＝2，a4＝2－3＝－1，a5＝－1－2＝－3，a6＝－3＋1＝－2，∵100＝16×6＋4，∴S100＝16×1(12

＋3

34＋52－617

－8

39－102)11＋12(11＋3＋134

＋2－1)＝5.之和是(

C)

A.18D.2A.10C.130BB.120解析

设f(x)＝xα，D，D.且14f0(x)过点(4，2)，索引12345678910111213147.(2021·合肥质检)已知数列{an}的首项为－1，anan＋1＝－2n，则数列{an}的前10项之和等于

3_3_1_1

.解析

因为anan＋1＝－2n，所以{an}的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，索引1234567891011121314∴S2

021＝1＋(2－1

009)＋(4－1

009)＋…＋(2

020－1

009)＝1＋(2＋4＋6＋…＋2

020)－1

009×1

0108.(2022·石家庄模拟)已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＋an＝n－1

009(n∈N*)，则其前2

021项之和S2

021＝

2

021

.解析

S2

021＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2

020＋a2

021)，又an＋1＋an＝n－1

009(n∈N*),

且a1＝1，索引1234567891011121314解析

Sn＝1×21＋2×22＋…＋n×2n，则2Sn＝1×22＋2×23＋…＋n×2n＋1，两式相减得－Sn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1索引12345678910111213149.已知数列{nan}的前n项和为Sn，且an＝2n，且使得Sn－nan＋1＋50<0的最小正整数n的值为

5

.故Sn＝2＋(n－1)·2n＋1.又an＝2n，∴Sn－nan＋1＋50＝2＋(n－1)·2n＋1－n·2n＋1＋50＝52－2n＋1，依题意52－2n＋1<0，索引1234567891011121314故最小正整数n的值为5.10.设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；解

因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②又n＝1时，a1＝2适合上式，索引1234567891011121314索引1234567891011121314已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，满足

.(1)求an；解

若选①，即2Sn＝nan＋1，当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an，两式作差得2an＝nan＋1－(n－1)an，即(n＋1)an＝nan＋1，索引1234567891011121314当n＝1时也成立，∴an＝n.若选②，即2Sn＝an＋1an，当n≥2时，2Sn－1＝anan－1，两式作差得2an＝anan＋1－anan－1，由an＞0，得an＋1－an－1＝2.当n＝1时，2S1＝a2a1，得a2＝2.又∵a1＝1，a2＝2，∴{a2n}是公差为2，首项为2的等差数列，{a2n－1}是公差为2，首项为1的等差数列，故an＝n.索引1234567891011121314即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，由an＞0，得an－an－1－1＝0，即an－an－1＝1，∴{an}是首项为1，公差为1的等差数列.故an＝n.索引1234567891011121314(2)若bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.索引1234567891011121314注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解

bn＝(n＋1)·2n，Tn＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)·2n，2Tn＝2×22＋3×23＋…＋n×2n＋(n＋1)·2n＋1，两式相减，得－Tn＝4＋22＋23