极值点偏移问题的多种解法

极值点偏移问题的多种解法题目：已知困数f{幻=Q-勺山工，若0<JGC知求证：再十无,>2.5啕命题)另外,再证明:①2f-工公左，②嘉+Injc 1 1—Iexjc—1+InxJW=1口工———=>，也)=一———h—= n Jt xjT x令g(X)=X-1+In工易知虱工)单调递憎,且g(D=o.所以当0<x<l时期©匚。Q/1(X)u口"了(力单调递减工>1时g㈤>口=f,{">口=>/⑴单调递增o故工=1是函酣(工)=(1-〜口x=土^」口工的极小值点.X X由/(均)=/(玛)且应〈再知。<玉<1工巧.则再十巧>2qw>2—工］/(jci)>f(2—jq):<=>X(^)>/(2—工。(其中0<xz<L下面斗条巧i己1乍工二)<=>—_-Idx>—_—_-ln(2—x),(0<x<1)jc 1—x。也十吗辿<0：..…⑴(两边约去工T不等式反向)x2—x上式明显可以利用丑的凹凸性［二阶导数小于零)来证明，但是为了好理解，特证明下式成立；吧二，-13<K<2)X等价于证明：IujcMx3-j<Ci<xc2)构造函数制》=国第—/+元易知万㈤二j—2x+l为减困数，且审(1)=口.当0c工cl时，%(%>>b(1)=口=网幻单调递增_;当K>加寸，"犷。)=00网力单调通减.所以*X)三网1)=0,故也三工一KOm羌m2)成立.JC+ltl［：2-X><x-l+(2—丈一1)=0.x 2—x当且仅当K=1等号成立.从而(町得证.即/+西42成亘.评注1:从f(M的图像上可以看出『f(X)的图像在X=1左恻I陡峭,右侧平缓，属于极值点左偏,评注2:函数F)Hinx-x²*x*0在后面的解法之中还会用到.―・之后再次收到河北郭航老师的对问题③②③的第二种证法(其中③②是先证明X1+X2A2枭证明的，③是作倒数代换后用“对称构造函数法”来证明的)：Idjc 1l-lrxf(x)=1口工———=^/(x)=--——,X JCX令,3>口，等价于现势=工-1+111元h0,易知式的单调速憎，g⑴=0,当时，虱"vQ,f'(x)<Or/㈤单调递减.当工>1时，乐4>0,f'(jc)>0,白㈤单调递增.由八X)=7XW>且为 知！0<jq<1CXj.TOC\o"1-5"\h\z注意到/■(工工，/七>=①一1)1口工=与(工)，jc x与3 /<—> 1即/⑶=——1故/■)=/X匹)=——>/(—)工 为 不由，(期在工e£4W)单调递增，可知孤>工>1,罚故再十三L>jqH-—>2.且①2巧+毛>2为+—>?也>—成3Z.② + j——-成“»③对于工+工>2设2=），则/（用=网力=1-1）1口3jqJC, jc^=—,t2=—,即证4十立>2.其中力年）=瓦3）-西*再 ,' ' '易知帖）在Q1）上单调通遍，在。收）单调递胤且力⑴二。.不妨设0<<1<,则4+乙>2<=>f-,>2—4Qh（Q>h（l—*）=网/）>网2—弓）即要证用3-放2-用））。,其中0<工<1人（期一双2_巧=（茏_1乂口工_（2_工_1）1n（2-电=（x-1）[1iijc-F1d（2-^]=（x—l）ln（2x—r2）=（^-l）ln[l-Cl-x）2]>0从而③得证.本题在命题过程中的一点小插曲：问题①②③不和X1+X2A2并列成一道题，而单独另起一行排在题目最后，是因为有的读者会在证明了x1x2>1后,迅速攻克x1+x2>2以及④②,从而不会采用对称构造函数的证法，以及不会采用后文的构造过渡函数法（或叫擀函教।曾代函数।辅助函数等）,所以，将④②③另起一行排在题目最后，另外，小编在编拟问题①②③时为了保证正确性.小编还涔询了福建厦门郑小彬老师如下问题：已知，8=。—勺也*,/5）=/（巧）’求证:为+为>2问此题还有什么结果？例如2国十当>乙西电>^幡^ G+® 之类的郑，I幅老帅加钝如F（郑老师没有给出证明，请读者自行验证结果）：已知函数/*(x)=1--Inx,若f(x,)=f(x2)=m,x1<x,,\)证明：(1)与+々>2+ln(附+1);(2)xrr2>1;(3)2项+与>t；(Q&+屈)m：8^^5 4\/m+1山东郑海明老师给出另一个加强如下（也没有给出证明，请读者自行验证结果）：己知/（，）=（x—l）lnc,若/Qi）=/（必）=m,0<Xi<必,Q m求证：——FIn（1+772）<为+g<2H——.5 2木题收到了杭州顾坪昕同学的证明如下（利用对数基本不等式lnxwx-l证明xlx2>l,从而迅注攻克xl+x2>2以及①②，果然还直不出小编所料呀）已知函豺㈤二(1-5口工，若丁⑷二丁(%)，均M为X求证：。)为+jcj>2;(2)2工1 >—?<3)X+X>2;<4>-+->2-画西弓|理：Inx<X—1,等号在工=1时取得证明：令百00:工_1口文_1,；£(工)=1_2JC易证为也口0=裳Q)=0,弓I理得证.回到原题:.■-8=j"T,二J①府(")上单调递减,X/⑺在口收止单调递憎…。<巧<1〈花1--<D<1—, (1-—)]0^>(1-—)(W-1)TOC\o"1-5"\h\z(1一工)1］与<(1——一1岫弓任里)面 过_百七所以,Q}jq+Xn>2G三>2;(2)2用十三三24西西> ［；0)百十人>24区瓜>工顾坪昕同学继续利用对数基本不等式InxzSKT.搞定了问题(4)；(+)'7->i=—,y1=—,贝！0。约:1。苴，/(—)=/(—)工1 / M的即5-9血M=5F加出‘；5-1>加用<5-1)，打-5一。<侬弓I理)，二5一厂〈《乃一以f—32,HJ-+—>2* 国花本懑收到宁波葛耿苗老师的增量法解答如下(也利用了对数基本不等式lux三X-1.也睨明了③可以不用倒数代换,仍然可以只用xlx2〉l来品明)：易证令x2=1+b＞其中0＜曰+x2-2+b-a>2jXxXj=l+b-a-ab>l本题收到了浙江何易阳老师的“对称棺造函数法“简要解答如下（注意gOO的导数的分子的二项均为负数。实际上.将g（x）的因子卜出去后身更好）：汽工）一三"工汽工）一三"工f'（x）InxH-x-1令式号二八0一丁（2一工上①:工:1）=虱=虱x)=」dn工Xh(2-A)<0PIn[H?-jc)]+4(1—jc)la.r—4<x-1)2<0jr(.v-2)20虱小\(o;工<i)=f(淄一fe-x)>/■⑴-f⑴=。一 /（均）＞/（2一网）：f(jc)/(a->1)->x：>2—i：L->:q-a->2注：令气=亚=%=&二令恨F）二三一1口也取H（r）=网尸）一网2-玲：下略令万=再一1用=修一1令龙①）=0-111口尸二取凤产）=网产）-用。-嗓下略评注：我fl］知道函数f（x）在（0,1）上的图像关于直椒=1对称后的图像的解析式是f（2-x）口与此类似的“对标构造函数法”的解答还有鞍山吴吴老牌（笫一张图）和河南新乡蠡君臣老师的（第二张图），成都付斌卷师（第三张图），以及南通朱拍华卷俄等：3「・皿iWJ\…、,亿片外［旦*<F<%叼玄二〃）〃七）二Mr乂七宿二力。,TW）二人幻,Xv工人生）>"5）,含<X（以熊+需*》1+橐AN口X"fg指（\/8）/ （G,I）*/约前夕6（k》人力二「LD-持-G,取?to,门•,固千3二。，『&）二事二I一15£.仆2>R])二°，二ptZ5|>二卜,I-也f>>Cf\*"=f%)>F7f)J.不>?一勿■。〜力r+K>>2.本题收到了湖北武双昵称为“汪治渣”的老师的解答如下(本题收到了湖北武双昵称为“汪治渣”的老师的解答如下(他坚持隐去真名，用了小编所希望的“替代函数法“，也可以用不等式h(x)=lnx-x7xw。):曲二¥加：型用L二1卷二口I火&u，urf〔町<&.严与I1父区&+%fZg.f用限qL /，府中。0《牧14[C0(>』，斗％小中7-J'我治下”，/；直力2-乂小由W太(g件卡氏X忸"f1.十日[扒十”>代工.如“nx=若1/(%)=/'(再),0<$<过求证；看+x2>2.推广，①2x]+叼>=；②标+后>2；(3)—+—>21口工若，(/)=〃巧YM]V为求证，xx+x2>2.推广：①2毛+上>当②R+庭>2；®—+—>2x5 %］为证明(替代函数法)；构造函数人工)=(工-球,令F(N)=/(x)-g(x)=(x-l)j(r+l,当工〉0时，^ninx<x-l^—<—=l-l<x-l,XX X则史…"0(当且仅当x=l时取等号)X「⑶>0,0<X<1 ［/(x)>g(x)=0<x<l［广⑴<0:x>l ，［/(x)<£(X)=X>1又，(x),g(x)均在(”)/,(1,-Ko)/,/(1)=£(1)=0则当/(勺)=/(巧)=M毛)=眄(吗)=co时，有W<内</(巧，故国+电>电+匕=2,得证.评注：在极值点偏移的对称构造函数法已成为家常便饭的情境下，小编命制出此题受到了众条爱好者的不解，多数人见到此题都是脱口而出的一句话“对称构造翦散L而没有去想想有没有其他办法证明此题。湖北武汉的汪老师方法和小编的方法是大同小异的(区别在于小编证明了h(x)=lnx-x²+xW0,故小编的方法不再重复贴出)，这也是本次征解题的目的之一◎

H'Lb空TXi+5H'Lb空TXi+5・（丝匚

报乂H）.再来看昵称为“踏浪而来”的两种构造（"和”对称作差构造与积“积”对称作差构造，以及倒数变换后的（“和”对称作差构造）心二U力3加二沁…、L。/）0曲）＜。色4X&"产2）吗M八日2/,二；"’7f或冷¥竹为7f■:£喻沁卜廿”J-1|H,3/.、•芥中价一丁71FA儿尸斗4出一吓》飞）f")+/。碑)1

4 1)"卜8=・必!’出彳价/0:0*乂⑴加♦・□，：勒产6）•仲E"Q&切〈。出6 1K、•:什小邛、,—r•:"入51|［、Q/即九21货淮"力”了涉、方祝V石庆…N-的w.:皿）；.之牛》讯一俏*）务机/仲），荷卅）夕心涔机产俞„）（"，J色产阳加（f，*h）

24—1广,「青抖4'，3<0X鼎■・)篇方*<0F(nAl，ApH10?. M产Y他心作I' 人加,1继续贴出湖北武汉昵称为“汪渣渣”的老师的解答如下（引入参数t后用反证法，并利用已证明的结论x1+x2>2）：再证命题②；亚十后》2=In（看占卜令/（玉）=/（七）=，＞"。＜Xj＜1=In（看占卜2内々一（均+七）

（M一1）（々一1）假设修巧则1口（演士）W。，故有（・）式M。而（*）式右边，易知"0'（巧-1）&-1）＜0,由（#）式W0则有2%均一（看+Xv）＞0,则2W与之七+尤2＞2=再三＞】，与原假设矛盾.故有x/aL（亚=』+均+2「内3＞2+2=4故嘉+叵＞2得证.于是命题①：2%+士〉葭由命题金曲X泾:＞1则2再十为＞2j2毛三＞2避 故得证.最后证明命题③：-+->2(倒数代换法)X]x2/ 4\ /4X4“力力-小11”七-1叫，令M%)=(%-l)ln%nJt(x)在(Q1)/，在[L+20)/aj=f(向)=：+=>2,内X2等价于证明，/z(^)=^(x4)=>x3+x4>2设0V为<1<兀49/+玉>2<=>x4>2—x3<=>网％)=h(x4)>/2(2-x3)u>}(演)-。-均)>°在(。/)怛成立，即证小—l)ln为-(l-^)ln(2—x3)=(x3-l)ln———>02—%又毛-1＜0，必产一＜0,,2-巧故M当）-可2-%）＞0在电式。」）恒成立,得证故原命题全部证完.下面是昵称为“心空空也”的湖北许老师的另一种解答(对称构造函数法):己知函效/⑷=(1一 昔/阳):/(九)，口支」、之上.求证：J?itJ：i>2.舁由「月=史二型"，得r⑵="3；；；JC .乩可虬力-£>1时+:㈤>口+当力h」亡1时，尸但<(),所以，/㈤在上为减函数、在3+乂)上为增函数.因此，当『㈤-了(上/时，有0<Kt.<1<J?2.构造函数斤㈤=开1+幻一凡1-吗，，W[0.1),有F㈤=上叫—八1一沿=―叩+---,皿1__2]十1 1-j?j;[(l—r)皿1十h)十(1十，4ln(l—，川(I+r)(l-x)令*)=0-*)加口+幻+｛1+©皿1-一封，金£物1)则不值)=—小口十©+7一十山口一工)一二二一1十_r 1—上=-).巩1+幻+口二l，可知或力CI,所以g网在(0,1)上为减函数，于星讥上｝工喇=0因此*当/E(0.1)时+F⑵<口但成立.即当上交0,1｝琳,J1寸〃工一月”于是当jrie(0.1)Hl：1-ne(O.i)b所U/口+(]-靠J]<f[i-(1-i'i)],即/俘—的)</(£“=乂因为2-j；i>lbj.：2>lbf㈤在(L+M上为增函数,所以*一与《±±，即h十最后贴出曾经驰骋闻名于网络和数学论坛十数年的数学全能大神kuing的解答(他的物理也牛)：已知函数，（幻=（1—1/工）1口—若下31）=，（£?），0<Ji<功,求证工工1十M>2口另外,还可以证明:①2Tl+两>14/5：②》2：③1/ti+1/^2〉2等0证明易LE为<1<0,故（1一五）（叼-1）>f（E2）=f（为）>（1—虱）（£1—1）7化简得（吸-M1）（了1物—1）>0=>£1改>1,故由均值可知对任羲«>0都有考十余¥>2（工1叼-笈>2,所以原型要证的以及后面的②都成立，又山均值£•-2叫+g>2V五五>2依>14/5,①也成上0易让hi金学1—1/rr恒成立,仅当工=1取等，所以（"9）<八均=/3）〈（1-9），化简得（― —f—+———2）>0=>—+^>2.£2/\^1